材料力学基本概念

材料⼒学基本概念
第⼀章绪论
第⼀节材料⼒学的任务与研究对象
1、组成机械与结构的零、构件，统称为构件。

构件尺⼨与形状的变化称为变形。

2、变形分为两类：外⼒解除后能消失的变形成为弹性变形；外⼒解除后不能消失
的变形，称为塑性变形或残余变形。

3、在⼀定外⼒作⽤下，构件突然发⽣不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。

4、保证构件正常或安全⼯作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能⼒；b 刚度，
即抵抗变形的能⼒；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能⼒。

5、材料⼒学的研究对象：a ⼀个⽅向的尺⼨远⼤于其它两个⽅向的尺⼨的构件，
称为杆件；b ⼀个⽅向的尺⼨远⼩于其它两个⽅向尺⼨的构件，成为板件，平分板件厚度的⼏何⾯，称为中⾯，中⾯为平⾯的板件称为板，中⾯为曲⾯的板件称为壳。

6、研究构件在外⼒作⽤下的变形、受⼒与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、
刚度和稳定性分析的基本理论与⽅法。

第⼆节材料⼒学的基本假设
1、连续性假设：材料⽆空隙地充满整个构件。

2、均匀性假设：构件内每⼀处的⼒学性能都相同
3、各向同性假设：构件某⼀处材料沿各个⽅向的⼒学性能相同。

第三节内⼒与外⼒
1、外⼒：⑴按作⽤⽅式分①表⾯⼒②体积⼒⑵按作
⽤时间分①动载荷②静载荷 2、内⼒：构件内部相连个部分之间有⼒的作⽤。

3、内
⼒的求法：截⾯法 4、内
⼒的分类：轴⼒N F ；剪⼒S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M
5、截
⾯法求内⼒的步骤：
①⽤假想截⾯将杆件切开，得到分离体②对分离体建⽴平衡⽅程，求得内⼒
第四节应⼒
1、
K 点的应⼒：0lim
A F
p A
→?=?；正应⼒：
N 0lim
A F A σ?→?=?；切应⼒：S
0lim A F A
τ?→?=?；22p στ=+
2、切应⼒互等定理：在微体的互垂截⾯上，垂直于截⾯交线的切应⼒数值相等，⽅向均指向或离开交线。

第五节应变
1、
正应变：0lim
ab ab
ab
ε→?=。

正应变是⽆量纲量，在
同⼀点不同⽅向正应变⼀般不同。

2、
切应变：tan γγ≈。

切应变为⽆量纲量，切应变
单位为rad 。

第六节
胡克定律
1、 E σε=，E 为（杨⽒）弹性模量
2、
G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量
第⼆章轴向拉压应⼒与材料的⼒学性能
第⼀节引⾔
1、杆件受⼒特点：轴向载荷，即外⼒或其合⼒沿杆
件轴线 2、杆件变形特点：轴向拉伸或压缩第⼆节拉压杆的内⼒、应⼒分析
1、轴⼒符号规定：拉为正，压为负
2、轴⼒图（两要素为⼤⼩、符号）
3、拉压杆受⼒的平⾯假设：横截⾯仍保持为平⾯，
且仍垂直于杆件轴线。

即，横截⾯上没有切应变，正应变沿横截⾯均匀分布
N
F A
σ=
4、
材料⼒学应⼒分析的基本⽅法：①⼏何⽅程：
const ε=即变形关系②物理⽅程：E σε=即应⼒应变关系③静⼒学⽅程：
N A F σ?=即内⼒构成关系
5、
N
F A
σ=
适⽤范围：①等截⾯直杆受轴向载荷（⼀般也适⽤于锥⾓⼩于5度的变截⾯杆）②若轴向载荷沿横截⾯⾮均匀分布，则所取截⾯应远离载荷作⽤区域 6、圣维南原理（局部效应原理）：⼒作⽤于杆端的分
布⽅式，只影响杆端局部范围的应⼒分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺⼨ 7、拉压
杆斜截⾯上的应⼒：
0cos /cos N N
F F p A A αασαα
=
==；
20cos cos p αασασα
==，
sin sin 22
p αασταα==
；0o α=，max 0σσ=；45o α=，0
max 2
στ=
第三节
材料拉伸时的⼒学性能
1、
圆截⾯试件，标距l=10d 或l=5d ；矩形截⾯试件，
标距l =l =
2、
材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段
3、
线（弹）性阶段：E σε=；变形很⼩，弹性；p
σ为⽐例极限，e σ为弹性极限 4、
屈服阶段：应⼒⼏乎不变，变形急剧增⼤，含弹
性、塑性形变；现象是出现滑移线；s σ为屈服极限 5、
硬化阶段：使材料继续变形需要增⼤应⼒；b σ为
强度极限
6、缩颈阶段：现象是缩颈、断裂
7、冷作硬化：预加塑性变形使材料的⽐例极限或弹
性极限提⾼的现象（考虑材料卸载再加载的σε-图） 8、材料的塑性或延性：材料能经受较⼤的塑性变形⽽不被破坏的能⼒；延展率：
100%l l
δ?=
，
延展率⼤于5%的材料为塑性材料 9、
断⾯收缩率
1
100%A A A
ψ-=
，1A 是断裂后断⼝的横截⾯⾯积 10、
e ε为塑性形
变，p ε为弹性形变
第四节
材料拉压⼒学性能的进⼀步研究
1、
条件屈服极限0.2σ：对于没有明显屈服极限的材
料，⼯程上常以卸载后产⽣残余应变为0.2%的应⼒作为屈服强度，叫做名义屈服极限。

2、脆性材料拉伸的应⼒—应变曲线：断⼝与轴线垂
直 3、塑性材料在压缩时的⼒学性能（低碳钢）：越压越
扁 4、脆性材料在压缩时的
⼒学性能（灰⼝铸铁）：压裂，断⼝与轴线成45度⾓；可以看出脆性材料的压缩强度极限远⾼于拉伸强度极限
第五节应⼒集中与材料疲劳
1、实际应⼒与应⼒集中
因数：max
n
K σσ=
，其中，max σ为最⼤局部应⼒，n σ为名义应⼒ 2、
疲劳破坏：在交变应⼒的作⽤下，构件产⽣可见
裂纹或完全断裂的现象
3、疲
劳破坏与①应⼒⼤⼩②循环特征③循环次数有关；S —N 图，
r σ为持久极限
4、应
⼒集中对构件强度的影响：⑴静载荷，对于脆性材料，在
max σ=b σ处⾸先被破坏；对于
塑性材料，应⼒分布均匀化⑵疲劳强度问题：应⼒集中对材料疲劳强度影响极⼤
第六节失效、许⽤应⼒与强度条件
1、失效：断裂，屈服或明显的塑性变形
2、⼯作应⼒：构件实际承载所引起的应⼒
3、
许⽤应⼒：构件⼯作应⼒最⼤的允许值[]σ，
[]
u
n
σσ＝
，其中n 为安全因数，n 〉1，⼀般的，s n 取1.5—2.2，b n 取3.0
—5.0，u σ为极限应⼒（强度极限或屈服极限） 4、强度条件：[]N max max A F σσ??
≤
＝ 5、⼯程设计当中的等强度原则第七节
连接部分的强度计算 1、剪切强度条件：
[]s
F A
τ≤，
对受拉铆钉，A dh π= 2、
挤压强度条件：[]b
bs,max bs bs
F A σσ=
≤，受压⾯为3低碳钢的压缩⼒学性能 2灰⼝铸铁的压缩⼒学性能
圆柱⾯时，A dδ=即圆柱⾯的投影⾯积
第三章
轴向拉压变形
第⼀节
拉压杆的变形与叠加原理
1、
拉压杆的轴向变形与胡克定律：N
F F A A
σ=
=
，l
l ε?=
，E σε=?N F l l EA
= 2、 EA 为拉压刚度
拉压杆的横向形变：1b b b ?=-，b
b
ε?'=
，⼀般为负 4、
泊松⽐：εµε
'
=-
，对于各向同性材料，00.5µ≤≤，特殊情况是铜泡沫，0.39µ=-
5、
()
21E
G µ=
+，也就是说，各向同性材料独⽴的
弹性常数只有两个 6、
叠加原理：⑴分段叠加：①分段求轴⼒②分段求
变形③求代数和Ni i
i i
F l l E A ??=
∑⑵分载荷叠加：⼏组载荷同时作⽤的总效果，
等于各组载荷单独作⽤产⽣效果的总合。

7、叠加原理适⽤范围：①线弹性（物理线形，即应
⼒与应变之间的关系）②⼩变形（⼏何线形，即⽤原尺⼨进⾏受⼒分析）
第⼆节桁架节点位移
分析步骤：①平衡⽅程求各杆轴⼒②物理⽅程求各杆变形③切线代圆弧，求节点位移第三节拉压与剪切应变能
1、在外载荷作⽤下，构件发⽣变形，载荷在相应位
移上作了功，构件变形因此⽽储存了能量，且遵循能量守恒
2、
轴向拉压应变能2
F W ?
=
（缓慢加载），222N N F l F l
V W EA
ε??===。

注意：对于⾮线弹性材料，以上不成⽴。

单
向
受
⼒
情
况
：
2
2
dxdz dy
dV dxdydz εσεσε
=
=
，拉伸应变能密度为2
v εσε
=。

纯剪切情况：
2
2
dxdz dy
dV dxdydz ετγτγ
=
=
，剪切应变能密度为2
v ετγ
=
4、⽤应变能解题：①不⽤通过画变形图来确定节点
位移②只能求解沿载荷作⽤线⽅向的位移
③同时作⽤多个载荷时，⽆法求载荷的相应位移
第四节简单拉压静不定问题
1、静定问题是由平衡条件即可解出全部未知⼒的问
题；静不定度=未知⼒数—有效平衡⽅程数 2、静不定问题的求解⽅法：补充变形协调⽅程 3、关于变形图的画法：①若能直接判断出真实变形
趋势，则按此画变形图②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可③对于不能判断出真实变形趋势的情况，⼀般可设各杆都是拉伸变形，即内⼒为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实⽅向与所设⽅向相反
第五节热应⼒和预应⼒
1、热应⼒：因温度变化在构件内部产⽣的应⼒
2、预应⼒：由于实际杆长与设计尺⼨不同，当结构
不受外⼒时已经存在的应⼒
第四章扭转
第⼀节引⾔
1、内⼒分析仍⽤截⾯法，扭矩⽮量离开截⾯为正
2、
轴
的
动⼒传递：
P M ω
=，
kW N m r /min
9549
P M n ?=
第⼆节圆轴扭转横截⾯上的应⼒ 1、
扭转应⼒问题是静不定问题 2、
变形⼏何⽅程：
d dx
ρ?
γρ
=，其中，ρ是距轴线的径向距离，ργ是楔形微体在ρ处的矩形平⾯的切应变，是个⾓度，d ?是⾓bO2b ’ 3、
物理⽅程：横截⾯上ρ处的切应⼒为
d dx
G G ρρτγ?
ρ
== 4、
静⼒学⽅⾯：圆轴扭转切应⼒⼀般公式
P
T I ρρτ=
，P I 为极惯性矩2
P A I dA ρ=?
5、
最⼤扭转切应⼒：max /P P TR T
I I R
τ=
=，定义抗
扭截⾯系数P P I W R
=
，max P T W τ=
适⽤范围：①因推导公式时⽤到了剪切胡克定律，故材料必须在⽐例极限范围内②
只能⽤于圆截⾯轴，因为别的形状刚性平⾯假设不成⽴ 6、关于极惯性矩和抗扭截⾯系数：442222
232
()
D
d p A
dA d I D d ρρπρρπ
=
=?-=??，
442
16(/)
p p D W D d D
I π-=
=
，或者有时提出⼀个D ，令d D
α=
第三节
圆轴扭转破坏与强度条件
1、
扭转极限应⼒u τ对脆性材料来说是扭转强度极限
b τ，对塑性材料⽽⾔是扭转屈服应⼒s τ
2、
许⽤切应⼒[]u
n
ττ=
，⼯作应⼒：
max max P T W τ??=
，强度条件：max
max
[]P T W ττ??
=≤ 第四节
圆轴扭转变形与刚度条件
1、
P d T dx GI ?=，P
T
d dx GI ?=，对于常扭矩等截⾯
圆轴，相差l 距离的两截⾯的相对扭转⾓P
Tl
GI ?=
，定义圆轴截⾯扭转刚度P GI
2、
许⽤扭转⾓变化率[]θ，⼯作时扭转⾓变化率
P
d T
dx GI ?=，刚度条件为[]max
p T GI θ??≤ ? ???，注意，⼀般[]θ单位为度/⽶第五节扭转静
不定问题（找出变形协调条件）
第六节⾮圆截
⾯轴扭转（只讨论⾃由扭转） 1、⾮圆截
⾯轴，截⾯不保持平⾯，γ和ρ不成正⽐，平⾯假设不适⽤
2、
矩形截⾯轴的扭转⑴①τ平⾏于截⾯周边②⾓点
处0τ=③截⾯长边中点有max τ⑵max 2
t T T W hb τα=
=，h 和b 分别代表矩形的长边和短边，短边中点处的切应⼒1max τγτ=，3t Tl Tl GI G hb β=
=，其中
α，γ，β与/h b 有关，查表4-1⑶当/h b 10≥时，α和β均接近1/3，
max 23T hb τ=
，33Tl
Ghb
= 3、
椭圆等⾮圆截⾯杆max t T W τ=
，t
Tl
GI ?=，
t W 和t I 与圆截⾯杆的量纲相同，可查附录
第七节薄壁杆扭转（⾃由扭转）
1、闭⼝薄壁杆的扭转应⼒：①切应⼒的⽅向与中⼼线平⾏，且沿壁厚均布②T dT ds ρτδ=
=??蜒，ρ是该点离形⼼的距离，δ为
壁厚，ds 为线微元③所围⾯积2
ds ρΩ=??，2T
τδ
=
Ω，则max min 2T τδ=Ω④
扭转变形t
Tl GI ?=
，t Tl
I ds δ
=??
2、
开⼝薄壁杆扭转概念①切应⼒沿截⾯周边形成环
流②max
max 3
1
3n
i i
i T h δτδ
==
∑，3
13n
i i i Tl G h ?δ==
∑③开⼝薄壁杆抗扭性能很差，截⾯产⽣明
显翘曲
第五章弯曲应⼒
第⼀节引⾔
1、以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲
2、受⼒特征是⼒或⼒矩⽮量垂直于轴线，变形特征
是轴线变弯 3、以弯曲为主要变形形式的杆——梁第⼆节梁的约束与类型
可动铰⽀，提供⼀个⽅向的⼒；固定铰⽀提供两个⽅向的⼒；固定端提供两个⽅向上的⼒以及弯矩
第三节剪⼒、弯矩⽅程及剪⼒、弯矩
图
1、
截⾯法，求得剪⼒S F ，使分离
体顺时针转为正；弯矩M 使分离体完成凹形为正 2、①求⽀反⼒②建⽴坐标③建⽴剪⼒、弯矩⽅程（截⾯法）④画出剪⼒、弯矩图 3、在集中⼒作⽤处（包括⽀座）剪⼒有突变；在集
中⼒偶作⽤处（包括⽀座），弯矩有突变 4、刚架的内⼒分析：刚架受轴⼒、剪⼒和弯矩作⽤，
轴⼒、剪⼒符号同前，弯矩符号没有明确规定，画在受压⼀侧，分析⽅法还是
⽤截⾯法
5、
平⾯曲杆内⼒分析，同前，但是⼀般⽤极坐标表⽰
第四节
剪⼒、弯矩与载荷集度之间的微分关系
1、
q 为载荷集度，
S d d F q x =，S d d M
F x
=，22d d M q x =说明剪⼒图某点的切线斜率等于该点处载荷集度的⼤⼩，弯矩图某点的切线斜
率就等于该点处的剪⼒⼤⼩，该截⾯处载荷集度的正负决定弯矩图某点的凹凸
性，如图所⽰
2、 q 向上为正，x 轴⽅向向右为正
3、在集中⼒作⽤处，弯矩连续，剪⼒突变；在集中
⼒偶作⽤处，剪⼒连续，弯矩突变
4、
求特征点剪⼒、弯矩的⽅法：⑴截⾯法是基本⽅
法⑵⾯积法（积分法）由()S
dF q x dx
=有0()x S F q x dx C =+?，即x 左边分布载
荷的⾯积加x 左边的集中载荷（包括⽀反⼒），q 、F 向上为正；由S
dM
F dx
x
S M F dx D =+?，即x 左边剪⼒图的⾯积加x 左边集中⼒偶（包括⽀反⼒
偶），M 顺时针为正
5、利⽤微分关系快速画剪⼒、弯矩图⼝诀：剪⼒图⼝诀“跟着箭头⾛——先求⽀反⼒，从左往右去”，弯矩图⼝诀“根据剪⼒图，两点对⼀段；若遇到⼒偶，顺上逆下⾛”
第六章弯曲内⼒
第⼀节引⾔
1、横截⾯上内
⼒与应⼒的关系：A
M ydA σ=??
2、
中性层和中性轴的概念 3、
⼏何⽅程：
yd y dx d θερθρ
=
== 4、
物理⽅程：y
E E
σερ
==
5、静⼒学⽅程：由
A
y dA M
σ=?
有
2A
E
y dA M ρ
=?
，定义2z A
I y dA =?，可确定中性层的曲率半径
1z
M
EI ρ
=
由上得
z
My I σ=
，则
有
max max max /z z My M I I y σ=
=，定义抗弯截⾯系数z z I W y
=，则max z M
W σ= 7、
两种典型的抗弯截⾯系数：矩形截⾯2 6
z bh W =，
圆截⾯3
32
z d W π=
第⼆节
极惯性矩与惯性矩 1、
静矩：⾯积
对轴的矩，z A
S ydA =
，y A
S zdA =?，
对于均质等厚的板，z c S y A =?，
y c S z A =?，即⾯积乘形⼼到轴的距离2、
组合截⾯的
静
矩
与
形⼼：
z
S 231123
c c c y A y A y A =?+?+?，
n
n
i
c i
z i i c S
y
A S
y A
A
A
==?==
=
∑∑；对于缺⼝截⾯，()()
整孔z z z S S S =-，
()()
()()
整孔整孔z z c S S y A A -=-
3、（轴）惯性矩：2z A
I y dA =
，2y A
I z dA =?
4、
惯性矩的平⾏轴定理：z I 2 0z I a A =+
5、
组合截⾯的惯性矩：z I 1
n
i z
i I
==
∑，
n
i i z z z i i i i I I I a A ====+∑∑
6、
极惯性矩：截⾯对某点的矩2=?
P I A dA ρ；对圆
截⾯4
32
=
P d I π，对空⼼圆截⾯4
4132
=
-()
P D I πα
，对薄壁圆截⾯3
02=P I R πδ
第三节弯曲切应⼒
1、梁在⾮纯弯曲段，横截⾯上的弯曲切应⼒平⾏于
侧边或剪⼒，沿宽度均匀分布
2、
=
()
()S z z F S y I b
ωτ，其中=?()z ydA S ωω代表y
处横线⼀侧的部分截⾯（⾯积为ω）对z 轴的静矩，对于矩
形截⾯，()z S ω22
24=-()b h y ，312
=z bh I ，2
23412=-()()S F y y bh h τ，则3322==max S S F F bh A
τ
3、
⼯字梁的弯曲
切应⼒分布如图。

y 处横线下的截⾯是由下翼缘与部分腹板所组成，该截⾯队中性轴z
的静矩为
222
20()()()24424
z h b h h S y δω=-+-，δ为腹
板厚度，腹板上y 处的弯曲切应⼒为
22220()[()(4)]8z Fs
y b h h h y I τδδ
=
-+-，可见，腹板上弯曲切应⼒沿腹板⾼度成抛物线状分布，在中型周处弯曲切应⼒最⼤，为,max 22max 0[()]8z z z FsS Fs
bh b h I I τδδ
δ
=
=
--，在腹板与翼缘交接处切应⼒最⼩，为22min 0()8z Fs
bh bh I τδ
=
-，沿翼缘侧边的切应⼒较⼩，⼀般不予考虑 4、盒形薄壁梁的弯曲
切应⼒分布如图。

最⼤弯曲切应⼒仍在中性轴
上，max 2Fs
A
τ=
，A 为横截⾯⾯积 5、⼀般对称薄壁梁的
弯曲切应⼒平⾏于中⼼线的切线，且沿壁厚均匀分布 6、剪流的概念：。