安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学理试题
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C CP X P XC C======，，∴X∴()01232202202202204E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴AB =. ………………………5分 (Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤， 0 0 0 0A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，2 00 0C a D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，，0E a ⎛- ⎝⎭，，()0BC a =，， 0BD ⎛= ⎝⎭ . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩.令x =1 n a =， . 又∵()0 0DE a =-，， ，∴点E 到平面BCD的距离||DE n d n ⋅==. ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d取得最大值，max d .………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2. 由F (1，0)知，M F x ⊥轴.由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=.设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，.将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B A B AB A B A B A By y y y k x x y y y y --=====--+--. 设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=.由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--.设()xg x e x a =--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a eex ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-.∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+，∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分(Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin c os 3c os θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且t a n =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.(1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则()()2342i i i +-=-（ ）A ．5B ．5iC ．71255i --D ．71255i -+2.已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ）A ．112B ．51C ．28D ．18 3.已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）A ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C ．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- D ．∅4.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）A ．5B ．3C ．5D ．23 5.执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．136.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） A ．3413件 B ．4772件 C ．6826件 D ．8185件7.将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ== 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．518π+B ．618π+C ．86π+D ．106π+10.已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．e 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元12.已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+(其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．14.已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．15.抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ．16.在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒,则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求角C ；（2）若23c =，求ABC ∆的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 21.已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-=.（1）求曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；（2）若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: A CBCC 6-10: D DACB 11、12：BD二、填空题13. 1- 14. 3 15.()4,4 三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =.∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由（1）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ (当且仅当23a b ==时等号成立）. 所以，ABC ∆周长的最大值为4363c +=.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. （2）随机变量X 的所有可能取值有0, 1，2，3. 因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE .∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC . （2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形.∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =--.∵()2,0,4AE =-，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则45sin cos n AE n AE n AEθ⋅=⋅==⋅， 所以，直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为45.20.（1）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=.又∵椭圆E过点⎛ ⎝⎭，∴2211212b b +=，解得21b =. ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y . 由()22212y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222)128820k x k x k +++-=（. 由 0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++，∴12MN x =-=.∵点()21,0F 到直线l的距离d =，∴2F MN ∆的面积为12S MN d =⋅=令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴S===， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，maxS =，此时k =.所以，当直线l 的斜率为时，可使2F MN ∆ 21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=--.∵2210,0x x ->>. 令()222g x x ax a =-+，则 （1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭.如图，记()0g x =的两根为()()2212112,222x a a a x a a a =--=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，()0g x <. ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<.∴()f x 在11,2x ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(11,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((11,22a a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立.令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()*.要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值. ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-.由()10h '=解得1a =.当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意.所以，1a =.22. （1）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-=. 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1. 设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ， 由动点N 在圆2C 上可得：2min min1MN MC =-.∵2MC =当3cos 5θ=时，2minMC =∴2min min11MN MC =-=. 23.（1）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，四川奥邦药业集团.11 1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可. 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞.。
安徽省合肥市2018届高三三模数学(理科)试题
男生 女生
收看 60 20
没收看 20 20
( Ⅰ) 根据上表说明，能否有 99% 的把握认为，收看开幕式与性别有关？ ( Ⅱ) 现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取 12人参加 2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动 . ( ⅰ) 问男、女学生各选取了多少人？ ( ⅱ) 若从这 12 人中随机选取 3 人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的 3 人中女 生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X .
AC ， AE
E
BD ， DE 1 AC，AD=BD=1. 2
D
A
C
(20)( 本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 2 px ( p
B
0 ) 的焦点为 F ，以抛物线上一动点 M 为圆心的圆经过点 F. 若圆 M 的
面积最小值为 .
( Ⅰ) 求 p 的值；
( Ⅱ ) 当点 M 的横坐标为 1 且位于第一象限时，过 M 作抛物线的两条弦 MA，MB ，且满足
AMF BMF . 若直线 AB恰好与圆 M 相切，求直线 AB的方程.
(21)( 本小题满分 12 分)
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
6. 已知
1
n
2x
n
N* 展开式中 x3 的系数为 80，则展开式中所有项
的二项式系数之和为 A.64 B.32 C.
7. 已知非零实数 a， b 满足 a a
1 D.
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-（ ）A ．5B ．5iC ．71255i --D ．71255i -+2.已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ） A ．112 B ．51 C ．28 D ．183.已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）A ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C ．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- D ．∅4.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）A ．5B ．3C ．5D ．23 5.执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．136.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=） A ．3413件 B ．4772件 C ．6826件 D ．8185件7.将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ）A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ== 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．518π+B ．618π+C ．86π+D ．106π+10.已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．e 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元12.已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+(其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．14.已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．15.抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ．16.在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒,则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求角C ；（2）若c =ABC ∆的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. （1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 21.已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-=. （1）求曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）解关于x的不等式()()11-+≤；f x f x（2）若关于x的不等式()()1f x m f x<-+的解集不是空集，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD二、填空题13. 1- 14. 3 15.()4,4三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =. ∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由（1）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ (当且仅当a b ==时等号成立）. 所以，ABC ∆周长的最大值为c =.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. （2）随机变量X 的所有可能取值有0, 1，2，3. 因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC . ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE . ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC . （2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形.∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =--.∵()2,0,4AE=-，设AE与平面BDM所成的角为θ，则45sin cosn AEn AEn AEθ⋅=⋅==⋅，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为45.20.（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为()222210x ya ba b+=>>，焦距为2c，则b c=，∴22222a b c b=+=，∴椭圆E的标准方程为222212x yb b+=.又∵椭圆E过点2⎛⎝⎭，∴2211212b b+=，解得21b=.∴椭圆E的标准方程为2212xy+=.（2）由于点()2,0-在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线():2l y k x=+，设()()1122,,,M x y N x y. 由()22212y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得，2222)128820k x k x k+++-=（.由 0∆>得212k≤<，从而22121222882,1212k kx x x xk k--+==++，∴()22212222412112kMN k x kk-=+-=++.∵点()21,0F 到直线l 的距离231k d k=+，∴2F MN ∆的面积为()()22222413212k k S MN d k -=⋅=+. 令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴()()222123233t t t t S t t ---+-==2232131313248t t t ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，max 32S =，此时6k =±.所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值32. 21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=--. ∵2210,0x x ->>. 令()222g x x ax a =-+，则 （1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，记()0g x =的两根为()()2212112,222x a a a x a a a =--=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0g x <. ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<.∴()f x 在11,2x ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(212,2a a a ⎛⎫+-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((22112,222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立.令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()*.要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值. ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-.由()10h '=解得1a =.当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-，∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<. ∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意. 所以，1a =.22. （1）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-=. 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1. 设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ，由动点N 在圆2C 上可得：2min min 1MN MC =-. ∵2MC =当3cos 5θ=时，2min MC =∴2min min 11MN MC =-=. 23.（1）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可. 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞.。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测 理数
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()12z i i •-=（i 是虚数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}|23A x x =-<<，集合{}|1B x x =<，则AB =（ ）A ．()2,1-B ．()2,3-C ．(),1-∞D ．(),3-∞3.命题:0p a ∀≥，关于x 的方程210x ax ++=有实数解，则p ⌝为（ ）A ．0a ∃<，关于x 的方程210x ax ++=有实数解B ．0a ∃<，关于x 的方程210x ax ++=没有实数解C ．0a ∃≥，关于x 的方程210x ax ++=没有实数解D ．0a ∃≥，关于x 的方程210x ax ++=有实数解4.在直角坐标系中，若角α的终边经过点55sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．12-B ．- C. 12D 5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A ．174斤B ．184斤 C.191斤 D ．201斤6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的的值为（ ）A ．3或-2B ．2或-2 C. 3或-1 D ．-2或-1或37.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）A ．19 B ．89 C. 512 D ．7128.在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，G 分别为棱CD ，1CC ，11A B 的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A ．B ． C. D ．9.已知函数()1212xxf x -=+，实数a ，b 满足不等式()()2430f a b f b ++->，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2b a -< B ．22a b +> C. 2b a -> D ．22a b +<10.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线C 上的两点，且113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．10B ．10 C. 5 D ．5 11.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωωπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上单调.下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．6282f π-⎛⎫-=⎪⎝⎭C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知点I 在ABC ∆内部，AI 平分BAC ∠，12IBC ACI BAC ∠=∠=∠，对满足上述条件的所有ABC ∆，下列说法正确的是（ ）A ．ABC ∆的三边长一定成等差数列B ．ABC ∆的三边长一定成等比数列C. ABI ∆，ACI ∆，CBI ∆的面积一定成等差数列 D ．ABI ∆，ACI ∆，CBI ∆的面积一定成等比数列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为3π，则()()2a b a b +•-= ． 14.在()()23212x x +-的展开式中，2x 的系数等于 ．15.已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于 cm ．16.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为,,A B C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理,,A B C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5km ，且与C 的地方.已知B 村在A 村的正东方向，相距3km ，C 村在B 村的正北方向，相距，则垃圾处理站M 与B 村相距km ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足54643S S S =+，且39a =.()Ⅰ求数列{}n a 的通项公式；()Ⅱ设()21n n b n a =-•，求数列{}n b 的前n 项的和n T .18. 为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.()Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） ()Ⅱ研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,X N u σ（0u u =，σ约为19.3）.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A 市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：()111x u P x x φσ-⎛⎫>=-⎪⎝⎭表示1x x >的概率，1x u φσ-⎛⎫⎪⎝⎭用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里10x ux σ-=.相应于0x 的值()0x φ是指总体取值小于0x 的概率，即()()00x P x x φ=<.参考数据：()0.70450.54φ=，()0.67720.46φ=，()0.210.5832φ=）.19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，O 为AD 中点，5PA PD ==22AD AB CD ===.()Ⅰ求证：平面POB ⊥平面PAC ；()Ⅱ求二面角A PC D --的余弦值.20. 已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=.()Ⅰ求动点B 的轨迹方程；()Ⅱ已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值.21. 已知函数()()21xf x x e ax =--（e 是自然对数的底数）()Ⅰ判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；()Ⅱ若x R ∀∈，()3x f x e x x +≥+，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点()0,1P -的直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为()22sin cos00a a θρθ-=>.()Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程；()Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.()Ⅰ若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；()Ⅱ若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDCAB 6-10: ADCCB 11、12：CB二、填空题13.1214.10 15.4 16.2或7 三、解答题17.()Ⅰ设数列{}n a 的公比为q .由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，3q =∴，31933n n n a --=•=∴.()Ⅱ()()121213n n n b n a n -=-•=-•，()0121133353213n n T n -=•+•+•++-•∴…， ()()12131333233213n n n T n n -=•+•++-•+-•…，()()1210212323232132223n n n T n n --=+•+•++•--•=-+-•∴…， ()131n n T n =-•+∴.18.()Ⅰ该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.()Ⅱ①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意，()1011103110.4619.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.70540.54φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.()()1071037110.207210.58320.416819.3P x φφ-⎛⎫>=-=-≈-= ⎪⎝⎭②，所以，理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名. 19.()Ⅰ由条件可知，Rt ADC Rt BAO ∆∆≌，DAC ABO ∠=∠∴，90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠=︒∴，AC BO ⊥∴.PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ⊥∴.PAD ABCDPAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩平面平面平面平面平面，PO ⊥∴平面ABCD . 又AC ⊂平面ABCD ，AC PO ⊥∴. 又BO PO O =，AC ⊥∴平面POB .AC⊂平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC.()Ⅱ以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P，()1,0,0A，()1,0,0D-，()1,1,0C-，()1,0,2PA=-，()2,1,0AC=-，()1,0,2PD=-，()010CD=-,,，设()1,,n x y z=为平面PAC的一个法向量，由11n PAn AC⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得2020x zx y-=⎧⎨-+=⎩，解得122z xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩.令2x=，则()12,4,1n=.同理可得，平面PDC的一个法向量()22,0,1n=-，∴二面角A PC D--的平面角θ的余弦值1212105cos35105n nn nθ•===.20.()Ⅰ如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取()1,0A-′.依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，O为AA′的中点，C为AB中点，2A B OC=∴′.2222242BA BA OC AC OC CD OD AA+=+=+==>=∴′′依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：24BA BA a+==′，22AA c==′，2a=∴，1c=，2223b a c=-=∴，∴动点B的轨迹方程为22143x y+=.()Ⅱ当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为2x=，此时直线l与椭圆22143x y+=相切，与题意不符.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()12y k x+=-.由()2212143y k xx y⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩得()()222243168161680k x k k x k k+-+++-=.设()11,M x y，()22,N x y，则2122212216843161684312k kx xkk kx xkk⎧++=⎪+⎪+-⎪=⎨+⎪⎪∆>⇒<⎪⎩，()()121212121222112222222PM PNk x k xy yk k kx x x x x x--⎛⎫+=+=+=-+⎪------⎝⎭∴()()()121212121244222224x x x xk kx x x x x x+-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭. 21.()Ⅰ ()()22x x f x xe ax x e a =-=-′，当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；∴当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点. ()Ⅱ由()3x f x e x x +≥+得320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210x e x ax ---≥，即21x e x a x --≤对0x ∀>恒成立. 设()21x e x g x x --=，则()()()211x x e x g x x---=′. 设()1x h x e x =--，则()1x h x e =-′. 0x >，()0h x >∴′，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=∴，即1x e x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()12g x g e ≥=-∴，2a e ≤-∴.当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x <时，210x e x ax ---≤.设()21x h x e x ax =---，则()2x h x e x a =--′.设()2x x e x a ϕ=--，则()20x x e ϕ=-<′，()h x ∴′在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ≥=-∴′′.若1a ≤，则()0h x ≥′，()h x ∴在(),0-∞上单调递增，()()00h x h <=∴. 若1a >，()010h a =-<′，00x ∃<∴，使得()0,0x x ∈时，()0h x <′， 即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h >=∴，舍去.1a ≤∴.综上可得，a 的取值范围是(],2e -∞-.22.()Ⅰ22sin cos 0a θρθ-=，222sin cos 0a ρθρθ-=∴，即()220x ay a =>.()Ⅱ将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得()21212480,,8.a t t t t a ⎧∆=--⨯>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①.0a >，∴解①得23a >.PM ，MN ，PN 成等比数列，2MN PM PN =•∴，即21212t t t t -=， ()21212124t t t t t t +-=∴，即()2400a -=，解得0a =或56a =. 23a >，56a =∴. 23.()Ⅰ由题意得90,39.m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①② 解①得9m ≥-.②可化为939m x m m --≤+≤+，9233m x --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]1,3-，9213m --=-∴，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m =-∴()Ⅱ依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∴ ()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， ()243160215ABCC m S AB y ∆+=•=>∴，解得12m >.雨滴穿石，不是靠蛮力，而是靠持之以恒。
2018年安徽省合肥市三模理数试卷及答案
又∵平面 ABD⊥平面 ABC，∴DO⊥平面 ABC.
过 O 作直线 OY∥AC，以点 O 为坐标原点，直线 OB，OY，OD 分别为
x，y，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示.
记
AC
2a
，则1
a
2
，
A
2 2
，0 ，0
，B
2 2
，0，0
(23)(本小题满分 10分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 x 3 ． (Ⅰ)解不等式 f x x 1； (Ⅱ)设函数 f x 的最小值为c ，实数a，b 满足a 0 ，b 0 ，a b c ，求证： a2 b2 1 .
an =
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分 12分)
已知函数 f x
3sin
xcos
x 1cos 2
2
x
3
.
(Ⅰ)求函数 f x 图象的对称轴方程；
(Ⅱ)将函数
f
x 图象向右平移
4
个单位，所得图象对应的函数为 g x
生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求E X .
附：K 2
nad bc 2
，其中n a b c d .
a b c d a c b d
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
x y 1 0
(13)若实数 x，y 满足条件x y 1 0 ，则z 2x y 的最大值为
2018届合肥市高三一模试题-理科
合肥市2018年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-A.5B.5iC.71255i --D.71255i -+(2)已知等差数列{}n a ，若210a =，51a =，则{}n a 的前7项的和是A.112B.51C.28D.18(3)已知集合M 是函数112y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N =A.1{|}2x x ≤ B ．1{|4}2x x -≤<C.1{(,)|4}2x y x y <≥-且 D.∅(4)若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为2y x =-，则该双曲线的离心率是A.52B.3C.5D.23 (5)执行下列程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是A.2B.3-C.12- D.13(6)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布(100 4)N ，．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98 104，内的产品估计有A.3413件B.4772件C.6826件D.8185件(附：若X 服从2()N μσ，，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)P X μσμσ-<<+0.9544=)(7)将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为A.22a πϕ==，B.328a πϕ==， C.3182a πϕ==， D.122a πϕ==， (8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =A.201821- B.201836- C.20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D.201811033⎛⎫-⎪⎝⎭(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.518π+B.618π+C.86π+D.106π+(10)已知直线210x y -+=与曲线xy ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是A.12B.1C.2D.e (11)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元(12)已知函数()22f x x x =-，()2xe g x x =+(其中e 为自然对数的底数)，若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为A.()1,0-B.()0,1C.221(,1)e e -D.221(0,)e e- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.(13)若平面向量a b ，满足2 6a b a b +=-=，，则a b ⋅＝ .(14)已知m 是常数，()554325432101mx a x a x a x a x a x a -=+++++，且12345a a a a a ++++33=，则m = .(15)抛物线24E y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限内．．．．．)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 _____ .(16)在四面体ABCD 中，2AB AD ==，6090BAD BCD ∠=∠=，，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分) 已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，(2)cos cos 0a b C c A -+=. (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若23c =，求ABC ∆的周长的最大值．(18)(本小题满分12分)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等. (Ⅰ)求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率； (Ⅱ)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立．用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.(Ⅰ)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(Ⅱ)若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.(20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12 F F ，，交y 轴于点12B B ，．以12B B ，为顶点，12 F F ，分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)设经过点(2 0)-，的直线l 与椭圆E 交于M N ，两点，求2F MN ∆面积的最大值.(21)(本小题满分12分) 已知()ln(21)()af x x a R x=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在第(22)、(23)题中任意选择一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-＝.(Ⅰ)求曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.(Ⅰ)解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；(Ⅱ)若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围．合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.－1 14.3 15.（4，4） 16.3三、解答题：17.（Ⅰ）根据正弦定理，由已知得：(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A -+=， ……1分即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴sin()2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos BB C =，从而1cos 2C =. ……5分∵(0)C π∈，，∴3C π=.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理得 2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=， ……7分∴22()12332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，……9分即2()48a b +≤（当且仅当a b ==．所以，ABC ∆周长的最大值为c =.……12分18.（Ⅰ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则 3336119()=112020C P M C -=-=， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920. ……5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值有0 1 2 3，，，.……6分因为2111(=0)==5480P X ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，212411131(=1)=+545448P X C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2124131333(=2)=+=5445480P X C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2439(=3)=5420P X ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭， ……10分所以X 的分布列为X 01 2 3P18018 3380920所以1103336()=0123 2.380808080E X ⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分 19.（Ⅰ）证明：连结AC ，交BD 于点N ，∴N 为AC 的中点，∴//MN EC . ∵ MN EFC EC EFC ⊄⊂平面，平面， ∴//MN EFC 平面. ……3分 ∵BF DE ，都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE . ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD EFC EF EFC ⊄⊂平面，平面， ∴//BD EFC 平面.又∵MN BD N =，∴平面BDM ∥平面EFC . ……6分 （Ⅱ）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形 ∴DA DC DE ，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而(2 2 0)B ，，，(1 0 2)M ，，，(2 0 0)A ，，，(0 0 4)E ，，，∴(2 2 0) (1 0 2)DB DM ==，，，，，，设平面BDM 的一个法向量为( )n x y z =，，， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则21y z =-=-，，从而(2,2,1)n =--.……10分∵(2 0 4)AE =-，，，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则45sin |cos |15n AE n AE n AEθ⋅=<⋅>==⋅， 所以，直线AE 与平面BDM 45.……12分20.（Ⅰ）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=.又∵椭圆E 过点2(1 2，，∴2211212b b+=，解得 21b =. ……11分∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=. ……5分（Ⅱ）由于点(2 0)-，在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线:(2)l y k x =+，设1122() ()M x y N x y ，，，. 由22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得, 2222(12)8820k x k x k +++-=.由0∆>得2102k ≤<，从而21228k x x -+=+，21228212k x x k -=+，∴222122224121(12)k MN kx kk -=+-=++.∵点2(10)F ，到直线l 的距离21d k=+∴2F MN ∆的面积为22221(24)32(12)k k S MN d k -=⋅=+……9分令212k t +=，则[1 2)t ∈，，∴22222(1)(2)323213133313248t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫===-+-=--+ ⎪⎝⎭ 当134t=即43t =(4[1 2)3∈，)时，S 有最大值，max 324S =，此时6k =所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值为324.……12分21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，222222()21(21)a x ax a f x x x x x -+'=-=--. ……1分 ∵2210 0x x ->>，. 令2()22g x x ax a =-+，则（1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0g x ≥恒成立， 即当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ∴()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增.……3分（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11()022g =>. 如图1，任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0g x >恒成立，即任意12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>恒成立， ∴()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增. ②当2a >时，12a>，且11()022g =>.如图2，记()0g x =的两根为211(2)2x a a a =-- ，221(2)2x a a a =-.∴当()121 2x x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0g x >； 当211 (2)22a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，()0g x <. ∴当()121 2x x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0f x '>， 当()12x x x ∈，时，()0f x '<.∴()f x 在11 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()2 x +∞，上单调递增，在()12x x ，上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增； 当2a >时，()f x 在211 (2)22a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和21(2 2a a a ⎛⎫+-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2211(2) (2)22a a a a a a ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，上单调递减. ……6分 （Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1 2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ax -≤恒成立. 令()()ln(21)ah x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1 2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，，()0(1)h x h ≤=（*）. 要满足（*）式，即()h x 在1x =时取得最大值.∵3222(2)2()(21)ax a x ax ah x x x -++-+'=-.……8分由(1)0h '=解得1a =.当1a =时，22(1)(21)()(21)x x x h x x x --+'=- ，∴当1 12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当()1 x ∈+∞，时，()0h x '<. ∴当1a =时，()h x 在1 12⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在()1 +∞，上单调递减，从而()(1)0h x h ≤=，符合题意.所以，1a =.……12分22.（Ⅰ）由2cos 0ρθ-＝得：22cos 0ρρθ-＝.因为222cos x y x ρρθ=+=，，所以2220x y x +-=，即曲线2C 的普通方程为22(1)1x y -+=． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆2C 的圆心为2C (1 0)，，半径为1. 设曲线1C 上的动点(3cos 2sin )M θθ，，由动点N 在圆2C 上可得：min 2min ||||1MN MC =-.……6分2||MC ==……8分当3cos 5θ=时，2min ||5MC =，min 2min ||||115MN MC ∴=-=-.……10分 23.（Ⅰ）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，……1分1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ ……4分 ⇔12x ≥或1142x -≤<⇔14x ≥-，所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； ……5分（Ⅱ）由条件知，不等式2121x x m -++<有解，则()min2121m x x >-++即可.……6分由于()2121122112212x x x x x x -++=-++≥-++=， ……8分当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故2m >. 所以，m 的取值范围是()2,+∞．……10分。
2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知z =2i 1+i，i 是虚数单位，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.22. 已知集合A ={x ∈R|x 2−2x ≥0}，B ={x ∈R|2x 2−x −1=0}，则(∁R A)∩B =( )A.⌀B.{−12} C.{1} D.{−12,1}3. 已知椭圆E:y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)经过点A(√5,0)，B(0, 3)，则椭圆E 的离心率为（ ） A.23 B.√53C.49D.594. 已知α∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x α为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增，则实数α的值是（ ） A.−1，3B.13，3C.−1，13，3D.13，12，35. 若l ，m 是两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m // α”是“m ⊥l ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知(1−2x)n (n ∈N ∗)展开式中x 3的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为（ ） A.64 B.32 C.1 D.−17. 已知非零实数a ，b 满足a|a|>b|b|，则下列不等式一定成立的是（ ） A.a 3>b 3 B.a 2>b 2 C.1a <1bD.log 12|a|<log 12|b|8. 运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为−10，则判断框内的条件应该是( )A.k<3？B.k<4？C.k<5？D.k<6？9. 若正项等比数列{a n}满足a n a n+1=22n(n∈N∗)，则a6−a5的值是（）A.√2B.−16√2C.2D.16√210. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有()A.24B.48C.96D.12011. 我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（）A.12√5B.40C.16+12√3D.16+12√512. 已知函数f(x)=x2−x−a−2有零点x1，x2，函数g(x)=x2−(a+1)x−2有零点x3，x4，且x3<x1<x4<x2，则实数a的取值范围是（）A.(−94, −2) B.(−94, 0) C.(−2, 0) D.(1, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.若实数x，y满足条件{x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0,则z=2x−y的最大值为________．已知OA→=(2√3,0)，OB→=(0,2)，AC→=tAB→(t∈R)，当|OC→|最小时，t=________．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=45∘，2bsinB−csinC= 2asinA，且△ABC的面积等于3，则b=________．设等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，则a n=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=√3sinxcosx−12cos(2x−π3)．(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为g(x)．当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的值域．2018年2月9−25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．(1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求E(X)．如图，在多面体ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AC，AE⊥BD，DE=//12AC，AD=BD=1．（1）求AB 的长；（2）已知2≤AC ≤4，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F ．若圆M 的面积最小值为π． (1)求p 的值；(2)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，且满足∠AMF =∠BMF ．若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程．已知函数f(x)=e x −12x 2−ax 有两个极值点x 1，x 2（e 为自然对数的底数）．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：f(x 1)+f(x 2)>2． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+√22ty =1+√22t （t 为参数），圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos∠AOB 的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． (1)解不等式f(x)≤x +1；(2)设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．参考答案与试题解析2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算复数的模【解析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．【解答】∵已知z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，∴|z|=√2，2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合的等价条件，结合集合交集和补集的定义进行计算即可．【解答】A={x∈R|x2−2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，B={x∈R|2x2−x−1=0}={1, −12}，则(∁R A)={x|0<x<2}，则A∩(∁R B)={1}，3.【答案】A【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据题意，将A、B的坐标代入椭圆的方程，可得{9a2=15 b2=1，解可得a、b的值，计算可得c的值，结合椭圆的离心率公式即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(√5,0)，B(0, 3)，则有{9a2=1,5 b2=1,解得a=3，b=√5，则c=√9−5=2，.其离心率e=23故选A.4.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据幂函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：若f(x)在(0, +∞)上单调递增，则α>0，排除A，C，当α=2时，f(x)=x2为偶函数，不满足条件．时，f(x)=x12=√x为非奇非偶函数，不满足条件．当α=12当α=3时，f(x)=x3为奇函数，满足条件．时，f(x)=x13为奇函数，满足条件．当α=13故选B.5.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由l⊥α，“m // α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．即可判断出关系．【解答】解：由l⊥α，m // α⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．因此“m // α”是“m⊥l”的充分不必要条件．故选A.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项公式列式求得n，则答案可求．【解答】解：由(1−2x)n的展开式的通项T r+1=C n r⋅(−2x)r，取r=3，可得展开式中x3的系数为−8C n3=−80，得n=5，∴展开式中所有项的二项式系数之和为2n=25=32.故选B.7.【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】非零实数a，b满足a|a|>b|b|，通过分类讨论可得a>b．再利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：非零实数a，b满足a|a|>b|b|，①a，b>0时，a|a|>b|b|，可得a2>b2，可得a>b>0，②a>0>b时，a|a|>b|b|，可得a>b．③0>a>b时，a|a|>b|b|，可得−a2>−b2，可得0>a>b．综上可得：a>b．利用函数f(x)=x3在R上单调递增，可得a3>b3．而a2>b2，1a <1b，log12|a|<log12|b|，不一定成立．故选A.8.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1，s=1时，应满足继续循环的条件，故s=1，k=2；当k=2，s=1时，应满足继续循环的条件，故s=0，k=3；当k=3，s=0时，应满足继续循环的条件，故s=−3，k=4；当k=4，s=−3时，应满足继续循环的条件，故s=−10，k=5；当k=5，s=−10时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是k<5？.故选C.9.【答案】D【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q>0，由a n a n+1=22n(n∈N∗)，可得a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1) 22n =4=q2，解得q.a n2×2=22n，a n>(0)解得an=22n−12．代入即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q >0， ∵ a n a n+1=22n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1)22n=4=q 2，解得q =2，∴ a n 2×2=22n ，a n >0，解得a n =22n−12．则a 6−a 5=2112−292=16√2． 故选D . 10.【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】分两两类，第一类：若A ，D 相同，第二类，若A ，D 不同，根据分类计数原理可得 【解答】解：先涂E 有4种涂法，再涂A 有3种涂法，再涂B 有2种涂法，C 有2种涂法，D 有2种涂法，共有4×3×2×2×2=96种. 故选C . 11.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【解答】三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：√22+12=√5， 几何体的表面积为，2×2×4+4×2+42×√5=16+12√5．12.【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 二次函数f(x)， g(x)均有零点， 则{1+4(a +2)>0,(a +1)2+8>0,即a >−94． 因为x 3<x 1<x 4<x 2，所以函数g(x)的图象的对称轴x =a+12位于f(x)对称轴x =12左边，即a+12<12，解得a <0，所以−94<a <0．由求根公式可得x 1=1−√4a+92，x 2=1+√4a+92,x 3=a+1−√a 2+2a+92,x 4=a+1+√a 2+2a+92．因为x 3<x 1<x 4<x 2，所以a+1−√a 2+2a+92<1−√4a+92<a+1+√a 2+2a+92<1+√4a+92，化简得a <√a 2+2a +9−√4a +9<−a ，−a <√a 2+2a +9+√4a +9．解得√a 2+2a +9<|a|+√4a +9，两边平方解得−2<a <0．解得−a −√4a +9<√a 2+2a +9，两边平方得2a √4a +9<−2a ，显然成立．综上，实数a 的取值范围是(−2,0)． 故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置. 【答案】 4【考点】简单线性规划 【解析】画出不等式表示的平面区域，z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，根据图形可得结论． 【解答】解：画出实数x ，y 满足条件{x +y −1≥0,x −y −1≤0,x −3y +3≥0, 表示的平面区域如图：z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数， 由{x −y −1=0,x −3y +3=0,可得交点坐标为(3, 2)， 如图，在点(3, 2)处，z =2x −y 取得最大值，最大值为4. 故答案为：4.【答案】34【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值． 【解答】解：OA →=(2√3,0)，OB →=(0,2)，AC →=tAB →(t ∈R)， 可得OC →−OA →=t(OB →−OA →)，可得OC→=tOB→+(1−t)OA→=(2√3−2√3t, 2t)，即有|OC→|2=(2√3−2√3t)2+(2t)2=16t2−24t+12=16(t−34)2+3，当t=34时，|OC→|最小，且为√3.故答案为：34.【答案】3【考点】正弦定理余弦定理【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用．【解答】解：因为2bsinB−csinC=2asinA，所以根据正弦定理可得2b2−c2=2a2，又由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−√2bc，又由三角形面积公式可得1 2bcsinA=√24bc=3，即bc=6√2，联立，解得a=√5,b=3,c=2√2．故答案为：3. 【答案】−1或12n−54【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，可得√S n+n=√a1+1+(n−1)d，n≠1时，化为：a1+nd2+1=(n−1)d2+2√a1+1d，n=2，3时，a1+d+1=d2+2√a1+1d，a1+32d+1=2d2+2√a1+1d，联立解出即可得出．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，∴√S n+n=√a1+1+(n−1)d，∴na1+n(n−1)2d+n=a1+1+(n−1)2d2+2√a1+1(n−1)d，n≠1时，化为a1+nd2+1=(n −1)d 2+2√a 1+1d ，n =2时，化为a 1+d +1=d 2+2√a 1+1d ， n =3时，化为a 1+32d +1=2d 2+2√a 1+1d ， 联立解得{d =0,a 1=−1 或{d =12,a 1=−34,∴ a n =−1或a n =−34+(n −1)×12=12n −54． 故答案为：−1或12n −54.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx −12cos(2x −π3) =√34sin2x −14cos2x =12sin(2x −π6)．令2x −π6=π2+kπ,k ∈Z ， 解得x =π3+kπ2,k ∈Z ．∴ 函数f(x)图象的对称轴方程为x =π3+kπ2,k ∈Z ；(2)把f(x)=12sin(2x −π6)的图象向右平移π4个单位， 可得g(x)=12sin(2x −2π3)．∵ x ∈[0,π2]， ∴ 2x −2π3∈[−2π3,π3]，∴ sin(2x −2π3)∈[−1,√32]，∴ g(x)=12sin(2x −2π3)∈[−12,√34]， 即当x ∈[0,π2]时，函数g(x)的值域为[−12,√34]．【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性正弦函数的定义域和值域 【解析】得函数f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)由三角函数的图象平移得到g(x)，再由x的范围求得函数g(x)的值域．【解答】解：(1)f(x)=√3sinxcosx−12cos(2x−π3)=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6)．令2x−π6=π2+kπ,k∈Z，解得x=π3+kπ2,k∈Z．∴函数f(x)图象的对称轴方程为x=π3+kπ2,k∈Z；(2)把f(x)=12sin(2x−π6)的图象向右平移π4个单位，可得g(x)=12sin(2x−2π3)．∵x∈[0,π2]，∴2x−2π3∈[−2π3,π3]，∴sin(2x−2π3)∈[−1,√32]，∴g(x)=12sin(2x−2π3)∈[−12,√34]，即当x∈[0,π2]时，函数g(x)的值域为[−12,√34]．【答案】解：(1)∵K2=120×(60×20−20×20)280×40×80×40=7.5>6.635，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．(2)(i)根据分层抽样方法得，男生34×12=9人，女生14×12=3人，取的12人中，男生有9人，女生有3人．(ii)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.P(X=0)=C93C30C123=84220,P(X=1)=C92C31C123=108220，P(X=2)=C91C32C123=27220,P(X=3)=C90C33C123=1220，∴X的分布列是：∴E(X)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34.【考点】离散型随机变量的期望与方差超几何分布独立性检验【解析】(Ⅰ)利用独立性检验计算公式可得K2，经过比较即可判断出结论．(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法即可得出．(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，(3)利用超几何分布列及其期望计算公式即可得出．(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法即可得出．(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，(3)利用超几何分布列及其期望计算公式即可得出．【解答】解：(1)∵K2=120×(60×20−20×20)280×40×80×40=7.5>6.635，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．(2)(i)根据分层抽样方法得，男生34×12=9人，女生14×12=3人，取的12人中，男生有9人，女生有3人．(ii)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.P(X=0)=C93C30C123=84220,P(X=1)=C92C31C123=108220，P(X=2)=C91C32C123=27220,P(X=3)=C90C33C123=1220，∴X的分布列是：∴E(X)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34.【答案】解：（1）∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD．又∵DE // AC，∴DE⊥平面ABD，∴DE⊥BD．又∵BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，∴BD⊥AD．又∵AD=BD=1，∴AB=√2．又∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，∴ DO ⊥平面ABC ．过O 作直线OY // AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示．记AC =2a ，则1≤a ≤2，A (−√22,0,0)，B (√22,0,0)，C (−√22,2a,0)，D (0,0,√22)，E (0,−a,√22)，BC →=(−√2,2a,0)，BD →=(−√22,0,√22)．设平面BCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)．由{BC →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,得{−√2x +2ay =0,−√22x +√22z =0.令x =√2，得n →=(√2,1a ,√2)．又∵ DE →=(0,−a,0)，∴ 点E 到平面BCD 的距离d =|DE →⋅n →|n →||=√4+1a 2．∵ 1≤a ≤2，∴ 当a =2时，d 取得最大值，d max =√4+14=2√1717．【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，AC ⊥AB ， ∴ AC ⊥平面ABD ．又∵ DE // AC ，∴ DE ⊥平面ABD ，∴ DE ⊥BD ．又∵ BD ⊥AE ，且DE ∩AE =E ，∴ BD ⊥平面ADE ，∴ BD ⊥AD ． 又∵ AD =BD =1，∴ AB =√2．（2）∵ AD =BD ，取AB 的中点为O ，连结DO ，∴ DO ⊥AB ． 又∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，∴ DO ⊥平面ABC ．过O 作直线OY // AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示．E (0,−a,√22)，BC→=(−√2,2a,0)，BD →=(−√22,0,√22)． 设平面BCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)．由{BC →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,得{−√2x +2ay =0,−√22x +√22z =0. 令x =√2，得n →=(√2,1a ,√2)．又∵ DE →=(0,−a,0)，∴ 点E 到平面BCD 的距离d =|DE →⋅n →|n →||=√4+1a 2．∵ 1≤a ≤2，∴ 当a =2时，d 取得最大值，d max =√4+14=2√1717．【答案】解：(1)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小， 此时圆的半径为|OF|=p2， ∴πp 24=π，解得p =2.(2)依题意得，点M 的坐标为(1, 2)，圆M 的半径为2. 由F(1, 0)知，MF ⊥x 轴．由∠AMF =∠BMF 知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补， ∴ k MA +k MB =0.设k MA =k(k ≠0)，则直线MA 的方程为y =k(x −1)+2， ∴ x =1k (y −2)+1，代入抛物线的方程得，y 2=4[1k (y −2)+1]， ∴ y 2−4k y +8k −4=0， ∴ y A +2=4k ,y A =4k −2． 将k 换成−k ，得y B =−4k −2，∴ k AB =y A −y B x A −x B =y A −yBy A 24−y B 24=4yA +y B=4−4=−1．设直线AB 的方程为y =−x +m ， 即x +y −m =0. 由直线AB 与圆M 相切得，√2=2，经检验m=3+2√2不符合要求，故m=3+2√2舍去．∴所求直线AB的方程为y=−x+3−2√2．【考点】抛物线的性质圆锥曲线问题的解决方法【解析】(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M位于抛物线的顶点时，圆M的面积最小，转化求解即可．(Ⅱ)依题意得，MF⊥x轴．k MA+k MB=(0)设k MA=k(k≠0)，则直线MA的方程为y=k(x−1)+2，代入抛物线的方程得，利用韦达定理求出A的坐标，同理求出B的坐标，求出AB的斜率，设直线AB的方程为y=−x+m，通过直线AB与圆M相切得，转化求解即可．【解答】解：(1)由抛物线的性质知，当圆心M位于抛物线的顶点时，圆M的面积最小，此时圆的半径为|OF|=p2，∴πp24=π，解得p=2.(2)依题意得，点M的坐标为(1, 2)，圆M的半径为2.由F(1, 0)知，MF⊥x轴．由∠AMF=∠BMF知，弦MA，MB所在直线的倾斜角互补，∴k MA+k MB=0.设k MA=k(k≠0)，则直线MA的方程为y=k(x−1)+2，∴x=1k(y−2)+1，代入抛物线的方程得，y2=4[1k(y−2)+1]，∴y2−4k y+8k−4=0，∴y A+2=4k ,y A=4k−2．将k换成−k，得y B=−4k−2，∴k AB=y A−y Bx A−x B =y A−y By A24−y B24=4y A+y B =4−4=−1．设直线AB的方程为y=−x+m，即x+y−m=0.由直线AB与圆M相切得，√2=2，解得m=3±2√2．经检验m=3+2√2不符合要求，∴所求直线AB的方程为y=−x+3−2√2．【答案】x2−ax，(1)解：∵f(x)=e x−12∴f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，则g′(x)=e x−1.令g′(x)=e x−1=0，解得x=0，∴当x∈(−∞, 0)时，g′(x)<0；当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，∴g(x)min=g(0)=1−a．当a≤1时，g(x)=f′(x)≥0，∴函数f(x)单调递增，没有极值点；当a>1时，g(0)=1−a<0，且当x→−∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．∴当a>1时，g(x)=f′(x)=e x−x−a有两个零点x1，x2．不妨设x1<x2，则x1<0<x2．∴当函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1, +∞).(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=0，∵g(x2)=e x2−x2−a=0，得a=e x2−x2，∴g(−x2)=e−x2+x2−a=e−x2−e x2+2x2．设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，−e x+2<0，则ℎ′(x)=−1e x∴ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，∴ℎ(x2)=g(−x2)<0，∴x1<−x2<0.∵函数f(x)在(x1, 0)上也单调递减，∴f(x1)>f(−x2)．∴要证f(x1)+f(x2)>2，只需证f(−x2)+f(x2)>2，即证e x2+e−x2−x22−2>0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，则k′(x)=e x−e−x−2x．设φ(x)=k′(x)=e x−e−x−2x，则φ′(x)=e x+e−x−2>0，∴φ(x)在(0, +∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)=0，即k′(x)>0，∴k(x)在(0, +∞)上单调递增，∴k(x)>k(0)=0.∴当x∈(0, +∞)时，e x+e−x−x2−2>0，则e x2+e−x2−x22−2>0，∴f(−x2)+f(x2)>2，∴f(x1)+f(x2)>2.利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数f(x)有两个极值点时，求解a的取值范围．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=(0)设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，利用导函数判断函数的单调性，要证f(x1)+f(x2)>2，只需证e x2+e−x2−x22−2> 0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．【解答】x2−ax，(1)解：∵f(x)=e x−12∴f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，则g′(x)=e x−1.令g′(x)=e x−1=0，解得x=0，∴当x∈(−∞, 0)时，g′(x)<0；当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，∴g(x)min=g(0)=1−a．当a≤1时，g(x)=f′(x)≥0，∴函数f(x)单调递增，没有极值点；当a>1时，g(0)=1−a<0，且当x→−∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．∴当a>1时，g(x)=f′(x)=e x−x−a有两个零点x1，x2．不妨设x1<x2，则x1<0<x2．∴当函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1, +∞).(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=0，∵g(x2)=e x2−x2−a=0，得a=e x2−x2，∴g(−x2)=e−x2+x2−a=e−x2−e x2+2x2．设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，−e x+2<0，则ℎ′(x)=−1e x∴ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，∴ℎ(x2)=g(−x2)<0，∴x1<−x2<0.∵函数f(x)在(x1, 0)上也单调递减，∴f(x1)>f(−x2)．∴要证f(x1)+f(x2)>2，只需证f(−x2)+f(x2)>2，即证e x2+e−x2−x22−2>0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，则k′(x)=e x−e−x−2x．设φ(x)=k′(x)=e x−e−x−2x，则φ′(x)=e x+e−x−2>0，∴φ(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ k(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ k(x)>k(0)=0.∴ 当x ∈(0, +∞)时，e x +e −x −x 2−2>0，则e x 2+e −x 2−x 22−2>0， ∴ f(−x 2)+f(x 2)>2， ∴ f(x 1)+f(x 2)>2. 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)由直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =1+√22t ， 得到其普通方程为y =x +2，∴ 直线l 的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2， 又∵ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5， 将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ， ∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ． (2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2， 与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得(4cosθ+2sinθ)(sinθ−cosθ)=2， 整理得sinθcosθ=3cos 2θ， ∴ θ=π2,或tanθ=3， 不妨记点A 对应的极角为π2， 点B 对应的极角为θ，且tanθ=3， 于是，cos∠AOB =cos(π2−θ)=sinθ=3√1010．【考点】直线的参数方程 圆的极坐标方程运用诱导公式化简求值 直线与圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数能求出其普通方程，由此能示出直线l 的极坐标方程；由圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入，能求出圆C 的极坐标方程． (Ⅱ)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得sinθcosθ=3cos 2θ，由此能求出cos∠AOB 的值． 【解答】解：(1)由直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =1+√22t ， 得到其普通方程为y =x +2，又∵ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5， 将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ， ∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ． (2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2， 与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得(4cosθ+2sinθ)(sinθ−cosθ)=2， 整理得sinθcosθ=3cos 2θ， ∴ θ=π2,或tanθ=3， 不妨记点A 对应的极角为π2， 点B 对应的极角为θ，且tanθ=3， 于是，cos∠AOB =cos(π2−θ)=sinθ=3√1010．[选修4-5：不等式选讲]【答案】(1)解：f(x)≤x +1，即|x −1|+|x −3|≤x +1， ①当x <1时，不等式可化为4−2x ≤x +1，x ≥1， 又∵ x <1，∴ x ∈⌀；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x +1，x ≥1， 又∵ 1≤x ≤3，∴ 1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x −4≤x +1，x ≤5， 又∵ x >3，∴ 3<x ≤5；综上所得，1≤x ≤3，或3<x ≤5，即1≤x ≤5， ∴ 原不等式的解集为[1, 5]．(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x −1|+|x −3|≥|(1−x)+(x −3)|=2， ∴ c =2，即a +b =2. 令a +1=m ，b +1=n ， 则m >1，n >1，a =m −1，b =n −1，m +n =4， a 2a +1+b 2b +1=(m −1)2m +(n −1)2n=4mn≥4(m+n2)2=1.∴原不等式得证．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+(1)通过①当x<1时，②当1≤x≤3时，③当x>3时，去掉绝对值符号，求解即可．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，推出a+b= (2)令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．【解答】(1)解：f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1，①当x<1时，不等式可化为4−2x≤x+1，x≥1，又∵x<1，∴x∈⌀；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3；③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5；综上所得，1≤x≤3，或3<x≤5，即1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1, 5]．(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，∴c=2，即a+b=2.令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m−1，b=n−1，m+n=4，a2 a+1+b2 b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4mn≥4(m+n2)2=1.∴原不等式得证．试卷第21页，总21页。
2018合肥二模数学理,答案
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2018年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案BDCABADCCBCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)12(14)10 (15)4 (16)2或7三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q .由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，∴3q =， ……………3分 ∴31933n n n a --=⋅=. ……………5分 (Ⅱ)()()121213n n n b n a n -=-⋅=-⋅， ……………6分∴0121133353(21)3n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ， ……………8分()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，∴()()121212323232132223n n n n T n n --=+⋅+⋅++⋅--⋅=-+-⋅ ，∴()131n n T n =-⋅+. ……………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为:0650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 103.2103=≈. ………………5分 (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意得，()1011103110.4619.3x x P x x μσ--⎛⎫⎛⎫>=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭. 由(0.7054)0.54Φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈， 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ………………8分②()()107103107110.207210.58320.416819.3P x -⎛⎫>=-Φ=-Φ≈-=⎪⎝⎭，故理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)由条件可知，Rt ADC ∆≌Rt BAO ∆，∴DAC ABO ∠=∠， ∴90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠= ，∴AC BO ⊥.高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）.∵PA PD =，且O 为AD 中点，∴PO AD ⊥.∵PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩ 平面平面平面平面平面，∴PO ABCD ⊥平面.又∵AC ABCD ⊂平面，∴AC PO ⊥. 又∵BO PO O = ，∴AC POB ⊥平面.∵AC PAC ⊂平面，∴平面POB ⊥平面PAC . …………5分 (Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P (0，0，2)，A (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (-1，1，0)，()102PA =- ，，，()210AC =- ，，，()102PD =-- ，，， ()0 1 0CD =-，，.设()1x y z =，，n 为平面PAC 的一个法向量，由 1100PA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得2020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得122z xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令2x =，则()1241=，，n . 同理可得，平面PDC 的一个法向量()2201=-，，n ， ∴二面角A PC D --的平面角θ的余弦值1212cos 35θ⋅===n n n n . …………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A '(-1，0).依题意，圆C 内切于圆O .设切点为D ，则O C D ，，三点共线. ∵O 为AA '的中点，C 为AB 中点，∴2A B OC '=.∴2222242BA BA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+==>=.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中： 24 22BA BA a AA c ''+====，，∴21a c ==，，∴2223b a c =-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=. ………………5分(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-.由()2212143y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=.高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）设()()1122M x y N x y ，，，，则2122212168431616843102k k x x k k k x x k k ⎧++=⎪+⎪⎪+-=⎨+⎪⎪∆>⇒<⎪⎩， ∴()()12121212122121112222222PM PN k x k x y y k k k x x x x x x ----⎛⎫+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭. ……………12分 (21) (本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()22x x f x xe ax x e a '=-=-.当0a ≤时，()f x 在() 0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在() ln 2a -∞，上单调递增，在()ln 2 0a ，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在() 0-∞，上单调递增，在()0 ln 2a ，上单调递减，在()ln 2 a +∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；综上所述，当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当102a a >≠且时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点. …………………6分 (Ⅱ)由()3x f x e x x +≥+得 320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210xe x ax ---≥，即21x e x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211xx e x g x x ---'=.()1, '()e 1.0, '()0, ()(0,)()(0)0,x x h x e x h x x h x h x h x h =--=->∴>∴+∞∴>= 设则在上单调递增， 1x e x >+即，∴()g x 在()01，单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()12g x g e ≥=-，∴2a e ≤-. 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）当0x <时，210x e x ax ---≤.设()21x h x e x ax =---，则()2x h x e x a '=--. 设()2x x e x a ϕ=--，则()20x x e ϕ'=-<，∴()h x '在()0-∞，上单调递减，∴()()01h x h a '≥'=-. 若1a ≤，则()0h x '≥，∴()h x 在()0-∞，上单调递增，∴()()00h x h <=. 若1a >，∵()010h a '=-<，∴00x ∃<,使得()0 0x x ∈，时，()0h x '<，即()h x 在()0 0x ，上单调递减，∴()()00h x h >=，舍去. ∴1a ≤. 综上可得，a 的取值范围是-∞（，e-2]. ………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)∵22sin cos 0a θρθ-=，∴222sin cos 0a ρθρθ-=，即22x ay =(0a >). …………5分(Ⅱ)将1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得21212()480 8a t t t t a⎧∆=--⋅>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①. ∵20, .3a a ∴>>解①得∵ PM MN PN ，，成等比数列，∴2MN PM PN =⋅，即21212t t t t -=， ∴()21212124t t t t t t +-=，即2)400a -=，解得56a =,满足23a >.56a ∴=. ……10分 (23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)由题意得9039m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②，解①得m ≥-9.②可化为939m x m m --≤+≤+，∴9233mx --≤≤. ∵不等式()9f x ≤的解集为[]13-，，∴9213m--=-， 解得3m =-，满足m ≥-9. ∴ m =-3. …………5分 (II)依题意得，()321g x x m x =+--.又∵0m >，∴()()2 352132 1.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩，，()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()20A m --，，2 05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，，2 233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，∴()243160215ABCC m S AB y ∆+=⋅=>，解得12m >. ………………10分。
合肥市2018届高三调研性检测数学试题(理)
合肥市2018届高三调研性检测数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则2i1i =-(A)1i -+ (B) 1i + (C) 1i - (D) 1i -- 2．已知集合{|,}xA y y e x R ==∈，2{|60}B x R x x =∈--≤，则=B A (A)(0,2] (B)(0,3] (C) [2,3]- (D) [2,3] 3．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为(A) 9 (B)19 (C) 33 (D) 514.双曲线22221x y a b -=的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为(A)52 (B) 5 (C) 312+ (D) 31+5. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)72 (B)144 (C) 216 (D) 1053145+6. 在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，13,4,60===c b a C，则 ABC ∆的面积为 (A)3 (B)213(C) 32 (D) 13 7．已知y x ,满足约束条件252340380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则y x z -=2的最小值是(A)0 (B) 4 (C) 5 (D) 6 8. 已知函数)6sin()(πω+=x x f 的图象向右平移3π个单位后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为 (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4 9．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有 (A)250个 (B) 249个(C) 48个 (D) 24个10．函数1()()x x y e e x x-=--的图像大致是11. 已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为 (A)3102(B) 4(C) 23(D)3212．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，且||3||AF FB =.直线12l l 、分别过点,A B ，且与x 轴平行，在直线12l l 、上分别取点M N 、（M N 、分别在点,A B 的右侧），分别作ABN ∠和BAM ∠的角平分线并相交于P 点，则PAB ∆的面积为 (A)643 (B)323(C)3239 (D) 6439二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.命题0:1,p x ∃>使得20021x x -<，则p ⌝是 .14. 已知)1,1(),15,2(-+=-=t b t a ，若b a b a -=+，则=t . 15．5)2(a x -展开式中3x 的系数为720，则a = .16.已知函数ln ()x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使2[()]()0f k f k ->,则实数a 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x =+. （Ⅰ）当()2f x =时，求sin(2)3x π+；（Ⅱ）若()(2)g x f x =，求函数()g x 在[0,]2π上的值域.18.（本小题满分10分)近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构通过对使用者的调查得出， 现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示： （Ⅰ）求出这组数据的平均数和中位数；（Ⅱ）某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用,求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.19.（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，11021n n n a a a +++=-.（Ⅰ）求证：数列1{}na 是等差数列；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12b =，112n n n n b ab a ++=⋅，求{}n b 的前n 项和n S .20.（本小题满分12分）平面四边形ABCD 中， 2DAB π∠=，AD AB =，BCD ∆为等边三角形.现将ABD ∆沿茎 叶 7 7 9 3 8 4 6 2 90 3BD 翻折得到四面体BCD P -,点E,F,G ,H 分别为PB,PD,CD,CB 的中点. （Ⅰ）求证: 四边形EFGH 为矩形；（Ⅱ）当平面PBD ⊥平面CBD 时，求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值.21．（本小题满分12分）已知M 为椭圆C:192522=+y x 上的动点，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，点P 满足MD PD 35=. （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若A ，B 两点分别为椭圆C 的左右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为,QF PA k k ，求PAQF k k 的取值范围.22．（本小题满分12分） 已知1()x e f x x-=.（Ⅰ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅱ）求证：2ln(1)ln(1)x e x x x +≥++.。
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试卷(含答案)
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-（ ）A ．5B ．5iC ．71255i --D ．71255i -+2.已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ） A ．112 B ．51 C ．28 D ．183.已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（ ）A ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭C ．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- D ．∅4.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（ ）A 5B 35 D ．35.执行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．136.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布()100,4N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（ ） （附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）A ．3413件B ．4772件C ．6826件D ．8185件7.将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ== 8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．518π+B ．618π+C ．86π+D ．106π+10.已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．e 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元 C ．400千元 D ．440千元12.已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+(其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有4个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ． 14.已知m是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且1234533a a a a a a +++++=，则m = ．15.抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (第一象限．．．．内．)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为 ． 16.在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒,则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=. （1）求角C ；（2）若23c =ABC ∆的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 目，政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值. 21.已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-=. （1）求曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；（2）若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、12：BD二、填空题13. 1- 14. 3 15.()4,421 三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=， 即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =. ∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）由（1）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ (当且仅当23a b ==时等号成立）. 所以，ABC ∆周长的最大值为4363c =.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率为1920. （2）随机变量X 的所有可能取值有0, 1，2，3. 因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC . ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE . ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC .又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC .（2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形.∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -. 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =， 由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩.令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =--.∵()2,0,4AE =-，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则 45sin cos n AE n AE n AEθ⋅=⋅==⋅， 所以，直线AE 与平面BDM 45.20.（1）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=.又∵椭圆E过点⎛ ⎝⎭，∴2211212b b +=，解得21b =. ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y . 由()22212y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222)128820k x k x k +++-=（. 由 0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++， ∴()2221222241112k MN k x kk -=+-=++.∵点()21,0F 到直线l 的距离231k d k=+，∴2F MN ∆的面积为()()22222413212k k S MN d k -=⋅=+令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴()()222123233t t t t S t t ---+-==2232131313248t t t ⎛⎫=-+---+ ⎪⎝⎭， 当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，max 32S ，此时6k =.所以，当直线l 的斜率为6时，可使2F MN ∆32. 21.（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=--. ∵2210,0x x ->>. 令()222g x x ax a =-+，则（1）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立， 即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax =. ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭. 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立， 即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭.如图，记()0g x =的两根为((2212112,222x a a a x a a a =-=-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0g x <. ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<.∴()f x 在11,2x ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(212,2a a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((22112,222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立.令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()*.要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值. ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-.由()10h '=解得1a =.当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意. 所以，1a =.22. （1）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-=. 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=， 即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=.（2）由（1）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1. 设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ， 由动点N 在圆2C 上可得：2min min1MN MC =-.∵()22223cos 14sin 5cos 6cos 5MC θθθθ-+=-+ 当3cos 5θ=时，2min45MC =， ∴2min min4511MN MC =-=-. 23.（1）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-， 所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可. 由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+， 当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m >.所以，m 的取值范围是()2,+∞.。
2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试题及答案
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分） 1、复数2(i z i i+=为虚数单位）的虚部为A 、2B 、2-C 、1D 、1- 2、已知集合2{|12},{|10}A x x B x x =≤≤=-≤，则A B = A 、{|11}x x -<< B 、{|12}x x -<< C 、{1} D 、∅3、函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的解析式可以为A 、()3sin(2)4f x x π=-B 、()3sin(2)4f x x π=+ C 、13()3sin()24f x x π=- D 、13()3sin()24f x x π=+4、圆2222x y x y +=+上到直线10x y ++=A 、1B 、2C 、3D 、45、已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，则该几何体的侧视图可能是正视图俯视图6、641)1)的展开式中x 的系数是A 、3-B 、3C 、4-D 、4 7、实数,x y 满足0||1xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为A 、0B 、2-C 、1D 、1-8、已知椭圆221,43x y F +=为右焦点，A为长轴的左端点，P 点为该椭圆上的动点，则能够使0PA PF ∙=的P 点的个数为A 、4B 、3C 、2D 、19、“1a ≤-”是“函数1()ln f x x ax x=++在[1,)+∞上是单调函数”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、已知平行四边形ABCD ，点123,,M M M ，…，1n M -和123,,N N N ，…， 1n N -分别将线段BC 和DC n 等分（(,2)n Nn *∈≥，如图，12AM AM ++ …112n AM AN AN -++++ …145n AN AC -+= ，则n =A 、29B 、30C 、31D 、32二、填空题（本大题共5小题，每小题511按分层抽样从中抽取2000.2，则该校高三年级的总人数为_________A 2N 1N BCD 1M2M …n i M -n i N - …12、已知函数1()(0)()2(4)0)xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩（，则(2015)f =______13、右边的程序框图，输出的结果为__________ 14、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ， 若,23B A b a π=+=，则B =_____15、已知8个非零实数123,,a a a ，…，8a ，向量112(,)OA a a =，234356478(,),(,),(,)OA a a OA a a OA a a ===，对于下列命题：①123,,a a a ，…，8a 为等差数列，则存在,(1,8,,,)i j i j i j i j N *≤≤≠∈，使41k k OA =∑与向量(,)i j n a a =共线；②若123,,a a a ，…，8a 为公差不为0的等差数列，(,)i j n a a = (,,,1,8)i j i j N i j *≠∈≤≤，(1,1),{|}q M y y n q ===∙ ，则集合M 中元素有13个；③若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则对任意,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，都有//i j OA OA；④若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则存在,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，使i j OA OA ∙< ；⑤若i j m OA OA =∙ ,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，则m 的值中至少有一个不小于0，上述命题正确的是______（填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、已知函数1()sin()cos()(01)362f x x x ππωωω=+--<<的图像关于直线3x π=对称（1）求ω的值；（2）若12(),(,)633f ππαα=∈-，求cos α的值17、一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为11,23，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望。
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题
安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A．5 B． C． D．2.已知等差数,若，则的前7项的和是（）A．112 B．51 C．28 D．183。
已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（ )A．B．C．且 D．4。
若双曲线的一条渐近线方程为,该双曲线的离心率是( ）A． B． C． D．5。
执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是( )A．2 B． C． D．6。
已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布。
现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（）(附：若服从，则,)A．3413件 B．4772件 C．6826件 D．8185件7。
将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍,得到的图像，则的可能取值为( ）A． B． C． D．8.已知数列的前项和为,若，则（）A． B． C． D．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．10。
已知直线与曲线相切（其中为自然对数的底数），则实数的值是( ）A． B．1 C．2 D．11。
某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时。
两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为（）A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元12。
已知函数(其中为自然对数的底数),若函数有4个零点,则的取值范围为（ )A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，则．14。
2021届安徽省合肥市2018级高三上学期调研考试数学(理)试卷参考答案
2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 4 页 2021届安徽省合肥市2018级高三上学期调研考试数学（理）试卷
∴点 E 的轨迹是以 F1 ( 1，0 )， F2 (1，0)为焦点，长轴长为4 的椭圆.
设椭圆的方程为
x a
2 2
3. 2
当a
7 时，由b 3
7
a
得
A
0 ， 2
.又∵sin
A
3 2
，∴
A
3
.
2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 4 页 2021届安徽省合肥市2018级高三上学期调研考试数学（理）试卷
由余弦定理得，a2 b2 c2 2bc cos A ，∴7 9 c2 3c ，解得c 1 或c 2 .
B
sin C
sin
B
sin
2 3
B
sin
B
sin
B
3
3
sin
B
6
3 2
，
3
.
…………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解: (1)证明:过点 B 作 BO AC 于O .
∵平面 PAC 平面 ABC ，平面 PAC 平面 ABC=AC ， BO 平面 ABC ，
.令 z2 n1 n2 n1 n2
1 得 x2
1 9
.
2
， y2
2
，∴ n2
2，2，1
，
∵二面角 A BD C 的平面角 是钝角，∴
cos
1 9
.
……………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
安徽省合肥市2018届高三三模数学(理科)试题
合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 总分值：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z =A.3B.2C.3D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B = A.∅ B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.{}1 D. 1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A ()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23 B.53 C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，假设()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3 B.13，3 C.-1，13，3 D. 13，12，35.假设l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则以下不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b <8.运行如下图的程序框图，假设输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k < 9.假设正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.162 10.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如下图为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的外表积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0) D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)假设实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .(14)已知()23OA =，()0 2OB =，，AC t AB t R =∈，，当OC 最小时，t = . (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.假设45A =，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b = .(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S，假设数列也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题总分值12分)已知函数()1cos cos 223f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题总分值12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)假设从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题总分值12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE 12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题总分值12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.假设圆M 的面积最小值为π.(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦M A M B ，，且满足AM F BM F ∠=∠.假设直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题总分值12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题总分值10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．(Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.EDCBA合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题总分值12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题总分值12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C CP X P XC C======，，∴X∴()01232202202202204E X=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题总分值12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分 (Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如下图.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 22C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，202E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，，22 0 22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，. 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22022022x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，. 又∵()0 0DE a =-，，，∴点E 到平面BCD 的距离21||14DE n d n a⋅==+.∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 1217=17144d =+.………………………12分(20)(本小题总分值12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2. 由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=.设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，.将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=.由直线AB 与圆M 相切得，322m -=，解得322m =±.经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分(21)(本小题总分值12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--.设()xg x e x a =--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-.∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+，∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲 (Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.(1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。