高等数学上册复习资料

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高数讲义上册总复习

a
0
若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例1：求
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
例2：求 2 ( x 3 sin 2 x ) cos 2 x d x
（特别关注）
4.已知函数 f (x) 满足:
1
0
f
(ux)d u
1 2
f
(x) 1,
1
0 f ( x)d x
1,
求 f (x) .
答案： f ( x) 2(1 x).
2。二阶常系数非齐次微分方程的通解
（非齐项为 e x Pm ( x) 类型）
重点： y py qy e x Pm ( x)
六、综合证明题
（1）用单调性证明不等式
（2）利用积分中值定理和罗尔定理证明含有中值的等式
（3）零点定理（熟练掌握函数的构造方法）
所确定,
求
d2 dx
y
2
.
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的设
4. 函数的单调性判别，极值 5. 求曲线的凹凸区间及拐点, 例如:
例1 设 y 1 arctan 1 x2 1 ln 1 x2 1 ,
2
4 1 x2 1
求 y.
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例3：求曲线
y x2, 2
y
1 1 x
2

高等数学(上册)重点总结

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

《高等数学》(上)期末复习知识要点

1、四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、微分中值定理；10、定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、　极限及其求法：二、　函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1）显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2）参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ，其它阶同理可求.3）隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、微分()dy f x dx ′=5、关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、　导数与微分1、曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫，其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、　导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、平面图形的面积：1）直角坐标,x y ：a、曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2）极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）：设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、　定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】　（一）一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性．（二）可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶（三）概念与理论1、概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、　微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。

高等数学(上册)复习总结

高等数学（上册）复习总结第一章函数、极限与连续主要知识点：函数的概念；函数的奇偶性、有界性；复合函数；初等函数；极限的概念;极限的性质（唯一性、有界性、保号性）；夹逼准则、单调有界原理、两个重要极限；无穷小的概念、无穷小阶的比较；等价无穷小代换性质、无穷小与有界函数乘积仍为无穷小之性质；函数的双侧极限与单侧极限（即左右极限）之关系；函数连续的概念及定义；判别间断点的类型；闭区间上连续函数的性质（零点定理、最值定理）。

主要技能测试点：1．对极限概念的理解，并能灵活运用计算极限的各种方法计算极限；2．对连续概念的理解，会讨论函数的连续、间断情形，并能判别间断点的类型。

主要题型：1．函数复合；2．计算各种类型的极限；3．确定极限式中所含的参数；3．无穷小阶的比较；4．函数连续性的讨论及确定函数式中的参数（已知函数连续）；5．判别间断点的类型；6．利用零点定理讨论方程根的存在。

第二讲导数与微分主要知识点：导数定义；左右导数的定义及左右导数与导数的关系；可导与连续的关系；导数作为函数变化率的几何意义、物理意义；曲线的切线与法线方程；导数公式；求导法则（四则运算、复合函数、反函数）；微分的概念；高阶导数。

主要技能测试点：1、对导数定义的理解，运用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、掌握计算导数的各种方法，会求各类函数的导数。

3．运用导数的几何、物理意义解决有关曲线的斜率、瞬时速度等实际问题。

主要题型：1、利用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；2、讨论函数在一点的连续性与可导性的；3、求复合函数的导数（包括抽象复合函数的求导）；4、求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数；5、求幂指函数的导数；6、求高阶导数第三讲中值定理与导数应用主要知识点：三个中值定理（罗尔、拉格郎日、柯西）；洛必达法则；利用导数判别函数的单调性；极值的概念；函数取得极值的充分与必要条件；极值的判别法（一阶导数判别法、二阶导数判别法）；求最值的方法；曲线的凹凸性的判别法及求拐点的方法；曲线的渐近线。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限：右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。

0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。

高数上期中复习资料

高等数学（上）期中复习资料基础数学协会2014.11第一章函数与极限1函数的极限(1)函数连续性的判断： (2)求函数的间断点：1）第一类间断点（左右极限都存在）：a.可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。

b.跳跃间断点：左右极限存在但不相等。

2）第二类间断点：除第一类间断点以外的所有的间断点。

2数列的极限（1）证明数列极限存在的方法： 1）夹逼定理2）单调有界定理 3）柯西准则常见的极限不存在的情况：1）子数列发散2)子数列虽收敛但极限不同（2）求极限方法：1）定义法证明猜想的极限； 2）夹逼准则；3）柯西极限存在守则； 4）换元法求极限5）先证明有极限（多用单调有界定理），再用极限值直接代入求解,例如常见的等价无穷小极限化简常用的方法：恒等变形、约去零因子罗比达法则（重点），常与等价无穷小一起交替使用，使用时注意使用条件，常考的有七种不定式极限：100型常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；换元；罗比达法则；恒等变形2∞∞型常用方法：分子分母同时除以最高次幂项；换元；罗比达法则 3∞-∞型常用方法：通分；倒代换；有理化40∙∞型常用方法：变形；换元；取倒数化为0型5001+∞∞型型型取对数化为0∙∞型；利用重要极限10lim(1)xx x e→+=第二章导数与微分2x 0x sinx tanx arcsinx arctanx ln 1x 111-cosx 1xlna 1ax2x x a e a →+---时，（）x ，，(1+x)00,,lim ,lim lim n n n n n n n n n n n N n n a ax a yyx zzx→∞→∞→∞∃∈>≤≤===当时有则存在极且限且()()()0()f x f x f x f x -+⇔==在x 连续1导数的概念()()0'00000()()()limlimx x x f x x f x f x f x f x x x x →→+--==- 2平面曲线的切线和法线方程3一元函数求导（1）参数方程求导()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ '()'()dy t dx t ψϕ= 22'()''()'()'()''()()'()'''()d y d t dt t t t t dx dt t dx t ψψϕψϕϕϕ-=∙=（2）隐函数求导：1）方程两边同时对x 求导，解关于y'的方程，求导时要注意y 是x 的函数，不要忘记y'2）利用微分形式不变性，对方程两边同时取微分，然后解出dydx（3）反函数求导：1'dx dy y =()232'''d x y dy y =- （4）分段函数求导：在间断点处用定义求导即可。

《高等数学上册》复习重点

《高等数学上册》复习重点（注意：此文件仅供教师复习课用，不能给学生拷贝！即教师上复习课时以此为纲，让学生通过听课记笔记（而不是抄或拷贝）了解此重点。

）第一章函数与极限1.朴素的极限概念，极限四则运算法则2.两个重要极限3.无穷小定义，无穷小的阶，等价无穷小代换4.求间断点及判别间断点的类型5.连续和极限的关系，连续函数的极限6.利用零点定理验证解的存在性第二章导数与微分1.导数的定义和几何意义2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则3.二阶导数4.隐函数求导5.参数方程所确定的函数的求导6.微分的定义和几何意义，求微分，一阶微分形式不变性7.连续、可导与可微的关系第三章微分中值定理与导数的应用1.拉格朗日中值定理及其应用2.利用洛必达法则求未定式的极限3.判断函数的单调性，利用单调性证明不等式4.判断函数图形的凹凸性，求拐点5.求函数极值点和极值，求解较简单的最值应用问题第四章不定积分1.原函数与不定积分的概念，不定积分的性质2.不定积分的第一换元法（简单的凑微分法）3.不定积分的第二换元法（不含三角代换）4.典型的分部积分法问题，换元法与分部法的结合5.简单的有理函数的积分（简单地试凑可分解为部分分式的）第五章定积分1.定积分的概念及性质2.变限积分的概念及其求导3.牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法4.简单的无穷限的反常积分第六章定积分的应用1.平面图形面积（直角坐标方程）2.绕坐标轴旋转的旋转体的体积（直角坐标方程）第七章微分方程（注意：讲课按教学大纲要求讲，不可删减内容）1.微分方程解的概念，线性微分方程解的结构2.可分离变量的微分方程3.一阶线性微分方程4.二阶常系数齐次线性微分方程5.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式6.简单的微分方程应用问题。

高数(上)期末复习重点

高数〔上册〕期末复习要点第一章：1、极限〔夹逼准则〕2、连续〔学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型〕第二章：1、导数〔学会用定义证明一个函数是否可导〕注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则〔背〕3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理〔一定要熟悉并灵活运用--第一节〕2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值〔高中学过，不需要过多复习〕5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法〔变dx/变前面〕2、分部积分法〔注意加C 〕〔最好都自己推导一遍，好记〕定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线〔两直线的夹角、线面夹角、求直线方程〕 3、空间平面4、空间旋转面〔柱面〕高数解题技巧。

〔高等数学、考研数学通用〕高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，假设被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：假设涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：假设题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE 再说。

高数上册知识点

高等数学（上册）知识考点一、函数1. 函数定义域：指使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.例：21arccos()x f x -=反函数的图像、性质 2. 复合函数的分解(1) 分解原则：由外层向内层逐层分解，直到简单函数为止。

(2) 简单函数：由基本初等函数和常数经过四则运算而成。

4. 函数奇偶性（1）奇偶函数的判断：熟悉基本初等函数奇偶性，并经过四则运算和函数复合后，新函数的奇偶性。

例：()sin arctan f x x x =+, 2tan (),1x g x x=+ 3()sin()cos(tan )h x x x = (2) 奇偶函数在关于原点对称区间上定积分的求解，特别注意被积函数由奇、偶函数混合形成，注意分解。

⎰-+222sin )cos (ππdx x x x二、函数极限1. 分子、分母均为多项式的商式求极限（1）当x 时 (此时x 可用n 替换，方法类似)101010100, ,()lim ()lim , ,(), .m m m m n n x x n n n m P x a x a x a a f x n m P x b x b x b b n m --→∞→∞⎧>⎪+++⎪====⎨+++⎪⎪∞<⎩ (2) 当0x x ®时00()lim ()lim ()mx x x x nP x f x P x →→= ① ()n P x 极限不为0, 此时无论()m P x 极限是否为0, 用代值法.例：2323lim 1x x x x ®--- ② ()n P x 极限为0，若()m P x 极限不为0，则极限为无穷。

例：2123lim 1x x x x ®--=?- ③ ()m P x 、()n P x 同时趋于0，则为0""0型，可采用约去零因子、等价无穷小替换、罗比达法则等手段.2. 函数中含有根式，可考虑有理化例：2x → 3. 两个重要极限，掌握其广义应用，即x 可换成任意无穷小.例：52lim()1x x x x + +4. 无穷小(1) 无穷小阶的比较 0,lim ,,k b a ìïïï=íïï¥ïïî1k =时，称a b 、为等价无穷小.且当l i m 0k c b a =?时，称b 为a 的k 阶无穷小.(2) 有限个无穷小的和、积仍为无穷小，但无限个不成立. (3) 无穷小（不为零）、无穷大互为倒数. 例：2123lim 1x x x x ®--=?- （4）无穷小乘以有界量为无穷小，解决的关键是判断各因子的极限，确定类型. A. sin lim0x x x = B. 01lim sin 0x x x®= C. 1lim sin 1x x x = D. 20sin 1lim sin 2x x x x x ®+=+ (5) 求极限过程中，熟练掌握常见等价无穷小的代换，注意：只能对整个积、商的因子，作代换.（P19）例：0n l i x ®, 30tan sin lim x x x x®-,一、函数连续性1. 函数连续区间（1）初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和函数复合形成，并且可用一个式子表示的函数。

大一高数复习资料

高等数学第一章函数与极限第一节函数●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲） ●邻域（去心邻域）（▲）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节数列的极限 ●数列极限的证明（▲）〖題型〗已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=〖证明〗N -ε语言1．由n x a ε-<化簡得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限●0x x →时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim〖证明〗δε-语言1．由()f x A ε-<化簡得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim●∞→x 时函数极限的证明（▲）〖題型〗已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim〖证明〗X -ε语言1．由()f x A ε-<化簡得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大●无穷小与无穷大的本质（▲）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim●无穷小与无穷大的相关定理与推论（▲▲）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大〖題型〗計算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则●极限的四则运算法则（▲▲）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）〖題型〗求值233lim 9x x x →--〖求解示例〗解：因為3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ●连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（▲▲）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 〖題型〗求值：93lim 23--→x x x 〖求解示例〗3x →===第六节极限存在准则及两个重要极限●夹迫准则（P53）（▲▲▲）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11limlim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）●单调有界收敛准则（P57）（▲▲▲）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）〖題型〗求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x〖求解示例〗()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫ ⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ●等价无穷小（▲▲）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）〖題型〗求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 〖求解示例〗()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性 ●函数连续的定义（▲）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==●间断点的分类（P67）（▲）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）〖題型〗设函数()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？〖求解示例〗1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ●零点定理（▲）〖題型〗证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间〖证明〗1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念●高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（▲▲）〖題型〗已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b〖求解示例〗1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==〖題型〗求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）〖求解示例〗1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则●函数和（差）、积与商的求导法则（▲▲▲） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则●反函数的求导法则（▲）〖題型〗求函数()x f1-的导数〖求解示例〗由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ●复合函数的求导法则（▲▲▲）〖題型〗设(ln y e =，求y '〖求解示例〗(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛⎫ ⎝第四节高阶导数 ●()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（▲）〖題型〗求函数()x y +=1ln 的n 阶导数〖求解示例〗()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦，()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ●隐函数的求导（等式两边对x 求导）（▲▲▲）〖題型〗试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程〖求解示例〗由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化簡得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111●参数方程型函数的求导〖題型〗设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd〖求解示例〗1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分●基本初等函数微分公式与微分运算法则（▲▲▲）()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ●引理（费马引理）（▲） ●罗尔定理（▲▲▲）〖題型〗现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立〖证明〗1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立●拉格朗日中值定理（▲）〖題型〗证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化簡得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅〖題型〗证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化簡得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则●运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（▲▲）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）〖題型〗求值：0lim ln x x x α→⋅〖求解示例〗()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）〖題型〗求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭〖求解示例〗 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）〖題型〗求值：0lim xx x →〖求解示例〗()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）〖題型〗求值：()10lim cos sin xx x x →+〖求解示例〗()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）〖題型〗求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭〖求解示例〗()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得●运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（▲▲）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ●连续函数单调性（单调区间）（▲▲▲）〖題型〗试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间〖求解示例〗1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2〖題型〗证明：当0x >时，1xe x >+ 〖证明〗1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+〖題型〗证明：当0x >时，()ln 1x x +< 〖证明〗1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<●连续函数凹凸性（▲▲▲）〖題型〗试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点〖证明〗1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x (,0)-∞ 0 (0,1) 1(1,2) 2 (2,)+∞y ' -0 + + 0 - y '' + +- -y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值●函数的极值与最值的关系（▲▲▲）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；〖題型〗求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值〖求解示例〗1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ●原函数与不定积分的概念（▲▲） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（▲▲）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（▲▲）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）●基本积分表（▲▲▲）●不定积分的线性性质（分项积分公式）（▲▲▲）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法●第一类换元法（凑微分）（▲▲▲）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 〖題型〗求221dx a x+⎰ 〖求解示例〗222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：〖題型〗求〖求解示例〗()()121212x x C=+=+=●第二类换元法（去根式）（▲▲）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t bx a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ； bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；〖題型〗求（一次根式）〖求解示例〗211221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰〖題型〗求（三角换元）〖求解示例〗()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ●分部积分法（▲▲）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ●运用分部积分法計算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接計算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C〖題型〗求2x e x dx ⋅⎰〖求解示例〗()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：〖題型〗求sin x e xdx ⋅⎰〖求解示例〗()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即： ∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ●有理函数（▲）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式●有理函数（真分式）不定积分的求解思路（▲）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k l P x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N xpx q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解〖題型〗求21xdx x +⎰（构造法）〖求解示例〗()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ●定积分的定义（▲）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）●定积分的性质（▲▲▲）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a a f x dx =⎰ ⑶()()bbaakf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰●积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式●牛顿-莱布尼兹公式（▲▲▲）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰●变限积分的导数公式（▲▲▲）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 〖題型〗求21cos 2limt xx e dt x-→⎰〖求解示例〗()221100cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos 000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ●定积分的换元法（▲▲▲） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 〖題型〗求20121dx x +⎰〖求解示例〗()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰〖題型〗求4⎰〖求解示例〗()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰●偶倍奇零（▲▲）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

高等数学上册复习资料

高等数学上册复习资料高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为关键。

在高等数学上册中，我们学习了微积分的基本概念和方法，包括极限、导数、积分等。

这些知识点是我们进一步学习和应用数学的基础，因此复习高等数学上册的内容非常重要。

一、极限与连续极限是微积分的核心概念之一。

在复习极限的时候，我们需要掌握极限的定义和性质，包括极限的存在性、唯一性和四则运算法则等。

此外，我们还需要熟悉常见函数的极限计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。

连续是极限的重要应用之一。

在复习连续性的时候，我们需要了解函数连续的定义和判定方法，包括间断点的分类和判定条件。

同时，我们还需要熟悉连续函数的性质和运算法则，比如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。

二、导数与微分导数是微积分的另一个核心概念。

在复习导数的时候，我们需要掌握导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算法则和导数的链式法则等。

此外，我们还需要熟悉常见函数的导数计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。

微分是导数的应用之一。

在复习微分的时候，我们需要了解微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的近似计算和微分的运算法则等。

同时，我们还需要熟悉微分中的常用公式和技巧，比如微分中值定理、泰勒展开等。

三、积分与不定积分积分是微积分的重要组成部分。

在复习积分的时候，我们需要掌握积分的定义和性质，包括定积分和不定积分的概念、积分的线性性质和积分的换元法则等。

此外，我们还需要熟悉常见函数的积分计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。

不定积分是积分的一种特殊形式。

在复习不定积分的时候，我们需要了解不定积分的定义和性质，包括不定积分的线性性质、不定积分的基本公式和不定积分的换元法则等。

同时，我们还需要熟悉不定积分中的常用技巧，比如分部积分法、换元积分法等。

四、常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用领域。

在复习常微分方程的时候，我们需要了解常微分方程的基本概念和分类，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程的定义和性质。

高数重要知识点

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小;3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：10)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达H L 'ospital 法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 1∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．使用洛必达法则时必须注意以下几点： 1洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； 2只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；3洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆如果存在8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 如果存在三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f x 的间断点;如果f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 是f x 的第一类间断点;第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点; 2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点;常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点;四．闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质;这些性质以后都要用到;定理1．有界定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则f x 必在a ,b 上有界;定理2．最大值和最小值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m ;定理3．介值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于m 和M 之间的任何实数c ,在a ,b 上至少存在一个ξ ,使得f ξ = c推论：如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且f a 与f b 异号,则在a ,b 内至少存在一个点ξ ,使得f ξ = 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1.复合函数运算法则设y = f u ,u = x ,如果 x 在x 处可导,f u 在对应点u 处可导,则复合函数y = f x 在x 处可导,且有)('))(('x x f dxdudu dy dx dy φφ==对应地dx x x f du u f dy )('))((')('φφ==,由于公式du u f dy )('=不管u 是自变量或中间变量都成立;因此称为一阶微分形式不变性; 2.由参数方程确定函数的运算法则设x = t ,y =)(t ϕ确定函数y = yx ,其中)('),('t t ϕφ存在,且)('t φ≠ 0,则)(')('t t dx dy φϕ= 二阶导数3.反函数求导法则设y = f x 的反函数x = gy ,两者皆可导,且f ′x ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g4 隐函数运算法则可以按照复合函数理解设y = yx 是由方程Fx , y = 0所确定,求y ′的方法如下：把Fx , y = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y ′ 的表达式允许出现y 变量 5 对数求导法则指数类型如x x y sin =先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y ′; 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数注意定义域 P106 例6关于幂指函数y = f xg x 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行; 6 可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在0x 处可导;7 求n 阶导数n ≥ 2,正整数先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性,然后写出yn ,最后用归纳法证明;有一些常用的初等函数的n 阶导数公式（1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=5x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；3 f a = f b 则存在ξ ∈a ,b ,使得f ′ξ = 0二 ★拉格朗日中值定理证明不等式 P134 9、10设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；则存在ξ ∈a ,b ,使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f x 在a ,b 内可导,且f ′x ≡ 0,则f x 在a ,b 内为常数;推论2．若f x , gx 在a ,b 内皆可导,且f ′x ≡ g ′x ,则在a ,b 内f x = gx + c ,其中c 为一个常数; 三柯西中值定理设函数f x 和gx 满足：1在闭区间a ,b 上皆连续；2在开区间a ,b 内皆可导；且g ′x ≠0则存在ξ ∈a ,b 使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形gx = x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;四 ★泰勒公式① 估值 ② 求极限麦克劳林 P145 T10 定理 1．皮亚诺余项的n 阶泰勒公式设f x 在0 x 处有n 阶导数,则有公式,称为皮亚诺余项对常用的初等函数如x e ,sin x ,cos x ,ln1+ x 和α)1(x + α 为实常数等的n 阶泰勒公式都要熟记;定理2拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f x 在包含0 x 的区间a ,b 内有n +1阶导数,在a ,b 上有n 阶连续导数,则对x ∈a ,b ,有公式,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式;当0x =0 时,也称为n 阶麦克劳林公式;导数的应用一基本知识设函数f x 在0x 处可导,且0x 为f x 的一个极值点,则0)('0=x f ;我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然;极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断; 极值点判断方法)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点；②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点.② 第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点.二凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x ,恒有则称f x 在I 上是凸凹的;在几何上,曲线y = f x 上任意两点的割线在曲线下上面,则y = f x 是凸凹的;如果曲线y = f x 有切线的话,每一点的切线都在曲线之上下则y = f x 是凸凹的; 2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点; 3 凹凸性的判别和拐点的求法设函数f x 在a ,b 内具有二阶导数)(''x f ,如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f > 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凹的；如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f < 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凸的; 求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数)(''x f ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标; 四渐近线的求法五曲率第四章不定积分一基本积分表：二换元积分法和分部积分法换元积分法1第一类换元法凑微分：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2第二类换元法变量代换：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律;记住口诀,反对幂指三为)(x u ,靠前就为)(x u ,例如xdx e x arcsin ⎰,应该是x arcsin 为)(x u ,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他; 三有理函数积分有理函数：)()()(x Q x P x f =其中)()(x Q x P 和是多项式; 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=⑵))(()()(b x a x x P x f ++=⑶ba x x P x f ++=2)()()(1、“拆”；2、变量代换三角代换、倒代换、根式代换等.第五章定积分一概念与性质1、定义：∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：10条（3）3 基本定理变上限积分：设⎰=Φxadtt f x )()(,则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ N —L公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰4 定积分的换元积分法和分部积分法第六章定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积： a 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba xdx x f V )(2πb 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=baydx x xf V )(2π 柱壳法2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=,两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=,设x y u =,则dxdux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =,两边积分n 次；2、),(y x f y '=''不显含有y ,令p y =',则p y '=''；3、),(y y f y '=''不显含有x ,令p y =',则dy dppy =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ,特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=,其中 } ,max{n l m =,⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

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高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→间断点第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义1）数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c) x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +） e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- , 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1）导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） Taylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m xλ=，设特解)(*x Q e x y m xkλ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

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高等数学第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x(,0)-∞ 0(0,1) 1(1,2) 2(2,)+∞y '-++- y '' ++--y1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],ab 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= ．（三行表）x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰。

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学上册知识点(供参考)(精品文档)

高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

关于高等数学上册复习归纳

关于高等数学上册复习归纳标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1 两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。

例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u tt =-∞<<+∞是同一个函数。

2 函数的几种特性（1）有界性 ()y f x x D =∈如果存在实数1k ，使得1()f x k ≤ ，则称()f x 在D 上有上界如果存在实数2k ，使得1()f x k ≥ ，则称()f x 在D 上有下界。

有界：既有上界，又有下界。

即存在实数1k ，2k 使得21()k f x k ≤≤ 等价于存在0k > ，使得()f x k x D ≤∈（2）单调性若对区间I 内任意两点12x x < ，都有12()()()f x f x ≤≥ ，则称()y f x =在I 内单调增加（减少）。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

（3）奇偶性设函数()y f x =的定义域关于原点对称如果 ()()f x f x -= ，则称 ()f x 为偶函数如果()()f x f x -=- ，则称 ()f x 为奇函数（4）周期性若()()f x l f x += 则称()f x 是以l 为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期 3复合函数设()y f u =的定义域为1D ，又()u g x =的定义域为D ，且1()g D D ⊂ ，则函数[]()y f g x x D =∈称为由函数()u g x =和函数 ()y f u =构成的复合函数。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)x y a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等（5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。

高等数学上册复习资料

高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1 两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。

例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u t t =-∞<<+∞是同一个函数。

有界：既有上界，又有下界。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x = 4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)xy a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等（5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。

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例如：sin y x x =-∞<<+∞ 与sin u tt =-∞<<+∞是同一个函数。

有界：既有上界，又有下界。

若将“()≤≥ ”改成“()<>”称为严格单调增加（减少）。

u 称为中间变量，记为：[]()()()f g x f g x =4 基本初等函数：（1）幂函数 y x μ= （2）指数函数 (0,1)x y a a a =>≠（3）对数函数log a y x = 特例,ln a e y x == （4）三角函数 sin ,cos y x y x == 等（5）反三角函数 arcsin ,arccos y x y x ==等5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。

例：210()10x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩两个式子，故不是初等函数6 函数的极限当x →∞时，若()f x 无限地接近于某个确定的数A ，则称A 为()f x 当x →∞时的极限。

记为lim ()x f x A →∞=重要结论：lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==lim ()x f x A→∞=的几何意义：一、 y A =是他的水平渐近线例如： 1lim0x x→∞=二、 lim ()lim ()x x f x Af x B →+∞→-∞==而 A B ≠ ，则说明它有两条渐近线。

例如：lim arctan ,,22x x y y ππ→∞==-两条渐近线。

当0x x →时，如果()f x 无限地接近于某一确定的常数A ，则称A 为()f x 当0x x →时的极限。

记为：0lim ()x x f x A→=注：（1）()f x 在0x 处的极限存在与否与()f x 在0x x =处有无定义没有关系。

因为定义中没有要求0x x =，只是 0x x →（2）x 趋近于0x 的方式是任意的。

（即可以从左边，也可以从右边）左极限：当x 从左边趋近于0x （记为：0x x -→）时，()f x A →，则称A 为()f x当0x x →时的左极限。

记为：0lim ()x x f x A -→= 或0()f x A -= 。

右极限：0lim ()x x f x A +→= 0lim ()x x f x A →=⇔0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→= 即左右极限存在且相等若： 00()()f x f x -+≠ ，则0lim ()x x f x →不存在7 无穷小量定义：以 0为极限的变量称为无穷小（量）定义：当0x x →（或x →∞）时 ()f x 无限增大注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大无穷大的几何意义：lim ()x x f x →=∞ ，直线0x x =是函数()y f x =图形的铅直渐近线（回忆水平渐近线定理二：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小，且()0f x ≠ ，则1()f x 为无穷大。

无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论：（1）有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。

（有极限⇒有界）（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小（3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小8 无穷小的比较定义：设,αβ都是无穷小(1) 若lim0βα= ，则称β是比α高阶的无穷小，记为：0()βα= (2) 若lim βα=∞ ，则称β是比α低阶的无穷小(3) 若lim 0c βα=≠ ，则称β与α是同阶无穷小(4) 若lim 1βα= ，则称β与α是等价无穷小，记为：~αβ最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论当0x →时，sin ~,tan ~,ln(1)~,1~x x x x x x x e x +- ，arcsin ~x x ，arctan ~x x 11~x n ，211cos ~2x x - ，1~ln x a x a - ，(1)1~x x αα+- 注意其引申 sin ~,tan ~kx kx kx kx即上面的无穷小可换成其他无穷小定理一：设'~αα ，'~ββ ，且''lim βα存在，则''lim lim ββαα=9 函数的连续性定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果[]000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-= ，则称()y f x =在点0x 处连续。

强调：0x ∆→包含 0,0x x ∆>∆→ ；0,0x x ∆<∆→ 记：0x x x +∆= ，则000()()()()y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 0()()f x f x y ⇒=+∆0x ∆→ 相当于 0x x →0y ∆→ 相当于 0()()f x f x → 由此，我们得到连续的另一个等价定义定义2 ：设()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →= ，则称()y f x =在点0x 处连续。

即：在0x 处的极限等于它在该点的函数值与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念若0lim 0x y -∆→∆= ，即00lim ()()x x f x f x -→= ，则称()f x 在点0x 处左连续若0lim 0x y +∆→∆= ，即00lim ()()x x f x f x +→= ，则称()f x 在点0x 处右连续 ()y f x =在点0x 处连续⇔左右都连续即 00lim ()lim ()()x x f x f x f x -+∆→∆→==若函数()y f x =在点0x 处不连续，则称()y f x =在点0x 处间断。

0x 称为()y f x =的间断点。

（1）可去间断点极限0lim ()x x f x →存在，但()y f x =在点0x 处无定义或()y f x =在点0x 处有定义，但00lim ()()x x f x f x →≠ 。

则称0x 为()f x 的可去间断点。

（2 ）跳跃间断点若0lim ()x x f x -→与 0lim ()x x f x +→存在，但 0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠ 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。

第一类间断点的特点是左右极限都存在。

第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。

特点：是至少有一个单侧极限不存在。

常见的有无穷间断点。

特点：至少有一个单侧极限为无穷大。

一切初等函数在其定义区间内是连续的 10 函数的导数定义：设函数()y f x =在点0x 处的某个邻域0()U x 内有定义，给0x 以增量x ∆（000,()()x x x U x ∆≠+∆∈仍然在该邻域内），若0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在。

则称()f x 在0x 处可导。

并称这个极限值为()f x 在0x 处的导数。

记为：()f x ' ，0x x y =' ，(),x x x x df x dydx dx == 即 000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆关于导数的几点说明：（1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

（2）令0x x x +∆= ，当0x ∆→时 0x x → 等价定义 0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=- 或0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=（1）若定义中极限不存在，则称()f x 在0x 处不可导。

在不可导中有一个特殊情形。

当0limx yx∆→∆=∞∆ ，则称()f x 在0x 处的导数为无穷大。

（2）如果函数()y f x =在开区间I 内的每一点处都可导，就称函数()y f x =在开区间I 内可导。

（3）对于任一个x I ∈ ，都对应着()f x 的一个确定的导数值，()x f x '→ 。

这个函数叫做原来函数()f x 的导函数。

记作：()dy y f x dx ''或()df x dx即 0()()limx f x x f x y x ∆→+∆-'=∆ 或0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=注：（1）导函数()f x '简称为导数（2）00()()x x f x f x =''=（6）单侧导数1、左导数 00000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 2、右导数 00000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆ 0()f x '存在00()()f x f x -+''⇔=（7）如果()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()()f b f a -+''及都存在，就说()f x 在闭区间[],a b 上可导。