2020届三轮冲刺 上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第七讲 数列

2020上海高考数学基础知识回顾：
第七讲 数列
一、数列的有关概念
★1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． ★2、数列的项：数列中的每一个数． ★3、有穷数列：项数有限的数列． ★4、无穷数列：项数无限的数列．
★5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． ★6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． ★7、常数列：各项相等的数列．
★8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． ★9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．
★10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 二、等差数列及其性质
★1、等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．首项是1a ，公差是d ，则()d n a a n 11-+=． ★2、通项公式的变形：①()d m n a a m n -+=；②()d n a a n 11--=；③1
1
--=
n a a d n ；④11+-=
d a a n n ；⑤m
n a a d m
n
--=． ★3、若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．
★4、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则q p n m a a a a +=+；若
{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a +=2
★5、等差数列的前n 项和的公式：①()2
1n n a a n S +=；②()112n n n S na d -=+． ★★6、等差数列的前n 项和的性质：①⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S n 是等差数列；②n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数基础知识
列③若项数为(
)*
2n n ∈N
，则()12++=n n n
a a n S
，且nd S S =-奇偶，
1
+=
n n
a a S S 奇
偶；④若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =
-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．
三、等比数列及其性质
★1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比
数列，这个常数称为等比数列的公比．首项是1a ，公比是q ，则1
1n n a a q -=．
★2、通项公式的变形：①m n m n q a a -=；②n n q a a -=11；③11
a a q n n =
-；④m
n m
n a a q
=-． ★3、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}
n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则q p n a a a ⋅=2
．
★4、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪
=-⎨-=≠⎪
--⎩
．
★★5、等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()
*
2n n ∈N ，则
S q S =偶奇
．②
m n n m n S q S S ⋅+=+．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（1-≠q ）．
四、数列的通项与求和
★★★1、数列通项公式的常见求法：定义法、公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数法、构造法等；
★★★2、数列前n 项和的常见求法：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法等． 五、数学归纳法
★★由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法，它能帮助我们发现一般规律；观察、归纳、猜想、证明，是发现数学规律的完整过程，其中证明是指用数学归纳法证明； 应用数学归纳法有两个步骤：①证明当n 取第一个0n 时结论正确； ②假设当
k
n =（*0,k N k n ∈≥）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立．这两步缺一不可，要完整地书写；用数学归纳法可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题．
六、数列的极限
★1、数列极限的含义：一个数列{}n a 中的项n a ，当n 无限增大时，它无限地接近于某个常数A ，即||n a A -能小于任意给定的正数ε时，称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞
=．
★2、数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞
→∞
→lim ,lim ，那么
①b
a b a n n n ±=±∞
→)(lim
②b
a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim
③)
0(lim
≠=∞→b b
a
b a n n n
特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim ．
★3、三个基本极限：
①C C n =∞
→lim （C 为常数） ②()
*1
lim 0,k n k N k n
→∞
=∈是常数
③对于任意实常数， 当1q <时，lim 0n
n q →∞
=
当1q =时，若1q =，则lim 1n
n q →∞=；若1q =-，则()lim lim 1n
n
n n q →∞→∞
=-不存在
★★4、无穷递缩等比数列的和：q
a S n -=11
（0||1q <<） 六、利息问题
★存款单利问题：（零存整取储蓄（单利）本利和计算模型）若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：()()()nr p r p r p S n +++++=1211ΛΛ；
★★分期付款复利问题：若贷款p 元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第一次还款日，如此下去，分n 次还清，如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还贷款x 元应满足：
()
()
()()n
n n r p x r x r x r x +=+++++++--11112
1
ΛΛ
一、数列的概念
数列是特殊的点函数，对数列的通项、单调性、最值可以利用函数的方法来解决，也可以利用n
a 与1+n a 相邻项的比较来计算和解决问题。

【例1】已知11
23
-=n a n ()*∈N n ，则数列{}n a 的最小项和最大项分别是
【难度】★★ 题型与方法
【答案】3-和3
【例2】在单调递增数列{}n a 中，若()
*
∈-=N n kn n a n 2，则实数k 的取值范围为
【难度】★★ 【答案】3<k
【例3】已知数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎭⎫⎝⎛<≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤=+1211221021n n n n n a a a a a ，若761
=a ，则=2017a 【难度】★ 【答案】
7
6
【巩固训练】
1．已知数列{}n a 的通项公式为n n
a n +=56
，则数列{}n a 中的最小项是第 项 【难度】★ 【答案】7和8
2．已知22
+-=n n a n λ在[)∞+，
2上单调递增，则实数λ的取值范围是 【难度】★★ 【答案】5<λ
3．已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n n n n
n a a a a a 1321，如果11
=a ，则
=++++20174321a a a a a Λ
【难度】★★ 【答案】4705
二、等差数列和等比数列
【例4】在公差不为零的等差数列{}n a 中，022112
73=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，
则()862log b b 的值为 【难度】★★ 【答案】4
【例5】等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为 【难度】★ 【答案】210
【例6】若{}n a 是等差数列，首项01>a ，054>+a a ，054<a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大正整数n 是 【难度】★★ 【答案】8
【例7】已知数列{}n a 的前n 项和为2
32n n S n -=，求数列{}
n a 的前n 项和n T
【难度】★★
【答案】⎩
⎨⎧≥+-≤-=175123216
3222n n n n n n T n ，，
【例8】设{}n a ，{}n b 是两个等差数列，他们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=n
n b a
【难度】★★ 【答案】
7
82
6--n n 【巩固训练】
1．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
12911102e a a a a =+，则=++2021ln ln ln a a a Λ
【难度】★ 【答案】50
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10684==S S ，，则=12
16
S S 【难度】★★ 【答案】1
3．设n S 是公差为d ()0≠d 的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）
A 、若0<d ，则数列{}n S 有最大项
B 、若数列{}n S 有最大项，则0<d
C 、若数列{}n S 是递增数列，则对任意*∈N n ，均有0>n S
D 、若对任意*∈N n ，均有0>n S ，则数列{}n S 是递增数列
【难度】★★ 【答案】C
4．在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<⋅a a ，若此数列的前10项和3610=S ，前18项和1218=S ，则数列{}
n a 的前18项和=18T 【难度】★★ 【答案】60
5．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n
n b a 为正数的个数是 【难度】★★ 【答案】5
三、数列的通项
求数列的通项的方法有：定义法、累加法、累乘法、待定系数法、作商法、取倒数法、构造法等等。

【例9】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332+=n
n S ，则=n a
【难度】★★ 【答案】()
*
-∈⎩⎨⎧>==N n n n a n n 1
3131
，，
【例10】已知数列{}n a 满足11=a ，()11
131211321>-++++
=-n a n a a a a n n Λ，若2017=n a ，则=n
【难度】★★ 【答案】4034
【例11】设数列{}n a 的首项()101，
∈a ，2
31
--=n n a a ，，，，，Λ432=n 则=n a 【难度】★★
【答案】()1
12111-⎪
⎭
⎫
⎝⎛--+=n n a a
【例12】已知数列{}n a 中，11=a ，且()
*--∈≥+=N n n S S S n n n ，22
311
，则=n a
【难度】★★
【答案】()()
⎪⎩⎪⎨⎧
≥---==+23
2322111n n a n n n n ，，
【例13】在数列{}n a 中，11-=a ，1
1342-+⋅+=n n n a a ，则数列{}n a 的通项公式为=n a
【难度】★★
【答案】1
12534--⋅-⋅=n n n a
【巩固训练】
1．已知数列{}n a 中，31+-=+n S a n n ，*
∈N n ，21=a ，则=n a
【难度】★★ 【答案】⎩⎨⎧
≥+⋅==-2
123122
n n a n n ，，
2．对于正项数列{}n a ，定义n
n na a a a n
H ++++=Λ32132为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光
阴”值为2
2
+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为 【难度】★★ 【答案】n
n a n 21
2+=
3．数列{}a 首项4=a ，32-=a a 对任意的正整数n 恒成立，则=a 【难度】★★
【答案】321
+=-n n a
4．由11=a ，1
31+=+n n
n a a a ，则数列{}n a 的第34项是
【难度】★★
【答案】100
1
5．数列{}n a 满足递推公式()21331≥-+=-n a a n
n n 且51=a ，则使得⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n
n a 3λ为等差数列的实数λ的值为 【难度】★★ 【答案】2
1
-
四、数列求和与综合应用
数列求和的方法有：分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法、分段求和法等等。

【例14】设数列ΛΛ，，，
，n a a a 21，满足121==a a ，23=a ，且对于任意正整数n 都有121≠++n n n a a a ，又321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，则=+++10321a a a Λ
【难度】★★ 【答案】204
【例15】设()244+=x x x f ，⎪⎭
⎫
⎝⎛=2016n f a n ，则数列{}n a 的前2015项和=2015S
【难度】★★ 【答案】2
2015
【例16】设数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧>==-1
31
31
n n a n n ，，，若数列{}n b 满足n n n a b a 3log =，求数列{}n b 的前n 【难度】★★ 【答案】()
*
∈⋅+-=N n n T n
n 3
4361213
【例17】正项数列{}n a 的通项公式n a n 2=，令()2
221
n
n a n n b ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：
对于任意的*
∈N n ，都有64
5<n T 【难度】★★ 【答案】
()()()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=++=++=++=
22
22222221116124122121n n n n n n n n a n n b n n ，所以
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222221151314121311161n n T n Λ()()64
545161211141116122=⨯<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=
n n
【巩固训练】
1．选定整数序列ΛΛ，，，，n a a a 21使得()
*--∈≥-=N n n a a a n n n ，321，如果前1492项之和是1985，
而前1985项之和是1492，则前2019项之和等于 【难度】★★ 【答案】986
2．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛≠--=211223x x x x F ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛201120112011220111F F F Λ 【难度】★★ 【答案】3015
3．已知数列{}n a 的通项公式为()1
3234-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⋅-=n n n a ，求其前n 项和n S
【难度】★★
【答案】n
n n S ⎪⎭
⎫
⎝⎛----=3225960259
4．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n =，证明：对于一切正整数n ，有
4
711121<+++n a a a Λ 【难度】★★
【答案】当1=n 或2时，满足；当3≥n 时，()()n n n n n
a n 1
1111112--<-<=，此时
⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++<+++n n a a a n 1114131312141111121ΛΛ4
7147<-=n
五、数列极限
数列极限的求法可以用计算器、极限的运算公式和性质来解决，对于图形的极限问题可以常用归纳和猜想的方法。

【例18】无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ，则lim 2n n S →∞
=，则
q =________．
【难度】★ 【答案】1
2
【例19】在xOy 平面上有一系列的点),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…， 对于所有正整数n ，点n P 位于函数)0(2
≥=x x y 的图像上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且n n x x <+1．则=∞
→n n nx lim （
）
A ．0
B ．0.2
C ．0.5
D ．1 【难度】★★ 【答案】 C
【例20】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
lim 1n n n
S S +→+∞=, 则公比q 的取值范围
是 （ ） （A ）01q << （B ）01q <≤
（C ）1q >
（D ）1q ≥
【难度】★★ 【答案】B
【巩固训练】
1．在正项等比数列{}n a 中，13234
1,,3
a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=L ___________. 【难度】★ 【答案】9
2
2．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1
=+∞→n n
n S S ， 则其公比q 的取值范围
是 . 【难度】★★ 【答案】(]0,1
3．若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛n n a n ,853
5
432
11111
Λ
ΛΛΛM ΛM M M M M ΛM ΛΛ中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ,,3,2,1Λ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,3,2,1-=n j Λ）,则
=∞
→2
,3lim
n
a n n .
【难度】★★ 【答案】2
1
【例1】已知数列{}n a 满足11=a ，12=a ，()211≥-=-+n a a a n n n ，则该数列的前2012项和的值是 【难度】★★ 【答案】1342
【解析】由已知11=a ，12=a ，()211≥-=-+n a a a n n n ，可得03=a ，14=a ，15=a ，Λ，即数列{}n a 是以3为周期的数列，所以该数列的前2012项和134223
2010
212012=⨯+
+=a a S 【易错点】对于数列的求和，并不一定需要求出其通项公式，对于递推关系比较复杂的形式进行特例的观察，找到是否有循环部分，在最后求和的结果中注意有多少个周期。

【变式训练】
1．数列{}n a 的通项公式2
cos π
n n a n =，其前n 项和为n S ，则=2016S 易错题型
【难度】★★ 【答案】1008
【例2】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为14-=n a n ，36+=n b n ，它们的公共项由小到大排成的数列{}n c ，则{}n c 的通项公式为 【难度】★★ 【答案】312+=n c n
【解析】数列{}n a 的公差为4，数列{}n b 的公差为6，所以数列{}n c 的公差应为两者的最小公倍数12，由第一个公共项15，所以312+=n c n
【易错点】等差数列的公共项由小到大排成的新数列中，首项是第一个相同的公共项，公差是两个公差的最小公倍数。

【变式训练】
1．已知数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为63+=n a n ，72+=n b n (
)*
∈N
n ，将集合
{}{}*
*
∈=∈=N n b x x N n a x x n
n
，，Y 中的元素从小到大依次排列，则数列{}n
c 的通项公式为
【难度】★★★
【答案】()()()()()
*∈⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=+-=+-=+-=+=N n k n k k n k k n k k n k c n ，
，，，
476146624563436
【例3】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别是n
n a 2=，23+=n b n ，它们的公共项由小到大排成的数
列是{}c ，则数列{}c 的通项公式为 【难度】★★
【答案】1
22+=n n c
【解析】设m n b a =，则232+=m n ，故22-n
需要被3整除。

因为()()()[
]()[]2111333213221
1
1
2110--+-++-+=--=-----n
n n n
n n n n n
n C C C Λ
所以当n 为奇数时右式能被3整除，又因为m 为正整数，所以n 为大于1的奇数，所以1
22+=n n c
【易错点】利用二项式定理解不定方程。

【变式训练】
1．数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别是193-=n a n ，n
n b 2=，它们的公共项由小到大排成的数列是
{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为
【难度】★★
【答案】1
22-=n n c
【例4】已知数列{}n a 对于任意*
∈N q p ，，有q p q p a a a +=+，若9
1
1=
a ，则=36a 【难度】★★ 【答案】4
【解析】由q p q p a a a +=+可得11+=+n n a a a ，即9
1
1=
-+n n a a 可得等差数列。

【易错点】数列中项所满足的关系式，特殊赋值运用关系可求值。

【变式训练】
1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a 【难度】★★ 【答案】1
【例5】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比=q 【难度】★★ 【答案】2-
【解析】212+++=n n n S S S ，所以21222++++=n n n n a a S S ，122++-=n n a a ，得2-=q 【易错点】利用整体思想可以不用求和公式，可回避讨论中计算的繁琐和易错。

【变式训练】
1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q 等于 【难度】★★ 【答案】3
1
【例6】数列{}n a 是正项等差数列，若n
na a a a b n
n ++++++++=
ΛΛ32132321，则数列{}n b 也为等差数列，类
比上述结论，写出正项等比数列{}n c ，若=n d ，则数列{}n d 也为等比数列。

【难度】★★
【答案】n n
n n c c c d ++++⋅⋅⋅⋅=Λ3212
21
【解析】根据等差数列与等比数列运算上的相似性，“和”→“积”，“除”→“开方”（代数平均→几何平均）
【易错点】如果利用推导证明的方式会异常麻烦，找到对应运算和符号的类比变形即可。

【变式训练】
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，12
16
T T 成等比数列。

【难度】★ 【答案】48T T ，8
12
T T
【例7】在数列{}n a 中，若0>n a ，11=a 且6
213=⋅+n n a a ，则=n a
【难度】★★ 【答案】()n
n -2
【解析】因为0>n a ，所以6log 2log 133=++n n a a ，所以()2log 2
1
2log 313--=-+n n a a ，所以数列
{}
2log 3-n a 是以221log 3-=-为首项，2
1
-
为公比的等比数列，所以()
n
n n a ---=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⋅-=-21
322122log ，故()n
n a --+=2223
【易错点】形如()001>>=+q p pa a q
n n ，，两边取对数得p a q a n n lg lg lg 1+=+，化归为熟知的问
题求解。

取对数实质就是降次，从而实现化归。

【变式训练】
1．数列{}n a 满足61=a ，()
*
+∈++=N n a a a n n n 2421，则=n a
【难度】★★ 【答案】221
23-=-⋅n n a
【例8】设数列{}n a 中，11=a ，()
n n n a a a 2414116
1
1+++=+，则数列的通项公式=n a 【难度】★★
【答案】()
*
---∈⋅+⋅+=N n a n n n n 1
21212
32231 【解析】设n n a b 241+=，则51=b ，代入得n n
a b 2412+=，即24
1
2-=n n b a ，代入已知递推公式化
简得
()()2
2132+=+n n b b ，由0>n b 得321+=+n n b b ，整理得()32
1
31-=
-+n n b b ，1
2123-⎪
⎭⎫
⎝⎛⨯=-n n b ，从而3212
+⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-n n b ，故解得()
*---∈⋅+⋅+=N n a n n n n 1
21
212
32231 【易错点】观察递推式的结构特征，对复杂的局部进行换元。

【变式训练】
1．给定数列{}n x ，11=x ，且n
n n x x x -+=+31
31，则=-6022000x x
【难度】★★★ 【答案】0
【解析】令n n a x tan =，变成两角和的正切公式即可。

【例9】等差数列的前n 项和为n S ，104≥S ，155≤S ，则4a 的最大值是 【难度】★★
【答案】4
【解析】设x a =1，y d =，即⎩
⎨
⎧≤+≥+325
32y x y x 转化成线性规划问题即可。

【易错点】不等式的可加性只能整体进行。

【变式训练】
1．设等差数列{}n a 的首项及公差分别为1a ，d ，前n 项和为n S ，且1261341≤≥≥S a a ，，，则2011a 的最大值是 【难度】★★ 【答案】6031
【例10】已知函数()()
*∈=N n n n x f 2
sin
2
π
，且()()1++=n f n f a n ，则=++++2016321a a a a Λ 【难度】★★ 【答案】4032
【解析】由于三角函数的周期性，将n a 进行分奇偶分组合并求和即可。

【易错点】根据问题的特征，通过连续的两个奇数项（或偶数项）并项求和，探索出题目中蕴含的规律性。

【变式训练】
1．数列{}n a 满足()1211-=-++n a a n n
n ，则{}n a 的前60项和为
【难度】★★ 【答案】1830。