2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级(下)入学数学试卷(解析版)

2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（下）
入学数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题
1.下列事件中，是必然事件的是
A. 购买一张彩票，中奖
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是
2.下列几何体中，左视图是圆的是
A. B. C. D.
3.下列命题是真命题的是
A. 五边形的内角和是
B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 内错角相等
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
4.一个不透明的盒子中装有个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标
有数字、、和从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为
A. B. C. D.
5.如图，四边形内接于，若，则的
度数是
A.
B.
C.
D.
6.下列关于的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是
A. B.
C. D.
7.抛物线与坐标轴的交点个数是
A. B. C. D.
8.关于原点的对称点是，关于轴的对称点是，则点的坐标是
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，
则
A.
B.
C.
D.
10.如图，菱形的边长为，面积为，
，与边，都相切，菱形的顶
点到圆心的距离为，则的半径长等于
A.
B.
C.
D.
11.在一个不透明的盒子中装有个规格相同的乒乓球，其中有个黄色球，每次摸球
前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于，那么可以推算出大约是______．
12.在比例尺为：的地图上，测得，两地间的图上距离为，则，
两地间的实际距离为______
13.如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为
和，小华的身高约为，则旗杆的高约为______
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14.飞机着陆后滑行的距离单位：，关于滑行时间单位：的函数解析式是
，则飞机着陆后滑行______后，才会停下来．
15.如图所示，是的直径，弦于，
，，则的半径是______．
16.如图，在中，，点在第一象限、
点在第四象限，且：：，若点
的坐标，满足，则过点的双曲线的关
系式为____．
17.计算：．
18.先化简再求值：，其中．
19.已知一元二次方程．
若方程有两个实数根，求的范围．
若方程的两个实数根为，，且，求的值．
20.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团
委组织八年级名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别分数段频次频率
请根据所给信息，解答以下问题：
表中______，______；
请计算扇形统计图中组对应扇形的圆心角的度数；
已知有四名同学均取得分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
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21.如图，在平行四边形中，过点作
，垂足为，连接，为线段
上一点，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
22.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为元件，每天销售件与销售单
价元之间存在一次函数关系，如图所示．
求与之间的函数关系式；
如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
23.如图，在中，，为上的一点，以为直径的交
于，连接交于，连接，．
证明：与相切；
若，，求的直径；
在的条件下，求．
24.在平面直角坐标系中，将一点横坐标与纵坐标不相等横坐标与纵坐标互换后得
到的点叫这一点的“点”，如与是一对“点”．
点和它的“点”均在直线上，求的值；
若直线经过的，两点恰好是一对“点”，其中点还在反比例函数的图象上，一条抛物线也经过，两点，求该抛物线的解析式；
已知，为抛物线上的一对“点”，且满足：，，点为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在个点满足的面积为，求的值．
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25.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴
的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，且．
求点的坐标和的值；
如图，点，分别在一、三象限的抛物线上，其中点的横坐标为，连接，交轴于点，连接，，设的面积为，若，求点的坐标；
如图，在的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
本题主要考查了必然事件，根据必然事件的定义判定即可．
【解答】
解：购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B.射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D.任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件，符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：球的左视图是圆，故本选项符号题意；
B.圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C.圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
D.圆台的左视图是等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：、五边形的内角和是，原命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
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根据多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，菱形的判定一一判断即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，菱形的判定解答．
4.【答案】
【解析】解：根据题意可得：在个小球中，其中标有正数的有个，分别是，，故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：．
故选：．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
5.【答案】
【解析】解：，
，
四边形内接于，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B、，可能小于等于，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C 、，可能小于等于，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D 、，可能小于等于，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：．
先求出的值，再比较出其与的大小即可求解．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线，显然抛物线与轴有一个交点，
令，得到，
，
抛物线与轴有一个交点，
则抛物线与坐标轴的交点个数是，
故选：．
对于抛物线解析式，分别令与求出对应与的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．
此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点．
8.【答案】
【解析】解：关于原点的对称点是，
，
关于轴的对称点是，
，
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，可得到点坐标，再根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点坐标．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标规律，以及关于轴对称点的坐标特点，关键
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是熟记坐标变化的规律．
9.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
又，
，
故选：．
在中根据的意义，得出，再根据，代入即可求出．本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，作于
，过点作，垂足为，
菱形的边长为，面积为，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
即：，
，
故选：．
根据菱形的边长和面积可求出高，进而求出、，再根据勾股定理求出，最后根据相似三角形求出半径即可．
本题考查菱形的性质，勾股定理，切线的性质以及相似三角形的性质等知识，掌握这些知识以及综合应用是本题的显著特点．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】
解：由题意可得，，
解得，．
故估计大约有个．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：设，两地间的实际距离为，
：：，
，
，
，两地间的实际距离为．
故答案为：
根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可．
本题根据比例尺的计算方法求解．注意单位要统一．
13.【答案】
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【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为，则可列比例式为，解得，
故答案为．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．
14.【答案】
【解析】解：，
当时，取得最大值，
即飞机着陆后滑行后，才会停下来，
故答案为：．
将解析式配方成顶点式后得到的最大值，据此解答即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并理解函数取得最大值时的实际意义．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
，
的半径是，
故答案为：．
根据圆周角定理可以求出圆心角的度数，所以想到连接，然后在
中进行计算即可．
本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
分别过点、作，分别垂直轴于点、，由相似三角形的判定定理得出∽，再由相似三角形的性质得出的面积，可得出结论．
【解答】
解：分别过点、作，分别垂直轴于点、，
，
，
，
，
∽，
，
点的坐标，满足，
，
，
而点坐标为，
，
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过点的双曲线的关系式为．
故答案为．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先分别化简绝对值，二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：方程有两个实数根，
，
解得；
由两根关系可知，，，
解方程组，
解得，
．
【解析】一元二次方程有两个实数根，，把系数代入可求
的范围；
利用两根关系，已知结合，先求、，再求．
本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．
20.【答案】解：，；
，
答：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为；
将同一班级的甲、乙学生记为、，另外两学生记为、，
列树形图得：
共有种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有种，
甲、乙两名同学都被选中的概率为．
【解析】
解：本次调查的总人数为人，
则，人，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
首先根据组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得、；
组的频率乘以即可求得答案；
列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得
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到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∽；
，，，
在中，，
由知∽，得，
．
【解析】根据四边形是平行四边形，得出，，再根据平行线的性质得出，，然后根据
，，得出，从而得出∽；
根据已知和勾股定理得出，再根据∽，得出，即可求出的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】解：设，
将、代入，得：，
解得：，
则；
设每天获取的利润为，
则
，
又，
，
时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
利用待定系数法求解可得；
根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
23.【答案】证明：，，
，
又，
，
，
，
又为半径，
为相切；
解：，
，
又，
∽，
，
，
，，
；
连接，
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，，，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】由直角三角形的性质得出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出答案；
连接，由勾股定理求出，的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出的长，由勾股定理可求出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：点和它的“点“均在直线上，
把和代入，
得，
两式相减得：，
；
设点坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
点和它的“点”均在直线上，
由得，，
，即，
由，
解得或，
这一对“点”坐标为和，
将这两点坐标分别代入，
得方程组，
解得，
抛物线的表达式为：；
，，
或，
，
点坐标为，点坐标为，
根据题意得或，
解得，
二次函数关系式为：，
过点作交轴于点，
该抛物线上有且仅存在个点满足的面积为，该直线与抛物线有且只有一个交点，
设直线的函数关系式为：，
把和代入，
得，
解得，
直线的函数关系式为：，
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由，设直线的关系式为：，
，
，
解得：，
时，如图，在下方有一个点，上方必有两个点满足条件，
点坐标为，
直线的关系式为：，
令，
整理得：，
，
解得：，
，，
；
时，如图，在上方有一个点，下方必有两个点满足条件，
直线的关系式为：，
令，
消元得：，
，
解得：，
，，
，
综上所述：或．
【解析】点和它的“点“均在直线上，把和代入，得，即可求解；
设点坐标为，由题意得，解得或，把
和代入，得方程组，即可求解；
由，解得或，解得点坐标为，点坐标为，根据题意得，解得，二次函数关系式为：，过点作交轴于点，根据同底等高可得，，根据题意可得该直线与抛物线有且只有一个交点，通过联立直线与抛物线的函数关系式讨论方程组有且只有一解，即可求解．
本题考查了二次函数待定系数法，新定义“点”的阅读理解，函数图象上点的坐标特征，两线交点坐标的讨论，解题关键是由题意分析出直线与抛物线有且只有一个交点．
25.【答案】解：由得，
，
，
，，
，，
，
，
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，
，；
如图，作于，于，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
；
如图，作，交轴于，过
点作，交于，
设，
，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
以为斜边在轴下方作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线于，
则，，
设点，
由得，，
，
设，
或舍去，
，
，舍去，
当时，，
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．
【解析】利用抛物线的解析式得出点的坐标，进而得出的长度，利用，得出点坐标，利用待定系数法列出方程即可求得值；
作于，于，设，由∽表示出，进而表示出的面积，根据求得；
作，交轴于，过点作，交于，推理得≌，进一步推出，从而得，由“定弦对定角”，以为斜边在轴下方作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线于，设点，根据求得．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象性质，三角形全等判定和性质，相似三角形的判定和性质，与圆有关的概念和性质等知识，解决问题的关键是熟悉模型，注意特殊性．。