[精品]新人教版必修三高中数学8.§1.3.1算法案例——辗转相除法与更相减损术优质课教案

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人
授课时间
课题§1.3.1算法案例——辗转相除法与更相减损术
课标要求理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

教学目标
知识目标
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的
学习过程中对比我们常见的约分求公因式的
方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的
学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机
处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成
计算机语言的一般步骤。

技能目标
通过具体的实例，掌握循环语句的具体应用，
利用循环语句表达具体问题的过程，体会算法
的基本思想借助框图中的循环结构，借助
Scilab语言中的循环语句来设计程序，进一步
体会算法的重要性和有效性
情感态度价值
观
在学习古代数学家解决数学问题的方法的过
程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解
决数学问题的过程中培养理性的精神和动手
实践的能力。

重点理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动一．复习引入
思考1：18与30的最大公约数是多少？你是怎样
得到的？
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两
个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商
是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步
骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到
找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最
大公约数.
1
教问题与情境及教师活动学生活动
学
过
程 及 方 法 思考3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m ，n 的最大公约数，可以用什么算法？其算法步骤如何设计？ 辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较
大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.
思考4：你能否把辗转相除法编程？
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m ，n.
第二步，求余数r ：计算m 除以n ，将所得余数存放到变量r 中.
第三步，更新被除数和余数：m=n ，n=r.
第四步，判断余数r 是否为0.若余数为0，则输出结果；
否则转向第二
步继续循环执行.
程序框图如下图：
2
INPUT m,n
DO
r=m MOD n m=n
INPUT m ，n
r=1
WHILE r ＞0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
教 学
过
程 及
方 法
问题与情境及教师活动
学生活动
探究二:更相减损术
思考1：设两个正整数m>n ，若m-n=k ，则m 与 n 的最大公约数和n 与k 的
最大公约数相 等.反复利用这个原理，可求得98与63 的最大公约数为多少？
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减，如下图所示.
所以，98和63的最大公约数等于7.
思考2：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m ，n 的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？
更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小 的数，然后将差和较小的
教
学 小 结
（1）用辗转相除法求最大公约数. （2）用更相减损术求最大公约数. INPUT “m ，n=”；m ，n WHILE m<>n IF m>n THEN ｍ＝m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END
课
后
反
思
3。