河南商丘2019高三年级5月第三次重点考试试题及解析-数学(理)

河南商丘2019高三年级5月第三次重点考试试题及解析-数学
（理）
数学〔理科〕
本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页。

答题卷共6页。

请按要求把答案涂、写在答题卷规定的范围内。

超出答题框或答在试题卷上的答案无效。

总分值为150分。

考试时间为120分钟。

考试结束只收答题卷。

第一卷〔选择题，共60分〕
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项符合题目要求的〕 1、设全集U ＝{x ∈Z ｜－1≤x ≤3}，A ＝{x ∈Z ｜－1＜x ＜3}，B ＝{x ∈Z ｜2x －x －2≤0}，
那么〔C
U A 〕∩B ＝
A 、{－1}
B 、{－1，2}
C 、{x ｜－1＜x ＜2}
D 、{x ｜－1≤x ≤2} 2、412i i
＋m ＋∈R 〔i 为虚数单位〕，且m ∈R ，那么｜m ＋6i ｜＝
A 、6
B 、8
C 、10
D 、8
3、假设tan 〔π－α〕＝－13
，那么
2cos 2sin 2cos α
αα
＋的值为 A 、83B 、85C 、－87D 、815
4、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
参照附表，得到的正确结论是
A 、有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B 、有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C 、在犯错误的概率不超过0、1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D 、在犯错误的概率不超过0、1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5、某几何体的三视图如下图，那么它的表面积为
A 、2
B 、3
C 、2＋
D 、3＋
6、函数f 〔x 〕＝sin 〔2x －6
π〕，那么y ＝f 〔x 〕的图象可由函数y ＝sinx 的图象〔纵坐标
不变〕变换如下
A 、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6
π个单位
B 、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12
π个单位
C 、先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6
π个单位
D 、先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12
π单位
7、直线x －y ＋m ＝0与圆2x 2＋y －2x －1＝0有两个不同交点
的一个充分不必要条件是
A 、－3＜m ＜1
B 、－4＜m ＜2
C 、0＜m ＜1
D 、m ＜1 8、曲线y ＝
21
x x －在点〔1，1〕处的切线方程为 A 、x －y －2＝0B 、x ＋y －2＝0 C 、x ＋4y －5＝0D 、x －4y －5＝0
9、执行右面的程序框图，假如输出的是a ＝341，那么判断
框内应填条件为 A 、k ＜4？B 、k ＜5？ C 、k ＜6？D 、k ＜7？
10、两点A 〔1，0〕，B 〔1
〕， O 为坐标原点，
点C 在第二象限，且∠AOC ＝6
5，OC ＝－2OA ＋λOB ，〔λ∈R 〕，那么λ等于
A 、－12
B 、12
C 、－1
D 、1
11、定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋1〕＝－f 〔x 〕，且当x ∈[0，2〕时，f 〔x 〕＝2log (1)x ＋，
那么f 〔2018〕－f 〔2017〕＝ A 、－1B 、－2C 、1D 、2
12、把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，那么能构成三角形的概率为
A 、12
B 、34
C 、45
D 、14
第二卷〔非选择题，共90分〕
【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 13、抛物线y ＝14
2x 的焦点坐标是______________、
14、三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，那么不同的排法总数为
___________、
15、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足asinB ＝bcosA ，那么
－cosC 的取值范围为___________、
16、正三棱柱ABC －A 1B 1C 1内接于半径为1的球内，那么当该棱柱体积最大时，其高为
_________、
【三】解答题〔本大题共6小题，共70分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17、〔本小题总分值12分〕
数列{n
a }是等差数列，且满足：a 1＋a 2＋a 3＝6，a 5＝5；
数列{n b }满足：n b －1
n b －＝1n a －〔n ≥2，n ∈N ﹡〕，b 1＝1、
〔Ⅰ〕求n a 和n b ；
〔Ⅱ〕记数列n
c ＝
12n b n
＋〔n ∈N ﹡〕，假设{n c }的前n 项和为n T ，求n T .
18、〔本小题总分值12分〕
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正 方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AB ＝2，E 是 PB 的中点，F 是AD 的中点、 〔Ⅰ〕求证：EF ⊥平面PBC ；
〔Ⅱ〕求二面角F －PC －B 的平面角的余弦值、
19、〔本小题总分值12分〕
河南省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，
在每周的周【一】周【三】周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学能够在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也能够放弃任何一门科目的辅导讲座〔规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否那么称为不满座〕、统计数据说明，各学科讲座各天的满座概率如下表：
〔Ⅰ〕求数学辅导讲座在周【一】周【三】周五都不满座的概率；
〔Ⅱ〕设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望、 20、〔本小题总分值12分〕 椭圆M ：2
221x a b 2y ＋＝〔a ＞b ＞0
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成
的三角形的周长为6＋
、
〔Ⅰ〕求椭圆M 的方程；
〔Ⅱ〕设直线l ：x ＝ky ＋m 与椭圆M 交手A ，B 两点，假设以AB 为直径的圆通过椭圆的右顶
点C ，求△ABC 面积的最大值、
21、〔本小题总分值12分〕 函数f 〔x 〕＝lnx 、
〔Ⅰ〕函数g 〔x 〕＝3x －22x ，假设函数F 〔x 〕＝f 〔x 〕＋g 〔x 〕，求函数F 〔x 〕的单调
区间；
〔Ⅱ〕函数h 〔x 〕＝1(1)
x
a x ＋－，函数G 〔x 〕＝h 〔x 〕·f 〔x 〕，假设对任意x ∈〔0，1〕，
G 〔x 〕＜－2，求实数a 的取值范围、
请考生在22、23、24)三题中任选一题作答。

假如多做。

那么按所做第一题计分、做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑、 22、〔本小题总分值10分〕选修4－1：几何证明选讲
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长 线上、 〔Ⅰ〕假设EC EB ＝13，ED EA ＝12，求DC AB
的值；
〔Ⅱ〕假设EF 2＝FA ·FB ，证明：EF ∥CD 、
23、〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方
程
在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝
sin 〔θ＋4
π〕，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的
正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为
,
12,x t y t ⎧⎨
⎩＝＝＋
〔t 为参数〕、
〔Ⅰ〕求直线l 和圆C 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕判断直线l 和圆C 的位置关系、 24、〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 不等式2｜x －3｜＋｜x －4｜＜2A 、 〔Ⅰ〕假设a ＝1，求不等式的解集；
〔Ⅱ〕假设不等式的解集不是空集，求实数a 的取值范围、
商丘市2018年高三第三次模拟考试参考答案
数学〔理科〕
【一】选择题：ACDABDCBCBAD 【二】填空题:(13)(0,1)(14)144(15)
(]0,1
【三】解答题
(17)解：〔Ⅰ〕∵1236a a a ++=，5
5a =，∴
111
3361
451a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨
⎨+==⎩⎩，……………2分
∴n a n =；……………………………………………………………………3分
又11
1n n n b b a n ---==-，∴当2n ≥时，
1122332211=()()()()()+(1)(2)(3)21+1
n n n n n n n b b b b b b b b b b b b n n n ------+-+-++-+-=-+-+-+++ ∴
21(1)222
n n n n n b b --+=+=
,……………………………………………………4分
又11b =适合上式，……………………………………………………………5分 ∴
222
n n n b -+=
、……………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵
212211
2()
232(1)(2)12
n n c b n n n n n n n ====⋅-++++⋅+++，……………8分
C
B
A
∴
11111111112()2()2()2()2()
233434
112
n T n n n n =-+-+-+
+-+-+++
1122()1=
2222
n n n n =-=-+++、…………………………………12分
(18)解：〔Ⅰ〕取PC 的中点G ，连结EG ，
GD 那么GE //BC ，且
1
2GE BC
=, 又∵DF //BC ，且
1
2
DF BC
=, ∴GE //DF 且GE DF =, ∴四边形GEFD 为平行四边形, ∴GD //EF .………………………3分 由于PD ⊥平面ABCD ,∴PD BC ⊥, 又BC CD ⊥,∴BC ⊥平面PCD , 又GD ⊂平面PCD ,∴BC GD ⊥,
在等腰直角三角形PCD 中，由G 为PC 中点，∴GD PC ⊥,
BC
PC C =，∴GD ⊥平面PCD ,………………………………………………5分
∵GD //EF ,∴EF ⊥平面PCD .…………………………………………………6分 〔Ⅱ〕连结FG ，∵BC PC ⊥,GE //BC , ∴EG ⊥PC ，
∵EF ⊥平面PCD ,∴EF PC ⊥,GE GF G =,
∴PC ⊥平面GEF ，
∴FG ⊥PC ,
∴FGE ∠是二面角F PC B --的平面角.………………………………………9分
在ΔFEG Rt 中，
112
EG BC ==
，
EF GD ==
GF == 33
3
1cos =
==∠∴FG EG FGE ，
因此二面角F PC B --
………………………………12分
(19)解：〔Ⅰ〕设数学辅导讲座在周【一】周【三】周五都不满座为事件A ，那么
1121()(1)(1)(1)22312
P A =---=
.……………………………………………3分
〔Ⅱ〕ξ可能取值为0,1,2,3,4,5，且
1(5)
2
B ξ
，.………………………………4分
55
11(0)(1)232
P C ξ==-=
，…………………………………………………5分
145
115(1)(1)=
2232
P C ξ==⋅-，…………………………………………………6分
2235
115(2)()(1)2216
P C ξ==⋅-=
，……………………………………………7分
3325
115(3)()(1)2216
P C ξ==⋅-=
，……………………………………………8分
445
115(4)()(1)2232
P C ξ==-=
，……………………………………………9分
555
11(5)()232
P C ξ===
.……………………………………………………10分
因此，随即变量ξ的分布列如下
…………………………………………11分
15555150123453232161632322
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
.……………………12分
〔或
15522
E np ξ==⨯=
〕
(20)解：〔Ⅰ〕因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，
∴
24622+=+c a ，…………………………………………………………………1分
又椭圆的离心率为
3
，即3c a =
，因此3
c a
=，
∴3a =
，c =…………………………………………………………………3分 ∴1b =，椭圆M 的方程为1
9
2
2
=+y x .………………………………………………4分
〔Ⅱ〕由直线AB 的方程x ky m =+.
联立
22
,
1,9
x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=，……………………5分设
),(11y x A ，),(22y x B ，那么有
12229km y y k +=-+，2122
99
m y y k -=+.①…………6分
因为以AB 为直径的圆过点C ，因此0CA CB ⋅=. 由
1122(3,),(3,)
CA x y CB x y =-=-，
得1212(3)(3)0x x y y --+=.………………………………………………………7分
将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式， 得
221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.
将①代入上式，解得
125
m =
或3m =〔舍〕.……………………………………8分
因此
125m =,记直线l 与x 轴交点为D ，那么D 点坐标为12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此
121
||||2
ABC
S DC y y ∆=-
1
2
==
(10)
分
设
2
11
,0
99
t t
k
=<≤
+
，那么
ABC
S
∆
=
因此当251
(0,]
2889
t=∈
时，
ABC
S
∆
取得最大值为
8
3.………………………………12分
(21)解：〔Ⅰ〕函数2
()=32ln
F x x x x
-+，其定义域为)
,0(+∞.…………………………1分
2
1431
'()43
x x
F x x
x x
-++
=-+=
x
x
x)1
)(
1
4(-
+
-
=
)0
(>
x (3)
分
当)1,0(
∈
x,'()0
F x>,函数()
F x单调递增， (4)
分
当)
,1(+∞
∈
x,'()0
F x<,函数()
F x单调递减，………………………………5分
∴函数()
F x的单调递增区间为0,1
（）；函数()
F x的单调递减区间为(1,)
+∞.……6分
〔Ⅱ〕1
()()()=ln
(1)
x
G x h x f x x
a x
+
=⋅
-
，由0
≠
a，因为)1,0(
∈
x，
因此
ln
1
1
<
-
+
x
x
x、
①当0
<
a时，()0
G x>、不合题意、…………………………………………8分
②当0
>
a时，)1,0(
∈
x，由()2
G x<-，可得
1
)
1(
2
ln<
+
-
+
x
x
a
x
、
设2(1)
()ln
1
a x
x x
x
ψ
-
=+
+
，那么)1,0(
∈
x，()0
x
ψ<、2
2
(24)1
()
(1)
x a x
x
x x
ψ
+-+
'=
+
、
设1
)
4
2(
)
(2+
-
+
=x
a
x
x
m，方程0
)
(=
x
m的判别式)1
(
16-
=
∆a
a、假设]1,0(
∈
a，0
≤
∆，0
)
(≥
x
m，()0
x
ψ'≥，()x
ψ在)1,0(上是增函数，又(1)=0
ψ，因此)1,0(
∈
x，()0
x
ψ<、…………………………………………10分假设)
,1(+∞
∈
a，0
>
∆，0
1
)0(>
=
m，0
)
1(4
)1(<
-
=a
m，因此存在)1,0(
∈
x，
F
E
D
C
B
A
使得0)(0=x m ，对任意)1,(0x x ∈，0)(<x m ，()0x ψ'<，()x ψ在)1,(0x 上是减
函数，
又(1)=0ψ，因此)1,(0
x x ∈，()0x ψ>、不合题意、
综上，实数a 的取值范围是]1,0(、………………………………………………12分 〔22〕解： D C B A ,,,四点共圆，
∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，
∴ECD ∆∽EAB ∆.…………………………2分
∴DC
EC ED AB EA EB
==,………………………3分 ∴
2
111326DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪
⎝⎭
.………………………………4分
∴6
6
=AB DC .………………………………………………………………5分
〔Ⅱ〕 FB FA EF ⋅=2，
∴FE
FB FA EF =，
又 BFE EFA ∠=∠，
∴FAE ∆∽FEB ∆，…………………………………………………………7分 ∴EBF FEA ∠=∠，
又 D C B A ,,,四点共圆，
∴EBF EDC ∠=∠， ∴EDC FEA ∠=∠，
∴CD
EF //.…………………………………………………………………………………10分
〔23〕解：〔Ⅰ〕消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为21y x =+.…………………2分
由
)
4
πρθ=+，即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，
得⊙C 的直角坐标方程为：22(
1)(1)2x x -+-=.……………………………6分 〔Ⅱ〕圆心C 到直线l 的距离
d =
=8分
因为d <，………………………………………………………………9分 因此直线l 和圆C 相交、…………………………………………………………10分 〔24〕〔Ⅰ〕1=a ,2342x x -+-<，
①假设4x ≥，那么3102x -<，4x <，∴舍去、……………………………1分 ②假设34x <<，那么22x -<，∴34x <<、…………………………………2分
③假设3x ≤，那么1032x -<，833
x ∴<≤、…………………………………3分 综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
、……………………………………5分 〔Ⅱ〕设()234f x x x =-+-，
那么3104()234
1033x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩
，……………………………………………6分 ()1f x ∴≥，………………………………………………………………8分 ∴21a >，12
a >、即a 的取值范围是1(,)2+∞.…………………………10分。