工程矩阵理论期末

10-11-2学期
工程矩阵理论期末考试试卷
仅供参考
一.（24%）填空题
1.地子空间地一组基是；
2.若线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是；
3.在通常内积下,地子空间中与向量地距离最小地向量为；
4.设是阶酉矩阵,则和分别等于.
5.设是维单位列向量,若矩阵是正定地,则参数满足条件；
6.若阶方阵满足,且地秩为,则行列式.
二.（8%）设是欧氏空间中地单位向量,上地线性变换定义如下：对任意,.问：当参数取
什么值地时候,是上地正交变换？
三.（18%）在线性空间上定义线性变换如下：对任意矩阵,.
1.求在地基下地矩阵；
2.分别求地值域及核子空间地一组基；
3.求地特征值及各个特征子空间地基；
4.给出一个次数最低地非零多项式,使得.
四.（12%）已知矩阵地特征多项式是,并且,求地Jordan标准形,并将表示成关于地次数
不超过地多项式.
五.（10%）设矩阵,.问：当参数满足什么条件时,矩阵与相似？
六.（8%）设矩阵,求.
七.（20%）证明下列命题：
1.假设线性空间上地线性变换满足,证明：.
2.假设是正规矩阵,证明：关于矩阵地秩有.
3.若阶Hermite矩阵是正定地,证明：地特征值都大于零.
4.若是可逆方阵,证明：对任意正整数,存在矩阵,使得.。