高中数学复习课(三)数系的扩充与复数的引教案(含解析)北师大版选修2-2(最新整理)

2018-2019学年高中数学复习课（三）数系的扩充与复数的引教案（含解析）北师大版选修2-2
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复习课(三) 数系的扩充与复数的引
复数的概
念
（1),一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．
(2）解答此类问题的关键是明确复数相关概念．
错误!
1．复数是实数的充要条件
(1)z＝a＋b i(a,b∈R)∈R⇔b＝0.
（2）z∈R⇔z＝z.
（3）z∈R⇔z2≥0.
2．复数是纯虚数的充要条件
(1)z＝a＋b i（a,b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.
（2）z是纯虚数⇔z＋错误!＝0（z≠0）．
（3)z是纯虚数⇔z2〈0。

3．复数相等的充要条件
a＋b i＝c＋d i⇔错误!（a，b,c,d∈R）．
［典例] （1）(2017·全国卷Ⅰ）设有下面四个命题：
p
：若复数z满足错误!∈R，则z∈R；
1
p
:若复数z满足z2∈R，则z∈R；
2
p
：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；
3
p
:若复数z∈R，则错误!∈R.
4
其中的真命题为（)
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2,p3D．p2，p4
（2)(2017·天津高考）已知a∈R,i为虚数单位，若错误!为实数，则a的值为________．［解析] (1）设复数z＝a＋b i（a,b∈R)，对于p1,∵错误!＝错误!＝错误!∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R,∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3,设z1＝x＋y i（x，y∈R),z2＝c＋d i（c，d∈R),
则z1z2＝(x＋y i）(c＋d i)＝cx－dy＋（dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴错误!＝a－b i＝a∈R，
∴p4是真命题．
（2）由错误!＝错误!＝错误!－错误!i是实数，得－错误!＝0，所以a＝－2.
[答案] （1）B (2）－2
[类题通法]
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋b i（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋b i的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．
[题组训练]
1．若复数z＝1＋i（i为虚数单位),错误!是z的共轭复数，则z2＋错误!的虚部为（）A．0 B．－1
C．1 D．－2
解析：选A 因为z＝1＋i，所以错误!＝1－i，所以z2＋错误!2＝(1＋i）2＋（1－i）2＝2i ＋(－2i）＝0.故选A。

2．已知z1＝m2－3m＋m2i,z2＝4＋(5m＋6）i,其中m为实数，i为虚数单位,若z1－z2＝0，则m的值为（）
A．4 B。

－1
C．6 D．－1或6
解析：选B 由题意可得z1＝z2,即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得错误!解得m＝－1,故选B。

复数加、减法的几何意
义
（1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型,以选择题或填空题形式考
查，难度较小．
（2）解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式,再利用复数的几何意义解题．
错误!
1．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋b i（a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是（a，b i)；
(2）复数z＝a＋b i(a，b∈R）的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋b i(a,b∈R）的模|z|＝错误!；
（2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离．
[典例］（1)（2017·全国卷Ⅲ）设复数z满足（1＋i）z＝2i，则|z｜＝( ）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D．2
（2）复数z＝错误!（m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于（）
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析] （1)因为z＝错误!＝错误!＝i（1－i）＝1＋i，
所以|z|＝ 2.
（2）z＝错误!＝错误!
＝错误!［(m－4）－2(m＋1）i］，
其实部为1
5
(m－4）,虚部为－错误!(m＋1），
由错误!得错误!
此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
[答案] (1）C (2）A
[类题通法］
在复平面内确定复数对应点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即z＝a＋b i（a，b∈R)确定有序实数对（a，b)．(2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z(a，b）．
错误!
1．设(1＋i）x＝1＋y i,其中x,y是实数，则｜x＋y i｜＝（）
A．1 B.错误!
C。

错误!D．2
解析:选B ∵（1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i。

又∵x，y∈R,∴x＝1，y＝1。

∴|x＋y i|＝|1＋i｜＝错误!，故选B.
2．若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．解析:由已知得错误!∴4〈k2〈6。

∴－错误!<k〈－2或2〈k<错误!.
答案：（－错误!，－2)∪（2，错误!)
3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋b i,z3＝1－4i,它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若错误!＝2错误!＋错误!,则a＝________,b＝________.
解析:∵错误!＝2错误!＋错误!
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋b i）
即错误!∴错误!
答案：－3 －10
复数的代数运算
（1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．
(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则,用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．
错误!
复数运算中常见的结论
（1）（1±i)2＝±2i，错误!＝i，错误!＝－i；
（2）－b＋a i＝i（a＋b i)；
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0。

[典例] (1）若z＝1＋2i，则错误!＝( )
A．1 B。

－1
C．i D．－i
(2)计算：错误!2－错误!20＝________。

[解析] (1)因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以z错误!＝(1＋2i)(1－2i）＝5，则错误!
＝4i
4
＝i。

故选C。

（2）错误!2－错误!20
＝[(1＋2i）＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i2＝1＋2i。

[答案］(1）C (2)1＋2i
[类题通法］
进行复数代数运算的策略
（1）复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项）．
②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋b i)2
＝a2＋2ab i－b2与（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数）,此时要注意区分（a＋b i）（a－b i）＝a2＋b2与(a＋b)（a－b)＝a2－b2.
(2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．
（3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
［题组训练]
1．复数z满足z（错误!＋1）＝1＋i,其中i是虚数单位，则z＝( )
A．1＋i或－2＋i B.i或1＋i
C．i或－1＋i D．－1－i或－2＋i
解析：选C 设z＝a＋b i(a，b∈R),由z(z＋1）＝1＋i得a2＋b2＋a＋b i＝1＋i,所以b ＝1,a2＋a＋1＝1,所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i。

2．i是虚数单位，错误!2 018＋错误!6＝________.
解析：原式＝错误!1 009＋错误!6＝错误!1 009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.
答案：－1＋i
1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－b i ,则（a＋b i)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：选A 由a＋i＝2－b i可得a＝2，b＝－1,则（a＋b i）2＝（2－i)2＝3－4i.
2．复数z满足(－1＋i）z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于（)
A．第一象限B。

第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析:选D z＝错误!＝错误!＝错误!＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为（1，－1），位于第四象限．
3．如果复数z＝错误!，则（）
A．｜z｜＝2 B。

z的实部为1
C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
解析：选C 因为z＝
2
－1＋i
＝错误!＝－1－i，所以|z｜＝错误!，z的实部为－1，虚部为
－1，共轭复数为－1＋i，因此选C.
4．在复平面内,向量错误!对应的复数是2＋i，向量错误!对应的复数是－1－3i，则向量错误!对应的复数为（）
A．1－2i B.－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：选D ∵错误!对应复数2＋i，错误!对应复数1＋3i，
∴错误!对应复数(2＋i）＋（1＋3i)＝3＋4i，
∴错误!对应的复数是－3－4i.
5．已知i为虚数单位，若复数z＝错误!（a∈R)的实部为－3,则|z|＝( ）
A.10
B.2 3
C.错误!D．5
解析：选D ∵z＝1－a i
1＋i
＝错误!＝错误!的实部为－3，∴错误!＝－3，解得a＝7.
∴z＝－3－4i,则|z|＝5.故选D.
6．设z是复数，则下列命题中的假命题是( ）
A．若z2≥0，则z是实数B。

若z2〈0,则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2〈0
解析：选C 设z＝a＋b i（a，b∈R），
选项A，z2＝(a＋b i）2＝a2－b2＋2ab i≥0，则错误!
故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B,z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i〈0，则错误!则错误!故z一定为虚数,正确．选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．选项D，若z为纯虚数，则错误!则z2＝－b2〈0，正确．
7．复数z＝
3＋i
1＋2i
的共轭复数是________．
解析：依题意得z＝错误!＝错误!＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.答案：1＋i
8．设i是虚数单位,若复数a－
10
3－i
(a∈R）是纯虚数,则a的值为________．
解析:复数a－错误!＝a－错误!＝（a－3）－i为纯虚数,则a－3＝0，即a＝3。

答案：3
9．已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，ω＝错误!，且｜ω|＝5错误!,则ω＝________。

解析：由题意设（1＋3i）z＝k i(k≠0且k∈R）,
则ω＝错误!。

∵｜ω｜＝5错误!,∴k＝±50，故ω＝±（7－i）．
答案：±（7－i）
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i。

（1)求｜z｜;（2)若z2＋az＋b＝错误!，求实数a,b的值．
解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.
(1)｜z｜＝错误!＝错误!。

(2)z2＋az＋b＝(1＋i）2＋a(1＋i）＋b
＝2i＋a＋a i＋b＝a＋b＋（a＋2）i，
∵z＝1－i，∴a＋b＋（a＋2)i＝1－i，
∴错误!∴a＝－3，b＝4.
11．已知z＝错误!（x〉0)，且复数ω＝z（z＋i）的实部减去它的虚部所得的差等于－错误!，求ω·ω。

解：ω＝z(z＋i)＝错误!错误!
＝错误!·错误!＝错误!＋错误!i.
根据题意错误!－错误!＝－错误!,得x2－1＝3.
∵x〉0，∴x＝2，∴ω＝错误!＋3i。

∴ω·错误!＝错误!错误!＝错误!.
12．已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA ∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解：设z＝x＋y i,x，y∈R,如图，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以k OA＝k BC，|z C｜＝｜z B－z A|,
即错误!
解得错误!或错误!
因为|OA|≠｜BC|，
所以x＝－3,y＝4(舍去)，
故z＝－5.。