2020年数学中考重难点突破之几何图形的证明及计算(6道)

类型一与全等三角形有关的证明及计算
1.如图①，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．
图①图②
第1题图
（1）若CN=12.5，CE=7，求BD的值．
（2）求证：CN⊥AD．
（3）若把等腰Rt△DCE绕点C旋转至如图②位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD 于点H，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．（1）解：∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，
∴BE=2CN=25，
∵CE=7，∴BC=2
2CE
BE =24，
∵CD=CE=7，
∴BD=BC-CD=17；
（2）证明：在△ACD与△BCE中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴∠CAD =∠CBE ，
∵∠ACB =90°，点N 是线段BE 的中点，
∴CN =BN ，
∴∠CBE =∠NCD ，
∴∠NCD =∠CAD ，
∵∠NCD +∠NCA =90°，
∴∠CAG +∠GCA =90°，
∴∠CGA =90°，
∴CN ⊥AD ；
（3）解：（2）中的结论还成立，
如解图，延长CN 至点F 使FN =CN ，连接BF ，
在△CEN 与△BFN 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=BN EN BNF CNE FN CN ，
∴△CEN ≌△BNF （SAS ），
∴CE =BF ，∠F =∠ECN ，
∵∠CBF =180°-∠F -∠BCF ，∠DCA =360°-∠DCE -∠ACB -∠BCE =180°-
∠ECF -∠BCF ， ∴∠CBF =∠
ACD ，
∵CE =CD ，
∴BF =CD ，
在△ACD 与△CBF 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=BC AC FBC ACD BF CD ，
∴△ACD ≌△CBF （SAS ），
∴∠DAC =∠BCF ，
∵∠BCF +∠ACH =90°，
∴∠CAH +∠ACH =90°，
∴∠AHC =90°，
∴CN ⊥AD ．
第1题解图
2.如图，在△ABC 和△ECF 中，∠ABC =∠CEF =90°，AB =BC ，CE =EF ，连接AF ，点M 是AF 的中点，连接MB 、ME .
（1）如图①，当点B 在CE 上时，求证：BM ∥CF ；
（2）如图②，若∠BCE =45°，AB =a ，CE =
22a ，求ME 的长；
（3）如图③，若∠BCF =45°，CE :AB =m （m >1），求EM BM 的值（用含m 的代数式表示）.
图① 图② 图③
第2题图
（1）证明：如解图①，连接MC ，
在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，
∴∠ACB =∠BAC =45°，
同理，∠ECF =45°，
∴∠ACF =90°.
∵M 是AF 的中点，∴AM =MC =MF ，
∴∠MCF =∠MFC .
在△AMB 和△CMB 中，
AM CM
MB MB
AB BC
===⎧⎪⎨⎪⎩
∴△AMB ≌△CMB （SSS ），
∴∠AMB =∠BMC .
∵∠AMC =∠MFC +∠MCF ，
∴2∠AMB =2∠AFC ，
第2题解图①
∴∠AMB =∠AFC ，
∴BM ∥CF ；
（2）解：如解图②，延长BM 交CF 于点N ，连接BE 、EN ，
∵∠ECF =∠BCE =45°，
∴∠BCF =90=∠ABC ，∴AB ∥CF ，
∴∠BAM =∠NFM ，∠ABM =∠FNM .
∵M 是AF 的中点，∴AM =MF ，
∴△ABM ≌△FNM ，
∴BM =MN ，NF =AB =BC ，
∵AB =a ，CE =22a ， ∴BC =NF =a ，CF =4a ，∴CN =3a .
在△BCE 和△NFE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=EF CE NFE BCE NF BC 45，
∴△BCE ≌△NFE （SAS ），
∴BE =EN ，∠BEC =∠FEN ，
∴∠BEC +∠CEN =∠FEN +∠CEN =∠CEF =90°，
∴△BEN 是等腰直角三角形，
∴BM =MN ，∴EM =BM =MN .
在Rt △BCN 中，由勾股定理得BN =BC 2+CN 2=a 2+(3a )2=10a ，
∴EM =BM =12BN =102a ；
（3）解：如解图③，延长MB 交AC 于点N ，连接MC ，
第2题解图②
∵∠ACB =45°，∠FCB =45°，∴∠ACF =90°，
∵M 是AF 的中点，∴MC =MA ，
∵BC =BA ，
∴MN ⊥AC ，且CN =AN ，
∴BN =AN =CN ，MN =12CF =22CE . 设AB =1，∵CE :AB =m ，∴CE =m ，
∴AC =2，CF =2m ，∴BN =22，MN =22m ，
∴BM =MN -BN =22m -22.
在△CEM 和△FEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧===FM CM EM EM EF CE ，
∴△CEM ≌△FEM （SSS ），
∴点C 与点F 关于EM 对称，∴EM ⊥CF ，
∵AC ⊥CF ，∴EM ∥AC ，
∵MN ⊥AC ，∴BM ⊥EM ，
连接BE ，
在Rt △BEC 中，由勾股定理得BE 2=CB 2+CE 2=1+m 2，
在Rt △EMB 中，由勾股定理得
)1(2
2)2222(
12222+=--+=-=m m m BM BE EM ， ∴11)1(22)1(22-+=-+=m m m m BM EM . 第2题解图③
类型二与相似三角形有关的证明及计算
3.如图①，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.
（1）求证：DM=DA；
（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C.
①求证：△DEG∽△ECF；
②若点H在CE上，满足∠CFH=∠B，且BG=5，求EH的长.
图①图②
第3题图
（1）证明：∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，
∴DE=DA；
（2）①证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE =∠FEC ，
∴△DEG ∽△ECF ；
②解：∵∠BDG =∠C =∠DEB ，∠B =∠B ，
∴△BDG ∽△BED ， ∴BD
BG BE BD =，∴BD 2=BG ·BE ， ∵∠AFE =∠A ，∠CFH =∠B ，
∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-∠AFE -∠CFH =∠EFH ，
又∵∠FEH =∠CEF ，
∴△EFH ∽△ECF ， ∴EC
EF EF EH =，∴EF 2=EH ·EC ， ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ，
∴四边形DEFM 是平行四边形，
∴EF =DM =DA =BD ，
∴BG ·BE =EH ·EC ，
∵BE =EC ，
∴EH =BG =5.
4.如图，在矩形ABCD 中，EH 垂直平分BD ，交BD 于点M ，过BD 上一点F 作FG ∥BE ，FG 恰好平分∠EFD ，FG 与EH 交于点N ．
（1）求证：DE •DG =DF •BF ；
（2）若AB =3，AD =9，求FN 的长．
第4题图
（1）证明：∵EH 垂直平分BD ，
∴BE =DE ，∠EBD =∠EDB ．
∵FG 平分∠EFD ，
∴∠EFG =∠GFD ．
∵FG ∥BE ，
∴∠EFG =∠BEF ，
∴∠GFD =∠BEF ，
∴△BEF ∽△DFG ， ∴DG BF
DF BE =，
∵BE =DE ， ∴DG BF
DF DE
=，
∴DE •DG =DF •BF ；
（2）解：设DE =x ，则BE =x ，
∵AB =3，AD =9，
∴AE =9-x ．
在Rt △ABE 中，∵∠A =90°，
∴AB 2+AE 2=BE 2，即32+（9-x ）2=x 2，
解得x=5．
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=9，
∵BE=DE，
∴BE2=BF•DB，
∵FN∥BE，
∴△MNF∽△MEB，
类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算
5.在正方形ABCD中，P为直线CD上一点，以PC为边作正方形CPMN，使点N在直线BC 上，连接MB、MD.
（1）如图①，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；
（2）如图②，若点P在线段DC上，
①连接BD，当点P为DC的中点时，求证：△PMD是等腰直角三角形；
②当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数.
图①图②
第5题图
（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，
∴BC=DC，CN=CP=PM=MN，∠P=∠N=90°，
∴BC+CN=DC+PC，即BN=DP，
∴△BNM≌△DPM（SAS），
∴MB=MD；
（2）①证明：∵P是CD的中点，∴PD=PC，
∵四边形CPMN是正方形，
∴PM=PC，∠DPM=∠CPM=90°，
∴PD=PM，
∴△PMD是等腰直角三角形；
②解：如解图，设PC与BM交于点E，过点E作EF⊥BD于点F，
设CD=a，PC=b，则PD=a-b，
∵MP 平分∠DME ，MP ⊥DE ，
∴PE =PD =a -b ,CE =a -2(a -b )=2b -a ，
∵PM ∥BC ，
∴△PME ∽△CBE ， ∴CE PE BC PM =，即a b b a a b --=2， ∴a =2b .
∵∠CDB =45°，
∴EF =DE ·sin 45°=22×2(a -b )=2(2b -b )=2b -2b ，
∵CE =2b -a =2b -2b ，
∴EF =EC ，∵EF ⊥BD ，EC ⊥BC ，∴BE 平分∠DBC ，
∴∠EBF =∠EBC =12∠DBC =22.5°，
∴PM ∥BC ，
∴∠DMP =∠PME =∠EBC =22.5°，
∴∠DMB =45°.
第5题解图 6.在矩形ABCD 中，AD =4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接 EM 并延长交线段CD 的延长线于点F .
（1）如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；
（2）如图②，若AB =2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；
（3）如图③，若AB =23
，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，求MG ME 的值.
图① 图② 图③
第6题图
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠EAM =∠FDM =90°，
∵M 是AD 的中点，∴AM =DM ，
在△AEM 和△DFM 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DMF
AME DM AM FDB A ，
∴△AEM ≌△DFM （ASA ）；
（2）证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于点H ，
∵∠A =∠B =∠AHG =90°，
∴四边形ABGH 是矩形，
∴GH =AB =2，
∵M 是AD 的中点，
∴AM =12AD =2，∴AM =GH ，
∵MG ⊥EF ，∴∠GME =90°，
∴∠AME +∠GMH =90°.
∵∠AME +∠AEM =90°，
∴∠AEM =∠GMH .
在△AEM 和△HMG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=AHG
A GMH AEM GH AM ，
∴△AEM ≌△HMG （AAS ），
∴ME =MG ，∴∠EGM =45°.
由（1）得，△AME ≌△DMF ，
∴ME =MF .
∵MG ⊥EF ，∴GE =GF ，
∴∠EGF =2∠EGM =90°，
∴△GEF 是等腰直角三角形；
（3）解：如解图②，过点 G 作GH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ， ∵∠A =∠B =∠AHG =90°，
∴四边形ABGH 为矩形， ∴GH =AB =23，
∵MG ⊥EF ，∴∠GME =90°，
∴∠AME +∠GMH =90°，
∵∠AME +∠AEM =90°，
∴∠AEM =∠GMH .
又∵∠A =∠GHM =90°，
∴△AEM ∽△HMG .
∴ME MG =AM GH ，
∵AD =4，M 是AD 的中点，∴AM =2.
在Rt △GME 中，tan ∠MEG =MG ME =GH AM =232=3.
图① 图②
第6题解图。