高考培优微专题《指对夸阶同构与嵌套》学生版

高考数学培优微专题《指对跨阶同构与嵌套》
【考点辨析】
在不等式恒成立求参数范围问题中，如果不等式中同时含有e x 和lnx 两种形式的函数时，我们可以用隐零点求解，也可以想办法放缩，但最好最快的方法还是考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称之为指对同构。

【知识储备】
1.指对跨阶左右同构型
（1）和、差型：e a ±a >b ±ln b ，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：e a ±a >e ln b ±ln b ，构造函数f (x )=e x ±x ；
②同右构造形式：e a ±lne a >b ±ln b ，构造函数f (x )=x ±ln x .
(2)积型：ae a ≤b ln b ，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：ae a ≤ln be ln b ，构造函数f (x )=xe x ；
②同右构造形式：e a ln e a ≤b ln b ，构造函数f (x )=x ln x ；
③取对构造形式：a +ln a ≤ln b +ln ln b (b >1)，构造函数f (x )=x +ln x .
(3)商型：e a
a ≤
b ln b ，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：e a
a ≤e ln b
ln b ，构造函数f (x )=e x x ；
②同右构造形式：e a ln e a ≤b ln b ，构造函数f (x )=x ln x ；
③取对构造形式：a -ln a ≤ln b -ln (ln b )(b >1)，构造函数f (x )=x -ln x .
2.指对跨阶复合嵌套型：
①由ln (e x x )=x +lnx 则e x x ±(x +lnx )=e x x ±ln (e x x )
②ln (e x
x )=x -lnx ,则e x x ±(x -lnx )=e x
x ±ln (e x
x )
【例题讲解】
类型一：指对跨阶左右同构型例1.已知x 0是方程2x 2e 2x +ln x =0的实根，则关于实数x 0的判断正确的是(
)A .x 0≥ln 2B .x 0<1e C .2x 0+ln x 0=0D .2e x 0+ln x 0=0
例2.已知函数f (x )=x ln x .
(1)求f (x )的最小值；
(2)当x >2时，证明：x x -1e x >ln (x -1)．
例3.（全国）已知函数f(x)=e x+(1-a)x-ln ax(a>0)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若对于任意的x>0，有f(x)≥0，求正数a的取值范围．
类型二：指对跨阶复合嵌套型
例4.若f(x)=xe x-a(x+ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是________．例5.已知f(x)=lnx+x-xe x+1，求f(x)的最大值
例6.（22年全国甲卷）已知函数f(x)=e x
x-lnx+x-a
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围；
【解题策略】
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【教考衔接】
1.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若ae a<b ln b，则( )
A．ab>e B．b>e a C．ab<e D．b<e a
2.若关于x的不等式e x-a≥ln x+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
B.(-∞，e]
C.(-∞，1]
D.(-∞，2]
A.-∞，1e
3.若对于任意实数x>0，不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立，求a的取值范围；
4.已知函数f(x)=e x-a ln x(其中a为参数)，若对任意x∈(0，+∞)，不等式f(x)>a ln a恒成立，求
正实数a的取值范围；
5.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a．
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
6.已知函数f(x)=e x+1-a x+1，g(x)=ln x x+2.
(1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．。