基本不等式-高考数学复习

2 ＋2.
2 ＋2，当且仅当 x
(2)已知正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab 的最大值为
1
16
.
⁠
1
1
+4 2
1
正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab ＝ × a ·4 b ≤ ×
＝ ，当且
4
4
2
16
1
1
仅当 a ＝ ， b ＝ 时等号成立.
2
8
方法总结
配凑法求最值的实质及关键点
∵ a ＞0， b ＞0，4 a ＋3 b ＝6，
1
1 3＋+3
∴ a ( a ＋3 b )＝ ·3 a ( a ＋3 b )≤
3
3
2
2
1
6 2
＝ ×
＝3，当且仅当3
3
2
2
a ＝ a ＋3 b ，即 a ＝1， b ＝ 时， a ( a ＋3 b )的最大值是3.
3
2.
8
(2024·山西忻州模拟)已知 a ＞2，则2 a ＋
(200－1.5 y )2＋ y 2＋(200－1.5 y ) y ＝1.75 y 2－400 y ＋40 000＝1.75 ቀ −
800 2
120 000
400
ቁ ＋
0 < ＜
，
7
7
3
800
200 21
200
当y＝
时， PQ 有最小值
，此时 x ＝
.
7
7
7
200
800
即 AP 长为
米， AQ 长为
∴2 x ＋ y ＝(2 x ＋ y )
2
4
＋


8
2
＝ ＋ ＋8≥2


8 2
· ＋8＝16，


8
2
当且仅当 ＝ ，即 x ＝4， y ＝8时，等号成立，


则2 x ＋ y 的最小值为16.
A )
4. (2024·广东广州模拟)已知正实数 x ， y 满足2 x ＋ y ＝ xy ，则2 xy －2 x
8
法二：∵8 a ＋4 b ＝ ab ，∴ b ＝
＞0.∵ a ＞0，
−4
8
8(2 −3)
4
∴ a ＞4，∴8 a ＋ b ＝8 a ＋
＝
＝8 ( − 4)＋
−4
−4
−4
4 ＋5)＝72，
当且仅当 a ＝6时取等号.
+ 5 ≥8×(2
方法总结
常数代换法求解最值的基本步骤
1.根据已知条件或其变形确定定值(常数).
9
·(2
2+1
+ 1) －2＝4(当且仅当 y ＝1
考点四
例4
基本不等式的实际应用
中华人民共和国第十四届全国运动会在陕西省举办，某公益团队联
系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育
设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为 x
元时，销售量可达到(15－0.1 x )万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家
＋
2
2
( a ， b ∈R).
以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b .
知识点三 利用基本不等式求最值
已知 x ＞0， y ＞0，则
(1)若 x ＋ y ＝ s (和为定值)，则当
(2)若 xy ＝ p (积为定值)，则当
x＝y
x＝y
时，积 xy 取得最大值
时，和 x ＋ y 取得最小值
2
0，所以0＜ x ＜150，
所以单套利润为
＝ − 50 −
100
150−
元.因为15－0.1 x ＞
y ＝ x －50－
(150 − )·
100
150−
100
150−
＝－ (150 −
100
)＋
150−
＋100≤100－2
＝80，
当且仅当150－ x ＝10，即 x ＝140时取等号，
A. 80
B. 77
C. 81
D. 82
xy ≤
＋
2
2
＝81，当且仅当 x ＝ y ＝9时，等号成立.
C )
3.
4
若 x ＞0，则关于 x ＋ 下列结论正确的是(

B )
A. 有最大值，且最大值为4
B. 有最小值，且最小值为4
4
因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2

×
4
＝4，当且仅当 x ＝2时等号成立.
－ y 的最小值为(
A. 2
B. 4
C. 8
D. 9
C )
因为正实数 x ， y 满足2 x ＋ y ＝ xy ，
1
2
所以 ＋ ＝1，则2 xy －2 x － y ＝2 x ＋ y ＝


2＋
1
2
＋


4
≥4＋2
· ＝8，

1
2
当且仅当 y ＝2 x 且 ＋ ＝1，即 x ＝2， y ＝4时取等号.
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是
80元.
方法总结
利用基本不等式求解实际问题的两个注意点
1. 利用基本不等式解决实际问题时,应明确其中的数量关系,并引入变
量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
2. 在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数
a ＋ b 的最小值为(
C )
A. 54
B. 56
C. 72
D. 81
8
4
法一：∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋


b)
8
4
＋


64
4
＝
＋ ＋40≥2


64 ×
64
4
4 ＋40＝72，当且仅当
＝ ，即


a ＝6， b ＝24时取等号.
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法
凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方
法.配凑法的实质是代数式的灵活变形﹐配系数﹑凑常数是关键.
跟踪训练
1. 已知 a ， b 是正数，且4 a ＋3 b ＝6，则 a ( a ＋3 b )的最大值是(
C. 3
C )
D. 9
基本不等式
[学习要求] 1.掌握基本不等式
＋
≤
( a ＞0， b ＞0)，结合具体实
2
例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 2.掌握基本不等
式在实际生活中的应用.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一
＋
基本不等式：
4
2
⁠
.
⁠
.
⁠
[小题诊断]
1.
1
设 a ＞0，则9 a ＋ 的最小值为(

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
1
因为 a ＞0，所以9 a ＋ ≥2

9 ×
1
号成立，所以9 a ＋ 的最小值为6.

C
)
1
1
1
＝6，当且仅当9 a ＝ ，即 a ＝ 时等


3
2. 设 x ＞0， y ＞0，且 x ＋ y ＝18，则 xy 的最大值为(
已知 a ， b ， c 都是非负实数，求证： 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋
2 ＋2 ≥ 2 ( a ＋ b ＋ c ).
将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格
为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为
10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
[解]
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万
的最小值是(
−2
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
D )
因为 a ＞2，所以 a －2＞0，
8
所以2 a ＋
＝2
−2
−2
当且仅当2 − 2
8
8
＝
，即 a ＝4时，等号成立，所以2 a ＋
的最小
−2
−2
值为12.
8
＋
＋4≥2
−2
16 ＋4＝12，
考点二
例2
利用常数代换法求最值
(2024·江西南昌模拟)已知正数 a ， b 满足8 a ＋4 b ＝ ab ，则8
米时，可使竹篱笆用料最省.
7
7
教材延展 基本不等式链
例1
是( B
已知 a ， b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的
)
∵ a ， b 为互不相等的正实数，
1
1
2
∴ ＋ ＞
，



2
2
1
2
＜
＝
＜
，
2


＋
2
2
＋
2
＜
2
1
2
＝
＜
，
2


1
1
∴最大的是 ＋ .


例2
考点一
例1
利用配凑法求最值
1
(1)已知 x ＞2，则函数 y ＝ x ＋
的最小值是(
2(−2)
C. 2
D
)
由题意可知， x －2＞0，
1
∴ y ＝( x －2)＋
＋2≥2
2(−2)
＝2＋
( −
1
2)·
＋2＝
2(−2)
2
时，等号成立，
2
1
∴函数 y ＝ x ＋
( x ＞2)的最小值为
2(−2)

4. (多选)下列不等式中，不正确的是(
ABC )
B. a 2＋ b 2≥4 ab
4
a ＜0时， a ＋ ≥4不成立，故A错误； a ＝1， b ＝1， a 2＋ b 2＜4 ab ，故

B错误； a ＝4， b ＝16，则
D项正确.
＋
＜
，故C错误；由基本不等式可知
2
关键能力 重点探究
法二：(代入消元法)由 x ＋3 y ＋ xy ＝9，得 x ＝
，
1+
9−3
9−3+3(1+)
9+3 2
3(1+)2 −6(1+)+12
所以 x ＋3 y ＝
＋3 y ＝
＝
＝
＝3(1
1+
1+
1+
1+
12
＋ y )＋
－6≥2
1+
3(1 +
12
)·
－6＝12－6＝6，
1+
12
2.把确定的定值(常数)变形为1.
3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积
为定值的形式.
4.利用基本不等式求解最值.
跟踪训练
3. 已知 x ＞0， y ＞0，且4 x ＋2 y － xy ＝0，则2 x ＋ y 的最小值为(
A. 16
C. 12
2
4
由题意可知 ＋ ＝1，





4
＝4＋ ＋


考点三
例3
利用消元法求最值
已知 x ＞0， y ＞0， x ＋3 y ＋ xy ＝9，则 x ＋3 y 的最小值为 6
.
⁠
法一：(换元消元法)由已知得 x ＋3 y ＝9－ xy .
因为 x ＞0， y ＞0，所以 x ＋3 y ≥2 3 ，
所以3 xy ≤
+3 2
(2)已知 AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.
若围围墙用20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解：由题意得100×( x ＋1.5 y )＝20 000，
即 x ＋1.5 y ＝200.要使竹篱笆用料最省，
只需其长度 PQ 最短，所以 PQ 2＝ x 2＋ y 2－2 xy cos 120°＝ x 2＋ y 2＋ xy ＝
套)，
10
供货单价为50＋ ＝52(元)，
5
总利润为5×(100－52)＝240(万元).
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是
多少元？
[解]
50 +
设售价为 x 元，则销售量为(15－0.1 x )万套，供货单价为
10
15−0 . 1
元，
单套利润为 x －50－
10
15−0 . 1
单调性求解.
跟踪训练
6. 如图，某生态园将一个三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种
植桃树，已知 A 为120°， AB ， AC 的长度均大于200米，现在边界 AP ，
AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆.
(1)若围墙 AP 与 AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面
5. 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，则 x ＋2 y 的最小值是
4 .
⁠
∵ x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，
8−2
9
∴x＝
＝
－1，
1+2
2+1
9
∴ x ＋2 y ＝
＋(2 y ＋1)－2≥2
2+1
时取等号)，∴ x ＋2 y 的最小值为4.
≥
2
1. 基本不等式成立的条件：
2. 等号成立的条件：当且仅当

a ＞0， b ＞0
a＝b
.
⁠
时取等号.
知识点二 几个重要的不等式
1. a 2＋ b 2≥ 2 ab


2. ＋ ≥


3. ab ≤
4.
2
＋
2
2
≥
( a ， b 同号).
2
＋
2
( a ， b ∈R).
2
( a ， b ∈R).来自积最大？解：设 AP ＝ x 米， AQ ＝ y 米.
x ＋ y ＝200，
1
3
△ APQ 的面积 S ＝ xy sin 120°＝ xy ，
2
4
2
3 ＋
所以 S ≤
＝2 500 3 ，
4
2
＝，
当且仅当ቊ＋ = 200，
即 x ＝ y ＝100时取等号.
即 AP 与 AQ 的长度都为100米时，可使得三角形地块 APQ 的面积最大.
，当且仅当 x ＝3 y ，即 x ＝3， y ＝1时取等号，所以 x
2
1 +3 2
＋3 y ＋
≥9，即( x ＋3 y )2＋12( x ＋3 y )－108≥0.