四川省棠湖中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)-精品

棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
理科数学
第I 卷 选择题（60分）
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知i 是虚数单位，且i z i 34)21(+=+，则=z A.i -2 B.
552i
-- C.i +2 D. 5
52i +- 2.下列不等式成立的有
①b a b a -≤-，②33abc c b a ≥++，③2
2222)())((bd ac d c b a +≤++
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个 3．已知
6)1('2)(2-+=xf x x f ， 则)1('f 等于
A ．2-
B ．0
C ．2
D ． 4
4．已知随机变量ξ服从正态分布 N （2，σ2），P （ξ≤4）=0.84，则 P （ξ≤0）=
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
5．一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02．设发病 的牛的头数为ξ，则 D ξ等于 A ．0.2 B ．0.8 C ．0.196
D ．0.804
6.将小亮等5名同学全部安排到A 、B 、C 、D 四个社区参加社区活动，每个社区至少安排一人，则小亮在A 社区的安排方案共有
A ．24种
B ．36种 C.48种 D ．60种
7.某中学有高中生3000人，初中生2000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取的女生人数是 A ．12 B ．15 C.20 D ．21
8.若x ，y 满足约束条件20
2301x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值是
A ．1-
B ．3- C.13
3
-
D ．5-
9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则(|)P B A = A ．
1247 B ．211 C ．2047 D ．15
47
10.设函数()3
f x x x =+，x R ∈.若当02
π
θ<<时，不等式()()sin 10f m f m θ+->恒
成立，则实数m 的取值范围
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞ C.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
11.已知函数()()2
ln 1f x a x x =+-，在区间()0,1内任取两个实数p ，q ，且p q <，若不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．()15,+∞
B ．[)15,+∞ C.(),6-∞ D ．[)6,+∞
12．已知抛物线2
2(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为
F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为
A B 1 D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式10
展开式中含3x 项的系数是 ．
14.已知函数()11sin 24f x x x x =
--的图象在点()00,A x y 处的切线斜率为1，则0tan x = ．
15．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2 +y -4 =0相切，则圆C 面积的最小值为 .
16.已知函数x a e x f x
ln )(+=的定义域是D ，关于函数)(x f 给出下列命题：
①对于任意),0(+∞∈a ，函数)(x f 是D 上的减函数；②对于任意)0,(-∞∈a ，函数)(x f 存在最小值；
③存在),0(+∞∈a ，使得对于任意的D x ∈，都有0)(>x f 成立； ④存在)0,(-∞∈a ，使得函数)(x f 有两个零点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
三．解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知函数3
2
()2f x ax bx x =+-，且当1x =时，函数()f x 取得极值为56
-. （1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[2,0]-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
2
8
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N )15,51(2
，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）错误！未找到引用。

范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望. 附若2(,)x
N μσ错误！未找到引用。

，则()0.683,P X μσμσ-<≤+=
(22)0.954P X μσμσ-<≤+=，(33)0.997P X μσμσ-<≤+=
19.（本小题满分12分）
如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，1
2
PA AC AB ==
，N 为AB 上一点，4AB AN =，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.
（1）证明：CM SN ⊥；
（2）求平面NBC 与平面CMN 所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过定点02T （，）的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且0O A O B >，
求直线l 的斜率k 的取值范围；
21.（本小题满分12分）
已知函数2
2
)(),0,0)(1ln()(+-=>≥+=x x x g a x ax x f . （1）讨论函数)()(x g x f y -=的单调性；
（2）若不等式1)()(+≥x g x f 在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，证明：
1111+35721n +++<+…*1()()2
f n n N ∈．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分） [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，l 是过点(1,0)P -且倾斜角为
4
π
的直线.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求PA PB +.
23.（本小题满分10分） [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()21f x x a x =+--. （1）当1a =时，解不等式()2f x >；
（2）当0a =时，不等式2
()7f x t t >--对任意x R ∈恒成立，求实数t 的取 值范围.
棠湖中学高2019届第四学期期末教学质量监测考试
理科数学参考答案
一．选择题
1.C
2.B
3.D
4.A
5.C
6.D
7.D
8.B
9.D 10.A 11.B 12.D 二．填空题
13. 210 14.3- 15.π5
4
16. ②④ 三．解答题
17.解：（1）2
'()322f x ax bx =+-，
由题意得，'(1)05(1)6f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即3220526a b a b +-=⎧⎪⎨
+-=-⎪⎩，解得13
32
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴32
13()232
f x x x x =-
+-. （2）由()6(20)f x x m x =---≤≤有两个不同的实数解， 得
32
134032
x x x m ---=在[2,0]-上有两个不同的实数解， 设32
13()432
g x x x x m =
---， 由2
'()34g x x x =--，
由'()0g x =，得4x =或1x =-，
当(2,1)x ∈--时，'()0g x >，则()g x 在[2,1]--上递增， 当(1,0)x ∈-时，'()0g x <，则()g x 在[1,0]-上递减，
由题意得(2)0(1)0(0)0g g g -≤⎧⎪->⎨⎪≤⎩，即231360
m m m ⎧
≥-⎪⎪
⎪
<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
，解得1306m ≤<，
18.解：（1）设样本的中位数为x ， 则
2250450(40)
0.510001000100020
x -++⋅=错误！未找到引用。

， 解得51x ≈，所得样本中位数为错误！未找到引用。

（百元）.
(),812,15,512=+==σμσμ
()σμ28100+≥x P 元以上的概率为旅游费用支出在
()023.02
954
.012221=-=+<<--=
σμσμx P
80535000023.0=⨯
估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上. （3）Y 的可能取值为0，1，2，3，
35385(0)28C P Y C ===，12353815
(1)28C C P Y C ===，
21353815(2)56C C P Y C ===，33381
(3)56
C P Y C ===
∴错误！未找到引用。

的分布列为
错误！未找到引用。

9
()0123282856568
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯= 19. 解 设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为，y ，轴正向建立空间直角坐标系(如图)．
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， 又AN ＝1
4AB ，M 、S 分别为PB 、BC 的中点，
∴N (12，0,0)，M (1,0，12)，S (1，1
2，0)，
(1)CM →＝(1，－1，12)，SN →
＝(－12，－12，0)，
∴CM →·SN →
＝(1，－1，12)·(－12，－12，0)＝0，
因此CM ⊥SN .
(2) NC →
＝(－12，1,0)，设a ＝(，y ，)为平面CMN 的一个法向量，
∴CM →·a ＝0，NC →
·a ＝0. 则⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1
2z ＝0，－1
2x ＋y ＝0.
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2y ，z ＝－2y .
取y ＝1，则得a ＝(2,1，－2)
．
平面NBC 的法向量(0,0,1)n =2
cos ,3
a n <>=-
因为平面NBC 与平面C MN 所成角是锐二面角；所以平面NBC 与平面CMN 所成角的余弦值为
23
.. 20.解：（1）设椭圆E 的方程为：22221x y a b
+= (0)a b >>，
由已知： 24a =， 23b =，
所以，椭圆E 的方程为：
（2）由题意，直线斜率存在，故设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx A x y B x y =+点
由222
14
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2243)1640k x kx +++=（ 121222
164
,4343
k x x x x k k ∴+=-
=++ 由0∆>即有11
22
k k <-
>或 0OA
OB >即121212120(2)(2)0x x y y x x kx kx +>⇒+++>
212121+)2()40k x x k x x ∴+++>（
有2
22
416(1)
2404343
k k k k k -+++>++ 解得
214
43
k << 综上：实数k
的取值范围为1122k k <<-<<
或
21.解：(1)∵y ＝f()－g()＝ln(a ＋1)－x －2
x ＋2，
y ′＝a ax ＋1－4(x ＋2)2＝ax 2
＋4a －4
(ax ＋1)(x ＋2)
2，
当a ≥1时，y ′≥0，所以函数y ＝f()－g()是[0，＋∞)上的增函数； 当0<a<1时，由y ′>0得>2
1
a －1，所以函数y ＝f()－g()在⎪⎪⎭
⎫⎢⎣
⎡+∞-,112a
上是单调递增函数，函数y ＝f()－g()在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-112,0a 上是单调递减函数；
(2)当a ≥1时，函数y ＝f()－g()是[0，＋∞)上的增函数．
所以f()－g()≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式f()≥g()＋1在∈[0，＋∞)时恒成立， 当0<a<1时，函数y ＝f()－g()是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112
,0a 上的减函数，存在⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-∈112,00a x ，使得f(0)－g(0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(0)≥g(0)＋1不成立， 综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)
(3)当a ＝1时，由(2)得不等式f()>g()＋1在∈(0，＋∞)时恒成立， 即ln(＋1)>2x x ＋2，所以()
*∈+>⎪⎭⎫
⎝⎛+N k k
k 21211ln ，
即12k ＋1<1
2
[ln(＋1)－ln]． 所以13<12(ln2－ln1)，15<12(ln3－ln2)，17<12(ln4－ln3)，...，12n ＋1<12[ln(n ＋1)－lnn]．
将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋
(ln(n ＋1)－lnn)]＝12ln(n ＋1)＝1
2
f(n)．
∴原不等式成立．
22.解：（1）直线l
的参数方程为122
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 由曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，得2
4cos ρρθ=，
把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得曲线C 的直角坐标方程为2
2
(2)4x y -+=.
（2
）把122
x y ⎧=-+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩代入圆C
的方程得223))4-+=，
化简得2
50t -+=，
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
则12125
t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩10t >，20t >
，则12PA PB t t +=+=
23.解：（1）当1a =时，由()2f x >得：2112x x +-->，
故有12
2112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或1
1
22112
x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或121(1)2x x x >⎧⎨+-->⎩， ∴4x <-或
213x <≤或1x >，∴4x <-或2
3
x >， ∴()2f x >的解集为2
{|4}3
x x x <->或.
（2）当0a =时1,0()2131,011,1x x f x x x x x x x --<⎧⎪
=--=-≤≤⎨⎪+>⎩
，∴min ()(0)1f x f ==-，
由217t t ->--得：260t t --<，∴23t -<<，∴t 的取值范围为(2,3)-.。