2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_1_4两条直线的交点学案北师大版必修2

1．4 两条直线的交点
一般地，如果两条不重合的直线方程分别为
l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.
要判断它们是否平行，即看它们的斜率是否相等．如果不等，则两直线相交，问题就转化成二元一次方程组求解的问题．
两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l 1和l 2的交点．因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解．
1．若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.且l 1与l 2的交点为P (x 0，y 0)，则P 的坐标应满足什么关系？
[答案] A 1x 0＋B 1y 0＋C 1＝0且A 2x 0＋B 2y 0＋C 2＝0.
2．已知两条直线l 1与l 2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ [答案] 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
题型一两直线的交点问题
【典例1】 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．
[思路导引] 求出交点坐标，第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零．
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2a ＋3
7，y ＝a －2
7，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＋3
7
>0，a －27<0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a >－32，a <2.
∴－3
2
<a <2.
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，2 [引申探究] 若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？
[解] 由典例得交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋37，a －27，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋3
7<0，a －2
7<0，
得a <－3
2
.
解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．
[针对训练1] 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数
k 的取值范围是( )
A ．k >－2
3
B ．k <2
C ．－2
3
<k <2
D ．k <－2
3
或k >2
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋k ＋2，
y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－k
k ＋2，y ＝6k ＋4
k ＋2，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
2－k
k ＋2
>0，6k ＋4k ＋2>0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
－2<k <2，k <－2或k >－2
3，
∴－2
3
<k <2.故选C.
[答案] C 题型二共点问题
【典例2】 设三条直线x －2y ＝1,2x ＋ky ＝3,3kx ＋4y ＝5交于一点，求k 的值． [思路导引] 应用两直线相交的方法求值．
[解] 解法一：解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＝1，
2x ＋ky ＝3，
得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k ＋6
k ＋4，y ＝1k ＋4.
即前两条直线的交点为⎝
⎛⎭
⎪
⎫k ＋6k ＋4，1k ＋4.
因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此定点， 故3k ×
k ＋6k ＋4＋4×1
k ＋4
＝5， 解得k ＝1或k ＝－16
3
.
解法二：过直线x －2y －1＝0与2x ＋ky －3＝0的交点的直线可设为(x －2y －1)＋λ(2x ＋ky －3)＝0(λ∈R )，即(1＋2λ)x ＋(kλ－2)y －(1＋3λ)＝0.由题设三条直线交于一点知存在λ使该直线与直线3kx ＋4y －5＝0重合，即1＋2λ3k ＝kλ－24＝－(1＋3λ)－5
，
解得λ＝－2，k ＝1或λ＝－2158，k ＝－16
3.
所以k 的值为1或－16
3.
证三线共点或据三线共点求系数值，一般是先求两条直线的交点，再将该点的坐标代入第三条直线的方程，得证或求出．
[针对训练2] 三条直线x ＋y ＝2，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能围成三角形，求a 的取值范围．
[解] 当x ＋y ＝2与x ＋ay ＝3平行时，
1·a －1×1＝0，即a ＝1. 当x －y ＝0与x ＋ay ＝3平行时， 1·a －(－1)·1＝0，即a ＝－1. 两直线x ＋y ＝2与x －y ＝0必相交，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，x －y ＝0，
得两直线交于(1,1)点．
当x ＋ay ＝3过(1,1)点时，a ＝2.
∴三条直线围成三角形时，a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)∪(2，＋∞). 题型三求过两条直线交点的直线方程
【典例3】 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．
[思路导引] 解法一：可先求出两直线的交点坐标，利用点斜式求直线的方程；解法二：可利用过两条直线交点的直线系方程求解．
[解] 解法一：解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
5，y ＝－7
5，
所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5
，－75.
又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，
即15x ＋5y ＋16＝0. 解法二：设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，
所以有⎩
⎪⎨
⎪⎧
(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，
(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，
得λ＝112
.
代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×112－3＝0，
即15x ＋5y ＋16＝0.
[引申探究] 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解． [解] 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－3
4，
所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
[针对训练3] 直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( )
A ．2x ＋y ＝0
B ．2x －y ＝0
C ．x ＋2y ＝0
D ．x －2y ＝0
[解析] 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，
因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x －y ＝0. [答案] B
1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1)
B ．(1,4)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，43
[解析] 由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －2＝0，
2x ＋y －3＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4
3，y ＝1
3.
即直线x ＋2y －2＝0与直线2x
＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13.
[答案] C
2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )
A ．2x ＋y －8＝0
B ．2x －y －8＝0
C ．2x ＋y ＋8＝0
D ．2x －y ＋8＝0
[解析] 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.
[答案] A
3．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－2.
将x ＝4，y ＝－2代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a －4＋8＝0，所以a ＝－1. [答案] －1
4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．
[解析] l 1与l 2相交，则有a 4≠3
6
，∴a ≠2.
[答案] a ≠2
课后作业(二十一)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2)
D ．(2,1)
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.
[答案] C
2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6
C ．±6
D ．以上都不对
[解析] 联立两条直线的方程得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y －k ＝0，
x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－36
3＋2k
，
∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－36
3＋2k
＝0，
∴k ＝±6(经检验知符合题意)． [答案] C
3．过两直线：l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0
D ．3x ＋19y ＝0
[解析] 解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3y ＋4＝0，
2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－19
7，y ＝3
7.
则过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37与原点的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0. [答案] D
4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，12
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，12 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－14，12 [解析] 直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)、B (2,0)，直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k PA ，即－14<k <1
2
.
[答案] A
5．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )
A ．(－2，－3)
B ．(2,1)
C ．(2,3)
D ．(－2，－1)
[解析] 直线MN 的方程是y ＋1＝2x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋1＝2x ，x －y ＋1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝3.
所以N 点的坐标是(2,3)． [答案] C
6．经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线3x －4y ＝0平行的直线方程为__________．
[解析] 设所求的直线方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，由题意得1＋λ3＝λ－2－4，解得λ＝2
7
.
故所求的直线方程为97x －127y ＋24
7＝0，
即3x －4y ＋8＝0. [答案] 3x －4y ＋8＝0
7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋4＝0}，C ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋
b }，若(A ∩B )C ，则b ＝________.
[解析] A ∩B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
(x ，y )| ⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0
＝{(0,2)}，由于(A ∩B )C ，所以(0,2)在直线y ＝3x ＋b 上，
∴2＝3×0＋b ，∴b ＝2. [答案] 2
8．若直线l ：y ＝kx －3与直线l 1：2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．
[解析] 直线l 1：2x ＋3y －6＝0过A (3,0)，B (0,2)，而l 过定点C (0，－3)，
由图象可知⎩
⎪⎨
⎪⎧
k >k AC ，
k >0，
∴l 倾斜角α的范围是(30°，90°)． [答案] (30°，90°)
9．过点(3,5)作直线4x ＋3y －2＝0的垂线，求垂足坐标． [解] 设与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋C ＝0， 又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C ＝0，∴C ＝11，
∴过点(3,5)与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋11＝0.
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x ＋3y －2＝0，
3x －4y ＋11＝0，得垂足坐标为(－1,2)．
10．△ABC 的边AC ，AB 上的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在直线的方程．
[解] 因为AC 边上的高所在直线为2x －3y ＋1＝0，则其斜率为2
3，
所以直线AC 的斜率为－3
2
；
所以直线AC 的方程为y －2＝－3
2(x －1)，
即3x ＋2y －7＝0；
同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程：
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，
得顶点B (－2，－1)．
所以直线BC 的斜率为－2
3
，
所以直线BC 的方程为y ＋1＝－2
3(x ＋2)，
即2x ＋3y ＋7＝0.
应试能力等级练(时间25分钟)
11．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为 ( )
A ．24
B ．20
C ．0
D ．－4 [解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，
∴－m 4·2
5
＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，
∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2， 将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20. [答案] B
12．已知m ∈R ，则直线(2m ＋1)x ＋(2－m )y ＋5m ＝0必经过定点( ) A ．(2,1) B ．(－2,1) C ．(2，－1)
D ．(－1，－2)
[解析] 直线方程可化为(x ＋2y )＋m (2x －y ＋5)＝0，解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＝0，
2x －y ＋5＝0，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝1.因此直线必经过定点(－2,1)．
[答案] B
13．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，
Q 2(a 2，b 2)的直线方程是________．
[解析] 由条件可知2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴(a 1，b 1)，(a 2，b 2)在直线2x ＋3y ＋1＝0上． 故过Q 1，Q 2的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. [答案] 2x ＋3y ＋1＝0
14．已知直线l 1过点A (2,1)，B (0,3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4,2)． (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标；
(2)已知点M (－2,2)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率
k 的取值范围．
[解] (1)∵直线l 1过点A (2,1)，B (0,3)，
∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －2
0－2
，即y ＝－x ＋3.
∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4,2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，
即y ＝－3x ＋14.联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝－3x ＋14，
y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝11
2，y ＝－5
2，
即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112
，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112
＝－35， k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112
＝3. 因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞)．。