广东省湛江一中高三数学10月模拟考试试卷 文

湛江一中高三文科数学十月月考试题
满分：150分 时间：1
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2i 2．已知向量()(),1,3,6,a x b ==∥，则实数x 的值为（ ）
A ．
12 B ．2- C ．2 D ．21- 3．在等比数列{}n a 中，已知,11=a 84=a ，则=5a （ ）
A ．16
B ．16或－16
C ．32
D ．32或－32
4．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ⊆B 则a 的范围是( )
A. a <1
B. a ≤1
C. a <2
D. a ≤2 5．若ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =
,则sin cos A A +=( ) A.
3
1
B.315
C.315-
D. 315±
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
那么方程2x =的一个根位于下列区间的（ ）.
A.（0.6，1.0）
B.（1.4，1.8）
C.（1.8，2.2）
D.（2.6，3.0）
7．如图，程序框图所进行的求和运算是 ( )
A ．101
31211++++ B ．19
151311++++ C ．20
1614121+++ D ．10322
1212121+++
8．直线1+=ax y 与圆22
2
=+y x 的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．相交
C ．相切
D ．与a 的值有关
9. 已知某个几何体的三视图如图（俯视图中的弧线是半圆），
根据图中标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积
是（ ）cm 3。

A. π
B.π2
C. π4
D.4
10．不等式2
0ax x c -+>的解集为{|21}x x -<<，则函数
2y ax x c =++的图象大致为（ ）
A B C D
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分 （一）必做题（11～13题）
11．上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画
组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．根
据下图所示的频率分布直方图，估计这507个画师中年龄在[)30 35，岁的人数约为 人（精确到整数）．
12.函数f (x )= 2(1)x
x x ⎧⎨
+⎩,0,0
x x ≥< ，则(2)f -+ f ( 1 )=
13. 已知变量x ,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥0
21y x y x 则x +y 的最小值是
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，如两题都做，按第14题计分） 14．（坐标系与参数方程选做题）
极坐标方程为8sin ρθ=-的圆半径为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图，已知圆的直径10AB =，C 为圆上一点，过C 作CD AB ⊥ 于D （AD BD <），若4CD =，则AC 的长为 . 三、解答题（每小题
16. （本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足
5
522c o s =A ，3=⋅． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1=c ，求a 的值．
17．（12分）某公司举办员工节日抽奖活动。

共有500张奖券，其中一等奖二等奖50名，三等奖100名。

每人限抽一次。

（1）求甲抽得一等奖的概率。

（2）求甲抽得二等奖或三等奖的概率。

（3）求甲不中奖的概率。

18．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E .F 为PC 中点。

(1)求证：AE ∥平面PBC ；(2)求证：AE ⊥平面PDC.
19. .(本题14分)椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414
,||,||.33
PF F F PF PF ⊥==
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点M ()12-，
，交椭圆C 于,A B 两点，且M 恰是A,B 中点，求直线l 的方程.
本题满分14分）
已知函数c bx ax x x f ++-=2
3)(的图象为曲线C 。

（1）若曲线C 上存在．．点P ，使曲线C 在P 点处的切线与x 轴平行，求,a b 的关系； （2）若函数31)(=-=x x x f 和可以在时取得极值，求此时,a b 的值； （3）在满足（2）的条件下，c x c x f 求恒成立在,]6,2[2)(-∈<的取值范围。

21.(本题满分14分)
已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且521++=+n S S n n （I ）证明：数列{}1n a +是等比数列；
（II ）令2
12()n n f x a x a x a x =++
+，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f ',并比较
2(1)f '与22313n n -的大小.
湛江一中高三文科数学十月月考试题
参考答案及评分标准
一、选择题：CAABB CCBAC
二、填空题:11. 177 12. 4 13. 2
14. 4 15.52
三、解答题： 16．解析：（Ⅰ）
53
1)552(212cos 2cos 22
=-⨯=-=A A （2分）
又()π,0∈A
5
4
cos 1sin 2=
-=A A ，
3
53
cos .===bc A AC AB ， (6分)
所以5=bc ，所以ABC ∆的面积为：
25
4
521sin 21=⨯⨯=A bc （8分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 22
2=⨯-+=
-+=A bc c b a （12分）
17 、解： （1）P （甲抽得一等奖）=04.0500
20
= （4分）
（2）P （甲抽得二等奖或三等奖）=3.0500
100
50050=+ （8分）
（3）P （甲不中奖）=1—P （甲中奖）=1—
50020—66.034.01500
10050050=-=— （12分）
18.(1)证明:连接EF, 中点为PD E .F 为PC 中点,则EF ∥CD ，EF=
2
1
DC, 因为AB ∥CD ，AB=
2
1
DC ，所以有EF ∥AB 且EF=AB,则四边形ABFE 是平行四边形.所以AE ∥BF,因为AE 不在平面PBC 内,BF 在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.（8分）
(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，BF 在平面PBC 内,CD ⊥BF.
△PBC 为正三角形,BF ⊥PC,又PC ⋂CD=C,PC 、CD 在平面PDC 内，所以BF ⊥平面PDC ，又AE
∥BF,所以AE ⊥平面PDC. （14分）
19.(共14分)
解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522
1
2221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4,
所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. （6分） (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.若直线l 斜率不存在，显然不合题意。

从而可设过点（－2，1）的直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, （8分） 代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2
+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822
221-=++-=+k k k x x 解得9
8
=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x -9y +25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意) （14分）
解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ) 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492
121=+y
x
①
,14
92
22
2=+y
x
②
由①－②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x
③
因为A 、B 关于点M 对称， 所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得
2121x x y y --＝98， 即直线l 的斜率为9
8，
所以直线l 的方程为y －1＝
9
8
（x+2），即8x －9y +25=0.（14分） 1）),(,22)(002
y x P b ax x x f 设切点为+-='，…………1分
2
000200022()()32()320,24120,34y f x P k f x x ax b
f x x ax b a b a b
'===-+'=-+=∴∆=-≥≥则曲线在点的切线的斜率由题意知有解分
即分
（2）若函数31)(=-=x x x f 和可以在处取得极值，
22()32=013,3,3,9
8f x x ax b x x a b a b '=-+=-=≥==-则有两个解和且满足代入或由韦达定理，易得分
（3）由（2）得c x x x x f +--=93)(2
3
根据题意，
3232,
3239([2,6])8()39([2,6])
15
(6)54,(2)212()39([2,6])54,54.
14c x x x x g x x x x x g x g g g x x x x x c >--∈-=--∈-=-=-=-∴=--∈->恒成立分
函数(x)=3(x-3)(x+1),知g(x)在时有极大值且分
函数的最大值为所以分
21.解：由已知521++=+n S S n n ，可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+…………4分
当1n =时21215S S =++所以211
26a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+……5分
故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而11
21
n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比
数列；……6分
（II ）由（I ）知32
1n
n a =⨯-,因为2
12()n n f x a x a x a x =++
+所以
112()2n n f x a a x na x -'=++
+
从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-+
+⨯-
=()232222n n +⨯+
+⨯-()12n ++
+
令n n n T 2...2222⨯++⨯+=，21
4322...23222+⨯++⨯+⨯+=n n n T 错位相减得，()2211
+-=+n n n T
(),1(1)
(1)31262
n n n f n ++=-⋅-
+………………10分 由上()
()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()
21221n n --=
()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n
n n ⎡⎤--+⎣⎦①
当1n =时，①式=0所以2
2(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以2
2(1)2313f n n '<-
当3n ≥时，10n ->又由函数122+==x y y x
与可122+>n n
所以()()12210n
n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -……………………14分。