人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题提高题检测试题

人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题提高题检
测试题
一、选择题
1．若关于x ，y 的方程组()348
217x y mx m y +=⎧⎨+-=⎩
的解也是二元一次方程x －2y =1的解，则m
的值为( ) A ．
5
2
B ．
32
C ．
12
D ．1
2．把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式，正确的是（ ） A ．23x y =+
B ．3
2
y x +=
C ．23y x =-
D ．32y x =-
3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
32=19
423
x y x y +⎧⎨
+=⎩，在图2所示的算筹图所表示的方程组是（ ）
A ．2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．21
437x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．227
4311x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．211
4327y x y x +=⎧⎨+=⎩
4．《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是3219
423
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A ．2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．211
4327x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．3219
423x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．264327x y x y +=⎧⎨+=⎩
5．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（）
A．200 B．201 C．202 D．203
6．小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能
．．．剩下多少元？()
A．4 B．15 C．22 D．44
7．解方程组时，第一次消去未知数的最佳方法是( )
A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个
8．某工厂有工人35人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，则可以列方程组( )
A．
35
1624
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
B．
35
2416
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
C．
35
16224
x y
x y
+=
⎧
⎨
=⨯
⎩
D．
35
21624
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
9．方程组的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
10．以方程组
2
1
x y
y x
+=
⎧
⎨
=-
⎩
的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
11．商场购进A、B、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的
利润进行标价,其中商品C的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A、B 商品各两件,就免费获赠三件C商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.
那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.
12．若关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3
2x y =⎧⎨=⎩，则方程组
1112
225260
5260a x b y c a x b y c +-=⎧⎨
+-=⎩的解为__________． 13．如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，11BC =，7DE =，则图中阴影部分面积是____．
14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
15．已知a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位、个位上的数字，且a 、b 、c 满足（|a ﹣2|+|a ﹣4|）（|b |+|b ﹣3|）（|c ﹣1|+|c ﹣6|）＝60，则这个三位数的最大值为_____． 16．已知x m y n =⎧⎨
=⎩是方程组20
234x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解，则3m +n ＝_____． 17．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 18．有一水池，池底有泉水不断涌出.用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机，10时可以把水抽干.那么，用25台这样的抽水机__________小时可以把水抽干.
19．关于x ，y 的二元一次方程组5323
x y x y a +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数，试确定整数a 的值为
_________________.
20．定义一种新运算“※”，规定x ※y =2
ax by +，其中a 、b 为常数，且
1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．
三、解答题
21．某中学库存一批旧桌凳，准备修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务，经协商得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，乙小组每天比甲小组多修8套，甲小组每天修16套桌凳；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
（1）求甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需多少天．
（2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有下面三种修理方案供选择：
①由甲小组单独修理；②由乙小组单独修理；③由甲、乙两小组合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．
22．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,
ax by
T x
y a y
+=+（其中a ，b 是非零常数且
0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．
如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==
+，()24,22
am b
T m m +-=-． （1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）； （2）若()2,02T -=-且()5,16T -=． ①求a 与b 的值；
②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．
23．我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1，根据给出的“河图”的部分点图，可以得到：15
15
P ++=⎧⎨
++=⎩●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
如图2，已知33⨯框图中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和均为3，求
x y ，的值并在图3中填出剩余的数字．
24．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．
（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．
（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ． （3）若AM =BN ，MN =
4
3
BM ，求m 和n 值．
25．甲从A 地出发步行到B 地，乙同时从B 地步行出发至A 地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a 千米/小时，乙刚出发的速度为b 千米/小时．
（1）A 、B 两地的距离可以表示为
千米（用含a ，b 的代数式表示）； （2）甲从A 到B 所用的时间是： 小时（用含a ，b 的代数式表示）； 乙从B 到A 所用的时间是： 小时（用含a ，b 的代数式表示）．
（3）若当甲到达B 地后立刻按原路向A 返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB 两地的距离为多少？ 26．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m 3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
联立不含m 的方程求出x 与y 的值，进而求出m 的值即可． 【详解】 解：联立得：34821x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①
②，
①+②2⨯得：510x =， 解得：2x =， 把2x =代入①得：1
2
y =， 把2x =，12y =
代入得：1
2(21)72
m m +-=，
解得：52
m =． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
将x 看做常数移项求出y 即可得． 【详解】
由2x-y=3知2x-3=y ，即y=2x-3， 故选C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．
3．A
解析：A 【分析】
图2中，第一个方程x 的系数为2，y 的系数为1，相加为11；第二个方程x 的系数为4，y 的系数为3，相加为27，据此解答即可． 【详解】
解：图2所示的算筹图所表示的方程组是211
4327x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、明确图1表示方程组的方法是解题关键．
4．B
解析：B 【分析】
类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】
解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
211
4327x y x y +=⎧⎨
+=⎩
； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
5．A
【分析】
分别设做了竖式无盖纸盒x 个，横式无盖纸盒y 个，列二元一次方程组43{
2x y n
x y m
+=+=，把
两个方程的两边分别相加得5()m n x y +=+，易知m n +的值一定是5的倍数，本题即解答. 【详解】
解：设做成竖式无盖纸盒x 个，横式无盖纸盒y 个，根据题意列方程组得：
43{2x y n x y m
+=+=， 则两式相加得
5()m n x y +=+，
∵x 、y 都是正整数 ∴m n +一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数， ∴m n +的值可能是200. 故选A. 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出
5()m n x y +=+，是解答本题的关键.
6．C
解析：C 【分析】
设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，求出买三餐所剩的钱数，对四个选项分别讨论，得到买饮料、饼干的总钱数，列出关于,x y 二元一次方程，若这个方程有自然数解，则可能，反之，不可能. 【详解】
解：设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，,x y 为自然数， 买三餐还剩100-10-15-18=57元
A. 若剩4元，则 58574x y +=-，有整数解9,1x y ==；
B. 若剩15元，则 585715x y +=-，有整数解2,4x y ==；
C. 若剩22元，则 585722x y +=-，无整数解；
D. 若剩44元，则 585744x y +=-，有整数解1,1x y ==； 故选：C. 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出二元一次方程，把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.
7．C
【解析】
【分析】
根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.【详解】
解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键. 8．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，利用工厂有工人35人，每人每天生产螺栓16个或螺母24个，进而得出等式求出答案．
【详解】
设x人生产螺栓，y人生产螺母刚好配套，
据题意可得，
35 21624
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
.
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．9．A
解析：A
【解析】解：当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
①+②得：2x=14，即x=7，
②﹣①得：2y=﹣6，即y=﹣3，
则方程组的解为；
当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
①+②得：﹣2y=14，即y=﹣7＜0，不合题意，舍去，
把y=﹣7代入②得：x=﹣3，
此时方程组无解；
当x ＜0，y ＜0时，方程组变形得：，无解，
综上，方程组的解个数是1， 故选A
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．A
解析：A 【分析】
先根据代入消元法解方程组，然后判断即可； 【详解】
2
1x y y x +=⎧⎨
=-⎩
， 把1y x =-代入2x y +=中，得：12x x -+=，
解得：32
x =， ∴31122
y =-=， ∴点31,22⎛⎫
⎪⎝⎭
在第一象限． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组及象限与点的坐标，准确计算判断是解题的关键．
二、填空题
11．31800 【分析】
先求出商品的进价为50元．再设商品、的进价分别为元，元，表示出商品的标价为，商品的标价为元，根据“如果同时购买、商品各两件，就免费获赠三件商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五
解析：31800 【分析】
先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为
54
x ，商品B 的标价为7
5y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获
赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值．
【详解】
解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)． 设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5
(125%)4
x x +=
（元)，商品B 的标价为7
(140%)5
y y +=
（元)， 由题意，得5757
2()[2()380]0.754545
x y x y +=++⨯⨯，
∴5
736045
x y +=，
57
10011280()803602880045
x y x y ∴+=+=⨯=，
100112605031800x y ∴++⨯=（元)．
答：商场购进这三种商品一共花了31800元． 故答案为：31800． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．
12．【分析】
将解方程组变形为，依据题意得，求解即可． 【详解】
∵关于，的方程组的解为， 将解方程组变形为， ∴关于，的方程组的解为， 解得， 故答案为：． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法
解析：1856
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩ 【分析】
将解方程组变形为1112225163
5163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，依据题意得5
36123
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求解即可．
【详解】
∵关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩
， 将解方程组11122252605260a x b y c a x b y c +-=⎧⎨+-=⎩变形为1112225163516
3a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩， ∴关于x ，y 的方程组11122251635163a x b y c a x b y c ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩的解为536123
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得1856
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故答案为：1856
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，用到了换元法，体现了整体思想．
13．51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为、，
依题意得：
，即，
解得：，
，
，
解析：51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为x 、y ，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由DC DE EC =+可求得DC ，再根据6ABCD S S S =-⨯阴影小长方形，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ，
依题意得：
31127y x y x y +=⎧⎨+-=⎩，即3117x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解得：81x y =⎧⎨=⎩
， 818S ∴=⨯=小长方形，
729DC DE EC ∴=+=+=，
11BC =，
11999ABCD S BC DC ∴=⋅=⨯=，
6996851ABCD S S S ∴=-⨯=-⨯=阴影小长方形，
本题的答案为51.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，扣掉较容易求出的图形面积，可得解.
14．【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x ＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x ，y ，z 都是整数，
则10x+9y+6z ＝108，
∴x ＝1089610--y z ＝3(3632)10
--y z ， ∵0＜x ＜10，且为整数，
∴36﹣3y ﹣2z 是10的倍数，
即：36﹣3y ﹣2z ＝10或20或30，
当36﹣3y ﹣2z ＝10时，y ＝2623
-z ， ∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y ，z 都为整数，
∴26﹣2z ＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z ＝232（舍）或z ＝10或z ＝172（舍）或z ＝7或z ＝112（舍）或z ＝4或z ＝52
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
15．536
【分析】
由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1
解析：536
【分析】
由绝对值的性质可得|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，因为a、b、c是整数，且(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，分三种情况讨论：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c ﹣1|+|c﹣6|=5；③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10，求出a、b、c的值，即可得出最大三位数.
【详解】
∵|a﹣2|+|a﹣4|≥2，|b|+|b﹣3|≥3，|c﹣1|+|c﹣6|≥5，
∴(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)≥30.
∵a、b、c是整数，(|a﹣2|+|a﹣4|)(|b|+|b﹣3|)(|c﹣1|+|c﹣6|)=60，
∴有三种情况：①|a﹣2|+|a﹣4|=4，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5；
②|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=6，|c﹣1|+|c﹣6|=5；
③|a﹣2|+|a﹣4|=2，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=10.
∴要使三位数最大，首先要保证a尽可能大.
当|a﹣2|+|a﹣4|=4时，解得：a=1或a=5；
当|a﹣2|+|a﹣4|=2时，解得：2≤a≤4；
∴a=5.
当a=5时，|b|+|b﹣3|=3，|c﹣1|+|c﹣6|=5.
解得：0≤b≤3，1≤c≤6，
∴由a、b、c组成的最大三位数为536.
故答案为：536.
【点睛】
本题考查了三元一次方程、绝对值的意义以及绝对值方程；熟练掌握绝对值的几何意义，利用不等式和数轴解题是关键.
16．4
【分析】
将方程组的解代入得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可完成解答.
【详解】
解：把代入方程组得：，
①+②得：3m+n＝4，
故答案为4
【点睛】
本题考查了方程组的解
解析：4
【分析】
将方程组的解代入
20
234
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
得的新的二元一次方程，然后观察发现，运用作差法即可
完成解答.【详解】
解：把
x m
y n
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组得：
20
234
m n
m n
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①+②得：3m+n＝4，
故答案为4
【点睛】
本题考查了方程组的解的作用.将方程组的解代入方程组的解后，可以求出未知数，然后进行计算；但认真观察整体变换求得的结果，准确率更高.
17．【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 解析：3215
【解析】
【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可．
【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得： 82375%23275%x y a x y a （）（）-=⎧⎨-=⎩
解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（316a ×2332-a ）＝3215
（小时）． 故答案为
3215
． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 18．5
【解析】
【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，根据等量关系：用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机10时可以把水抽干，列出方程组
解析：5
【解析】
【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，根据等量关系：用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机10时可以把水抽干，列出方程组进行求解即可得.
【详解】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，由题意得
201020101510y x y x +=⨯⎧⎨+=⨯⎩
，
解得：
5
100 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，用25台这样的抽水机去抽水时，泉水每小时涌出量用5台抽水机去抽，剩下的就抽原有的泉水了，
100÷（25-5）=5（小时），
故答案为：5.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键，这里要注意的是泉水是不断涌出的.
19．7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．详解：
①-②×3，得
2x=2
解析：7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．
详解：
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①-②×3，得2x=23-3a
解得x=233
2
a
-
把x=233
2
a
-
代入②得y=
523
2
a-
∵关于x，y的二元一次方程组
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是正整数
∴233
2
a
-
＞0，
523
2
a-
＞0
解得2323 53
a
＜＜
即a=5、6、7
∵x、y为正整数
∴a为5或7.
故答案为：5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关
键是能根据题意得出关于a的方程．
20．11
【解析】
分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y ＝1时，ax＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.
详解：根据题意得，解得.
解析：11
【解析】
分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y＝1时，ax ＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.
详解：根据题意得
45
23
a b
a b
⎧
⎨
⎩
＋＝
＋＝
，解得
1
1
a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
.
当a＝1，b＝1时，x※y＝x＋y2.
所以2※3＝2＋32＝11.
故答案为11.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数为1时，可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则去运算.
三、解答题
21．（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱.
【分析】
(1)设甲小组单独修完需要x天，乙小组单独修完需要y天，根据“甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天”，以及桌凳总数不变，便可建立方程组进行解答；
(2)综合(1)所得求出这批旧桌凳的数目，然后求出三种方案的工作时间与实际花费，再进行比较即可.
【详解】
解：(1)设甲小组单独修理这批桌凳需要x天，乙小组单独修理这批桌凳需要y天．
根据题意，得
() 16168,
20.
x y
x y
⎧=+
⎨
-=
⎩
解得
60,
40. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需60天、40天．(2)这批旧桌凳的数目为60×16＝960(套)．
方案①：学校需付费用为60×(80＋10)＝5400(元)；
方案②：学校需付费用为40×(120＋10)＝5200(元)；
方案③：学校需付费用为()
96016168++×(120＋80＋10)＝5040(元)． 比较知，方案③既省时又省钱．
故答案为（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱.
【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，再求解.
22．（1）163a b +；（2）①11
a b =⎧⎨=-⎩；②53m = 【分析】
（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；
（2）①根据新运算规定和T （-2，0）=-2且T （5，-1）=6，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；
②把①中求得的a 、b 代入新运算，并对新运算进行化简，根据T （3m-10，m ）=T （m ，3m-10）得关于m 的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）224(1)16(4,1)413
a b a b T ⨯+⨯-+-==-； 故答案为：163
a b +； （2）①∵()2,02T -=-且()5,16T -=， ∴42,225 6.4
a a
b ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩ 解得：1,1.a b =⎧⎨=-⎩
②∵a=1，b=1-，且x+y≠0， ∴22
()()
(,)x y x y x y T x y x y x y x y -+-===-++．
∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-，
()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+
∵()()310,33,310T m m T m m --=--，
∴610610m m -=-+， 解得：53
m =
． 【点睛】
本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的
规定并能运用是解决本题的关键
23．
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，见解析．
【分析】
根据题中的和为3先列出二元一次方程组，解出x,y的值，之后再补全图3即可．【详解】
解：根据题意，得
2323 243 x y
x y y
++=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
解得：
1
1 x
y
=-⎧
⎨
=⎩
填出剩余的数字如图所示：
【点睛】
本题是材料阅读题，注意正确阅读材料理解题意，列出方程组，求解之后即可顺利完成本题．
24．（1）n-m；（2）①M是AN的中点，n=2m+3；②A是MN中点，n=-m-6；③N是AM
的中点，
13
22
=-
n m；（3）
4
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
2
m
n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
或
9
5
1
5
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
．
【解析】
【分析】
（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M是A、N的中点，n=2m+3；②当A点在M、N点中点时，n=
﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，n
3
2
m -+ =；
（3）由已知可得|m+3|=|n﹣1|，n﹣m
4
3
=|m+3|，分情况求解即可．
【详解】
（1）MN=n﹣m．故答案为：n﹣m；
（2）分三种情况讨论：
①M 是A 、N 的中点，
∴n +(-3)=2m ，
∴n =2m +3；
②A 是M 、N 点中点时，m +n =-3×2，
∴n =﹣6﹣m ；
③N 是M 、A 的中点时，-3+m =2n ，
∴n 3
2
m -+=；
（3）∵AM =BN ，
∴|m +3|=|n ﹣1|．
∵MN 43=BM ， ∴n ﹣m 43=
|m +3|， ∴3133412m n n m m +=-⎧⎨-=+⎩或3133412m n n m m +=-⎧⎨-=--⎩或3133412m n n m m +=-+⎧⎨-=+⎩
或3133412m n n m m +=-+⎧⎨-=--⎩
， ∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或35m n =⎧⎨=-⎩． ∵n ＞m ，
∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．
【点睛】
本题考查了列代数式，解二元一次方程组以及数轴上两点间的距离公式，解答本题的关键是：（1）根据两点间的距离公式求出线段AB的长；（2）分三种情况讨论；（3）分四种情况讨论．解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是关键．
25．（1）2（a+b）；（2）（2+
2
1
b
a+
）；（2+
2
1
a
b+
）；（3）36.
【分析】
（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】
（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需
2
1
b
a+
小时到达B地，乙还需
2
1
a
b+
小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+
2
1
b
a+
）小时，乙从B到A所用的时间为（2+
2
1
a
b+
）
小时．
故答案为：（2+
2
1
b
a+
）；（2+
2
1
a
b+
）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝18
5
小时．
依题意，得：
2()
18
2(11)
5
S a b
S a b
=+
⎧
⎪
⎨
=+++
⎪⎩
，
令x＝a+b，则原方程变形为
2
18
2(2)
5
S x
S x
=
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，
解得：
18
36 x
S
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】
本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26．（1）甲乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；（2）应选择1辆甲型挖掘机和6辆乙
型挖掘机，支付最少为820元
【解析】
分析：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m 3；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
详解：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．依题意得：
86080540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 53x y =⎧⎨=⎩
． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机．依题意得：
60m +80n =540，化简得：3m +4n =27，∴m =9﹣43n ，∴方程的解为53m n =⎧⎨=⎩或16m n =⎧⎨=⎩． 当m =5，n =3时，支付租金：100×5+120×3=860元
当m =1，n =6时，支付租金：100×1+120×6=820元．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．。