高考数学一轮复习第6章 第1节 数列的概念与简单表示法

全国卷五年考情图解高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般命制2道小题或者1
道解答题，分值占10～12分．
2．考查内容
(1)高考对小题的考查一般以等差、等比
数列的基本量运算，等差、等比数列的
性质为主．
(2)解答题一般以数列递推关系为载体，
考查数列通项公式的求法，等差、等比
数列的证明，数列求和的方法等.
数列的概念与简单表示法
[考试要求]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限
按项与项递增数列a n
＋1
＞a n其中n∈N*
间的大小 关系分类 递减数列 a n ＋1＜a n 常数列
a n ＋1＝a n
3．数列的通项公式
如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
5．a n 与S n 的关系
若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S1，n ＝1，
Sn －Sn －1，n≥2.
特别地，若a 1满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，则不需要分段．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( ) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式．( )
(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，那么对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生
1．数列－1，12，－13，14，－1
5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝±1
n
B ．a n ＝(－1)n
·1
n
C ．a n ＝(－1)
n ＋1
1
n
D ．a n ＝1
n
B [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]
2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1
an
，则a 3＝( )
A ．－3
B ．2
3
C ．5
D ．4
5
D [a 2＝1－
1
a1＝5，a 3＝1－1
a2＝1－1
5＝4
5
.] 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. ⎩⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，
2n －1，n≥2，n∈N* [当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.
当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， 故a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，2n －1，n≥2，n∈N*.
]
4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.
5n －4 [由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n
－ 4.]
考点一 由a n 与S n 的关系求通项公式
已知S n 求a n 的三个步骤
(1)利用a 1＝S 1求出a 1.
(2)当n ≥2时，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．
(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S1，n ＝1，
Sn －Sn －1，n≥2.
[典例1] (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.
(1)4n －5
(2)⎩
⎪⎨⎪
⎧
2，n ＝1，2n －1
n ，n≥2 [(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时， a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①
故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得na n ＝2n
－2
n －1
＝2n －1，∴a n ＝
2n －1
n
(n ≥2)． 显然当n ＝1时不满足上式，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，2n －1
n
，n≥2.]
点评：S n 与a n 关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式．
(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．
提醒：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误．
[跟进训练]
已知正项数列{a n }中，a1＋
a2＋…＋
an ＝错误!，则数列{a n }的通项公式为
( )
A ．a n ＝n
B ．a n ＝n 2
C ．a n ＝n
2
D ．a n ＝n2
2
B [∵a1＋
a2＋…＋
an ＝错误!， ∴
a1＋a2＋…＋an －1＝错误!(n ≥2)，
两式相减得an ＝错误!－错误!＝n (n ≥2)，
∴a n ＝n 2(n ≥2)，① 又当n ＝1时，
a1＝1×22
＝1，a 1＝1，适合①式，
∴a n ＝n 2，n ∈N *.故选B.]
考点二 由递推关系求通项公式
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[典例2] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1
n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为
________．
(3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
(1)a n ＝n2＋n 2 (2)a n ＝1n (3)a n ＝2·3n －1－1 [(1)由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝
3，…，
∴a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得
a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝错误!＝错误!. ∵a 1＝1，∴a n ＝n2＋n
2(n ≥2)．
∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n2＋n
2.
(2)∵a n ＝n －1
n
a n －1(n ≥2)，
∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝1
2a 1.
以上(n －1)个式子相乘得， a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a1n ＝1
n .
当n ＝1时，a 1＝1，符合上式， ∴a n ＝1
n
. (3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴an ＋1＋1an ＋1
＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.]
点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解，但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出，而构造法可结合等差(比)数列的定义求解．
[跟进训练]
1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2an
an ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝
________.
2n
[∵a n ＋1＝2an
an ＋2
，a 1＝2，∴a n ≠0，
∴1an ＋1＝1an ＋12，即1an ＋1－1an ＝1
2， 又a 1＝2，则1
a1＝1
2
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1an 是以12为首项，12为公差的等差数列．
∴1
an ＝1
a1＋(n －1)×1
2＝n
2，∴a n ＝2
n
.]
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －12·2n [∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，∴两边同除以2n ＋1
，得an ＋12n ＋1＝an 2n ＋1. 又a 1＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫an 2n 是以首项为12，公差为1的等差数列，
∴an
2n ＝1
2＋(n －1)×1＝n －1
2.
即a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫n －12·2n .]
考点三 数列的性质
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探
求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性判断． (2)利用不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
an≥an－1
an≥an＋1⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
或⎩⎪⎨⎪⎧
an≤an－1an≤an＋1求出n 的值，进而求得a n 的最值．
[典例3] (1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝
1
1－an ，若a 1＝1
2，则a 2 020＝( )
A ．－1
B ．12
C ．1
D ．2
(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫23n ，则数列{a n }中的最大项为( )
A.89
B.2
3 C.6481
D.125243 (3)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是________．
(1)B (2)A (3) (－3，＋∞) [(1)由a 1＝1
2，a n ＋1＝1
1－an ，得a 2＝1
1－a1＝2，
a 3＝1
1－a2＝－1，a 4＝1
1－a3＝12，a 5＝1
1－a4
＝2，…，
于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 020＝a 3×673＋1＝a 1＝1
2.
(2)法一：(作差比较法)
a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n
， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3， 且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫232＝8
9.故选A.
法二：(作商比较法) an ＋1an
＝错误!＝错误!错误!，
令an ＋1an >1，解得n <2；
令an ＋1an ＝1，解得n ＝2；
令an ＋1an
<1，解得n >2.
又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，
且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＝89
.故选A. (3)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列，
又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，
∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4，
即k ＞－1－2n ，又n ∈N *，
∴k ＞－3.]
点评：(1)当待求的特定项a m 中m 较大时，常考虑数列的周期性．
(2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数列是离散的，故本例(3)在求参数k 的范围时务必要小心．
[跟进训练]
1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫910n ，那么在此数列中( )
A ．a 7＝a 8最大
B ．a 8＝a 9最大
C ．有唯一项a 8最大
D ．有唯一项a 7最大
A [∵an ＋1an ＝n ＋3n ＋2×910
， 令an ＋1an
≥1，即错误!≥1，解得n ≤7. ∴当n ≤7时，数列{a n }递增，当n ＞7时，数列{a n }递减，
即a 1＜a 2＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…
所以a 7＝a 8最大，故选A.]
2．(2020·雅礼中学模拟)在数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n －1，若{a n }为递增数列，则a 的取值范围为( )
A ．a ＞0
B ．a ＞1
C ．a ＞2
D ．a ＞3
B [∵a n ＋1＝2a n －1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴an ＋1－1an －1
＝2， 又∵a 1－1＝a －1，∴数列{a n －1}是首项为a －1，公比为2的等比数列，∴a n －1＝(a －1)2n －1，
∴a n ＝(a －1)2n －1＋1，又∵{a n }为递增数列，
∴a n ＋1－a n ＝(a －1)2n －(a －1)2n －1＝12
(a －1)2n ＞0， ∴a －1＞0，∴a ＞1，故选B.]。