试题君之K三关2018学年高二理数人教A版选修2-2第1.1节 含解析

导数及其应用
1.1变化率与导数
1．平均变化率
设函数()y f x =，我们把式子_________称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示
21x x -，即21x x x ∆=-.函数()y f x =的变化量是21()()y f x f x ∆=-，于是，平均变化率可以表示为
y
x
∆∆.其几何意义是函数()y f x =图象上的两点1122(,()),(,())A x f x B x f x 所在直线的_________. 注意：x ∆是一个整体符号，而不是∆与相乘.
2．瞬时速度
物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体的运动规律为
()s s t =，则该物体在时刻的瞬时速度就是物体在到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，_____
无限趋近的常数.
3．导数的概念
一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函
数()y f x =在0x x =处的导数，记作_________，即00000()()()lim lim x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'==∆∆.
注意：x ∆不可以是0.
4．导数的几何意义
函数()y f x =在0x x =处的导数，就是曲线()y f x =在0x x =处的切线的_________，即
0000
()()
()lim
x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆.
5．导函数
对于函数()y f x =，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数.这样，当变化时，_______便是一个关于的函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）.()y f x =的导函数有时也记作______，即
0()()
()l i m x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆. 注意：函数()y f x =在0x x =处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，它们之
间的关系是：函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是导函数()f x '在0x x =处的函数值.
K 知识参考答案：
1．
2121
()()
f
x
f x x x -- 斜率 2．s t ∆∆
3．0()f x '或0|x x y =' 4．斜率 5．()f x ' y '
K —重点 平均变化率的概念、导数的概念、导数的几何意义、导函数 K —难点 导数的几何意义
K —易错 （1）运用定义求导数时容易忽略增量的一致性；
（2）求切线方程时，错把所给点当做切点，或者混淆“某点处”和“过某点”
一、求平均变化率
求函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的三个步骤： （1）求出或者设出自变量的改变量：21x x x ∆=-；
（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量：21()()y f x f x ∆=-； （3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即
2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-. 【例1】求函数2
y x =在123x =,,附近的平均变化率，取x ∆都为1
3
，在哪一点附近的平均变化率最大？
【解析】在1x =附近的平均变化率为21(1)1
2x k x x +∆-=
=+∆∆；在2x =附近的平均变化率为222(2)24x k x x +∆-==+∆∆；在3x =附近的平均变化率为22
3(3)36x k x x
+∆-==+∆∆.
若13x ∆=
，则117233k =+=，2113433k =+=，3119633
k =+=，
由于123k k k <<，所以在3x =附近的平均变化率最大.
【名师点睛】由求平均变化率的步骤可知，找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键.
二、求函数在某点处的导数
1．求函数()f x 在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． 2．利用定义求函数()y f x =在0x x =处的导数的两个注意点： （1）在求平均变化率
y x ∆∆时，要注意对y x ∆∆的变形与约分，变形不彻底可能导致0lim x y x
∆→∆∆不存在．
（2）当对
y x ∆∆取极限时，一定要把y
x
∆∆变形到当0x ∆→时，分母是一个非零常数的形式． 【例2】求函数2()3f x x ax b =++在1x =处的导数.
【解析】∵22()[()()]()(1(1)313)13()6y f x f x a x b a b x a x ∆=+∆-=+∆++∆+++=∆++∆－，
∴23()636()x a x
x a y x x
∆++∆∆=∆∆+=+∆. 由00
36lim
lim()6x x y
x a a x ∆→∆→∆++∆==+∆，得(1)6f a '=+.
【名师点睛】极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限.
【例3】有一作直线运动的物体，其位移与时间的关系是2
3s t t =-，求此物体在2t =时的瞬时速度.
【解析】物体在2t =到2t t =+∆时间内，位移的改变量为22322322()()()s t t t ∆∆=+∆⨯-+-=-∆-
2()t -∆.
则该时间段内的平均速度为1s
v t t
∆==--∆∆， 当0t ∆→时，
1s
t
∆→-∆. 故此物体在2t =时的瞬时速度为1-.
【名师点睛】（1）求瞬时速度应先求平均速度s v t
∆=
∆，再用公式0lim t s v t ∆→∆=∆求得瞬时速度.
（2）如果物体的运动方程是()s s t =，那么函数()s s t =在0t t =处的导数就是物体在0t t =时的瞬时速度.
三、求曲线的切线
1．如果所给点00()P x y ，就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数()f x 在点0x x =处
的导数0()f x '，即得切线的斜率0()k f x ='，再根据点斜式写出切线方程.
2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点00()M x y ，，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上. 【例4】已知曲线31433
C y x =
+：. （1）求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？
【解析】（1）将2x =代入曲线C 的方程，得4y =，则切点的坐标为(2)4,.
33220001414(2)213333|lim l [42]im lim ()3
4x x x x x y y x x x x ∆→∆→∆→+∆+-⨯-
∆===∆+∆∆∆'+⋅=＝， 则2|4x k y ='=＝.
故曲线C 在点(2)4,处的切线方程为(42)4y x -=-，即440x y --=.
（2）由3441433y x y x -⎧==+⎪⎨⎪⎩
得2
()(20)28x x x -+-=，解得12x =，24x =-.
从而求得公共点为(2)4,，(42)0--，.
即切线与曲线C 的公共点除切点外，还有其他的公共点.
【名师点睛】解答第（1）小题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线的点斜式方程写出切线方程；解答第（2）小题，可把（1）中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的解. 注意：导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率.
四、忽略增量的一致性
【例5】设函数()f x 在1x =处可导，则0
(1)(1)
lim 2x f x f x
∆→+∆--∆等于
A ．(1)f '
B ．1
(1)2
f '- C ．2(1)f '- D ．(1)f '- 【错解】0
(1)(1)
lim
(1)2x f x f f x
∆→+∆-'=-∆，故选A .
【错因分析】本题分子中的增量是(1)1x x +∆-=∆，而分母中的增量是2x -∆，两者的增量不一致. 【正解】函数()f x 在1x =处可导，所以0
0(1)(1)(1)(1)
(1)lim
2lim 2x x f x f f x f f x x
∆→∆→+∆-+∆-'==-∆-∆，所以
(1)(1)1
lim
(1)22
x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．故选B .
【名师点睛】在导数的概念中，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致.
五、求切线方程时混淆“某点处”和“过某点”
【例6】求过点()1,0-，且与曲线2()1f x x x =++相切的直线方程．
【错解】因为220()()1(1)
()lim
21x x x x x x x f x x x
∆→+∆++∆+-++'==+∆， 所以(1)2(1)11f '-=⨯-+=-，则切线方程为0(1)y x -=-+，即10x y ++=.
【错因分析】点()1,0-不在曲线2()1f x x x =++上，而错解中把它当做曲线上的切点求解，从而致错. 【正解】点()1,0-不在曲线上，设切点坐标为00()x y ，.
因为220()()1(1)
()lim
21x x x x x x x f x x x ∆→+∆++∆+-++'==+∆，所以切线斜率为000211
y k x x =+=+. 又2
0001y x x =++，所以00x =或02x =-.
当00x =时，切线斜率为1k =，则过点()1,0-的切线方程为01y x -=+，即10x y -+=； 当02x =-时，切线斜率为3k =-，则过点()1,0-的切线方程为03(1)y x -=-+，即330x y ++=. 故所求切线方程为10x y -+=或330x y ++=.
【名师点睛】求关于曲线()y f x =的切线方程时，一定要弄清楚是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程，前者可以直接利用直线的点斜式方程求解，后者则需要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解.
1．在平均变化率的定义中，自变量在0x 处的增量x ∆应满足 A ．0>∆x B ．0<∆x C ．0=∆x D ．0≠∆x
2．某物体的位移公式为()s s t =，从0t 到0t t +∆这段时间内，下列理解正确的是 A ．00()t t t ∆+-称为函数值增量 B ．0t 称为函数值增量
C ．00()()s s t t s t ∆∆=+-称为函数值增量
D ．
s
t
∆∆称为函数值增量 3．如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f +'=
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．0
4．已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则y
x
∆∆等于 A ．4 B ．42x +∆ C ．4x +∆ D ．24()x x ∆+∆ 5．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是
A ．甲
B ．乙
C ．相同
D ．不确定
6．已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为 ． 7．设函数()f x 满足0
(1)(1)
lim
1x f f x x
→-+=-错误！未找到引用源。

，则(1)f '=_______.
8．已知曲线2()21y f x x ==+在点M 处的瞬时变化率为4-，则点M 的坐标为________.
9．曲线2
()f x x
=
错误！未找到引用源。

在点(21)--，
处的切线方程为_______. 错误！未找到引用源。

10．已知21()2
s t gt =错误！未找到引用源。

，其中g ＝10 m/s 2
.
（1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度；
（3）求t ＝3秒时的瞬时速度.
11．已知21lim (
)213x ax x x
→+∞
-+=-，则a = A ．1 B ．2 C ．3 D ．6
12．已知曲线2()y f x x ==错误！未找到引用源。

在点P 错误！未找到引用源。

处的切线斜率为错误！未找到引用源。

，则当2k =错误！未找到引用源。

时，点P 错误！未找到引用源。

的坐标为
A ．(28)--，
B ．(11)--，
C ．(1
)1， D ．1
1()28
--， 13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为120
()155
T t t =
++，其中()T t （单位：°C ）为蜥蜴的体温，t （单位：min ）为太阳落山后的时间.
（1）从0t =到10t =，蜥蜴的体温下降了多少?
（2）从0t =到10t =，蜥蜴体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义? （3）求'(5)T ，并解释它的实际意义.
14．设函数1
()(,)f x ax a b x b
=+∈+Z 错误！未找到引用源。

，曲线()y f x =在点(2)(2)f ，处的切线方程为3y =.
（1）求函数()f x 在0x x =处的导数； （2）求函数()f x 的解析式；
（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
15．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则
a =______.
16．（2018广东理科）曲线3
3y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.
1．D 【解析】在平均变化率的定义中，自变量在0x 处的增量x ∆要求0≠∆x . 2．C 【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C 正确. 3．C 【解析】易知(5)583f =-+=.由导数的几何意义知(5)1f '=-. 故(5)(5)312f f +'=-=.
4．B 【解析】因为2()21f x x =-，所以22
(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =，
则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故应选B ． 5．B 【解析】在t 0处，1020()()W t W t =，但1020()()W t t W t t -∆<-∆，
则22101000()()()()
|
|||W t W t t W t W t t t t
--<-∆-∆∆∆，
所以，在相同时间t ∆内，甲厂比乙厂的平均治污率小，即乙厂的治污效果较好.故选B. 6．2 【解析】由平均变化率的定义得
(2)(0)51
2.202
f f --==-
7．1 【解析】由题意可得0(1)(1)
(1)lim
1x f x f f x
→+-'==错误！未找到引用源。

.
8．(1
3)-， 【解析】当0x ∆→时，0000(Δ)()
244Δf x x f x x x x x
+-=∆+→错误！未找到引用源。

，由044x =-，得01x =-，所以点M 的坐标是(13)-，. 9．240x y ++= 【解析】点(21)--，
在曲线2
()f x x
=上. 因为0002
(1)
(2)(2)11
2(2)lim lim lim 22
x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→---+∆---+∆'-====-∆∆-+∆，
所以切线方程为1
1(2)2
y x +=-+，即240x y ++=.
10．【解析】（1） 3.130.1(s)t ∆=-=错误！未找到引用源。

，
2211
(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22
s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=，
则1 3.0530.5(m /s)0.1
s v t ∆===∆. （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=，2211
(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22
s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.3005
30.05(m /s)0.1
s v t ∆=
==∆. 错误！未找到引用源。

（3）由瞬时速度的定义，可知
222111
(3)(3)(3)33()222
s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=
+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t s v g t
∆→∆===∆瞬时错误！未找到引用源。

.
11．D 【解析】原式=2
2251
23(1)(1)(5)1
lim
lim lim 233(1)3333x x x a a x ax x ax a x a x x x x x x
x
→+∞→+∞→+∞-+
+⨯+--+-+====---， 解得6a =.故选D ．
12．C 【解析】设点P 的坐标为00()x y ，，则22
0000000()()()()lim lim
x x f x x f x x x x k f x x x
∆→∆→+∆-+∆-=='=∆∆
000
lim 22()x x x x ∆→=∆+⋅=错误！未找到引用源。

，即022x =，则01x =，此时220011y x ===错误！
未找到引用源。

，故点P 的坐标为(1
)1，.故选C. 13．【解析】（1）120120
(10)(0)15(15)1610505
T T -=
+-+=-++， 即从0t =到10t =，蜥蜴的体温下降了16 °C. （2）从0t =到10t =，蜥蜴的体温的平均变化率是
(10)(0)16
1.610010
T T --==--（°C/min ），
它表示从0t =到10t =这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 °
C. （3）120120
15(15)
(5Δ)(5)125Δ555ΔΔ10ΔT t T t t t t
+-++-+++==-
+错误！未找到引用源。

， 当Δt 趋近于0时，12
10Δt
-+趋近于 1.2-，即'(5) 1.2T =-，
它表示5t =时，蜥蜴体温下降的速度为1.2 °C/min. 14．【解析】（1）设0001
()P x ax x b
+
+，错误！未找到引用源。

为函数()y f x =上任意一点， 则000000000011
()()()()lim
lim lim
x x x a x x ax f x x f x x x b x b y
f x x x
x
∆→∆→∆→+∆+
--
+∆-+∆++∆'===∆∆∆
0020
0000()()11lim
lim[]()()()
x x x
a x x x
b x b a a x x x b x b x b ∆→∆→-∆∆++∆++-==+=-∆+∆+++. （2）由曲线()y f x =在点(2)(2)f ，处的切线方程为3y =，得(2)0
(2)3f 'f =⎧⎨
=⎩
，又由（1）可知
0201()()f x a x b '=-+错误！未找到引用源。

，于是210(2)1232a b a b ⎧
-=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩
错误！未找到引用源。

，解得11a b =⎧⎨
=-⎩或94
83a b ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 因为a ，b ∈Z ，所以1
()1
f x x x =+
-错误！未找到引用源。

.
（3）在曲线上任取一点0001()1
x x x +-，. 由02
01()1(1)f x x '=--错误！未找到引用源。

知，过此点的切线方程为20002
0011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----. 错误！未找到引用源。

令1x =得0011
x y x +=-错误！未找到引用源。

，则切线与直线1x =的交点为001(1)1
x x +-，错误！未找到引用源。

. 令x y =得021y x =-，则切线与直线y x =的交点为00(21
2)1x x --，. 又直线1x =与直线y x =的交点为(1
)1，， 从而所围三角形的面积为000001112|1||211||22|22121
x x x x x +-⋅--=|⋅|-=--错误！未找到引用源。

. 所以，所围成的三角形的面积为定值2.
15．1 【解析】因为3332200()()11()33()()lim lim x x a x x x x ax x a x ax x ax x x f x x x
∆→∆→+∆++∆+---∆+∆+∆+∆'==∆∆ 2220
lim[()331]31x a x ax ax x ax ∆→=∆++∆+=+，所以(1)31f a '=+，即曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为31k a =+，又(1)2f a =+，所以切线方程为(2)(31)(1)y a a x -+=+-，因为点(2,7)在切线上，所以7(2)31a a -+=+，解得1a =.
16．210x y -+= 【解析】因为323
(1)(1)3323()()y x x x x x ∆=+∆-+∆+-=∆+∆+∆， 所以23
223()()23()y x x x x x x x
∆∆+∆+∆==+∆+∆∆∆， 所以曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线斜率为2
0lim[23()]2x k x x ∆→=+∆+∆=， 则切线方程为32(1)y x -=-，即210x y -+=.。