福建省永安市第三中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

永安三中2019—2020学年第二学期普通高中期中考试
高一数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上. 1. 等差数列{n a }中，2a =2，12a =12，则410a a +=（ ） A. 10 B. 14 C. 28 D. 60
B
利用等差数列的下标和性质可直接得到答案.
因为数列{n a }是等差数列，所以24121021214a a a a =+=+=+故选：B 本题考查的是等差数列的性质，较简单.
2. 已知cosα=－
3
，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin2α的值等于（ ）
A. 3
B.
13
C. －
3
D. 13
-
C
由题意结合同角三角函数的平方关系可得sin 3
α=
，再由二倍角的正弦公式即可得解.
cos 3
α=-
，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
∴sin α===
∴sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭
.故选：C. 本题考查了同角三角函数的平方关系、二倍角的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
3. 下列结论正确的是（ ） A. 若ac bc >，则a b > B. 若22a b >，则a b >
C. 若,,a b c d >> 则ac bd >
D. 若0a b >>，则2
a b
a b +>
>> D
利用不等式的性质和基本不等式逐一判断即可.
若ac bc >，0c >，则a b >，若ac bc >，0c <，则a b <，故A 错误；
22a b >推不出a b >，如3,1a b =-=-，故B 错误；
若1,2,1,3,,a b c d a b c d =-=-=-=->>， 但ac bd <，故C 错误 若0a b >>，则222
a a a b
a a
b b b ++=
>>>=，故D 正确故选：D 本题考查的是不等式的性质和对基本不等式的理解，较简单. 4. 计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于 A. 1
2
B.
3 C.
2 D.
3 A
sin43°cos13°-cos43°sin13° =sin(43°-13°) =sin30° =.
5. 设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
D
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知， 当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大，
由211x y x y +=⎧⎨+=⎩
得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5故选
D
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等比数列，∠B ＝30°，
ABC 的面积为3
2，那么b ＝（ ）
A. 6
B. 13
C. 6
D. 6
A
由a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =,由ABC 的面积为3
2
，可得6ac =，从而得到答案. 由a ，b ，c 成等比数列，则2b ac = 又∠B ＝30°，ABC 的面积为32
， 所以11113
sin sin 3022222
ABC
S
ac B ac ac ==︒=⨯=,得6ac = 由26b ac ==，得6b 故选：A
本题考查等比中项的应用和三角形面积公式的应用，属于基础题. 7. 设数列{}n a 的前n 项和(1)
2
n n n S +=，则5a = A .
3 B. 4
C. 5
D. 6
C
分析】
试题分析：由数列的前n 项和(1)
2
n n n S +=及等差数列的性质得该数列是自然数列1,2,3,4，······，
n 故选C ．
考点：等差数列及前n 项和公式
8. 在ABC 中，a =，b =30A ∠=︒，则c 等于（ ）
A. C. C
直接利用余弦定理可解出答案.
因为在ABC 中，a =b =30A ∠=︒，
所以由余弦定理可得222
cos
2b c a A bc +-=2=
所以
2100c -+=，解得c = C 本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单. 9. 等比数列{}n a 中，6969a a ==，，则3a 等于（ ） A. 3 B.
32
C.
169
D. 4
D
由题得2
639,a a a =⨯把已知代入化简即得解. 由题得2
6393,369a a a a =⨯∴=，
所以34a =.故选：D.
本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 设1111122334(1)n S n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+，且78
n S =，则n 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
试题分析：利用裂项求和得17
1718
n S n n =-=∴=+选D ． 考点：裂项求和
11. 若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭，则a b -=（ ）
A. 4-
B. 14
C. 10-
D. 10
C
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11
,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而
得出-a b 的值.
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11
,23-
由根与系数的关系可知，11112
,2323b a a -+=--⨯=
解得12,2a b =-=-
即12210a b -=-+=-故选：C
本题主要考查了根据一元二次不等式的
解集求参数的值，属于中档题.
12. 如图，设点,A B 在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ．测出,A C 两点间的距离为50m ．45,105ACB CAB ︒︒∠=∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）m ．
A. 2
2
B. 252
C. 502
D. 503C
先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理
sin sin AB AC
ACB ABC
=∠∠求解.
ABC 中,50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=， 则30ABC ︒∠= 由正弦定理得
sin sin AB AC
ACB ABC
=∠∠ ，
所以2
50sin 25021sin 2
AC ACB
AB ABC
⨯∠=
=
=∠ m.故选：C.
本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，属基础题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 已知△ABC 的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且
，则角
A =_______． 45
试题分析：由余弦定理得02
cos 4522322
A A ===⨯⨯ 考点：余弦定理．
14. 数列{}n a 中，12a =，12n n a a n -=+，()1n >，则20a =________ 420
由题意结合累加法、等差数列前n 项和可得()1n a n n =+，即可得解. 因为12a =，12n n a a n -=+，()1n >，所以12n n a a n --=，()1n >， 所以当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-
()22246212
n
n n n n +=+++⋅⋅⋅+=
⋅=+， 又1212a ==⨯，所以()1n a n n =+， 所以202021420a =⨯=. 故答案为：420.
本题考查了累加法求数列通项的应用，考查了等差数列前n 项和的应用，属于基础题. 15. 关于x 的不等式220x ax -+>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_______.
(2,22)-
根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 因为关于x 的不等式220x ax -+>的解集为R ， 所以有一元二次方程220x ax -+=的判别式小于零，
即22()42108a a a ∆=--⨯⨯<⇒<⇒-<<
故答案为：(-
本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力. 16. 下列结论中：
①函数sin ()y x x x R =+∈最小正周期为π
②当02x <≤时，1
x x -的最大值为32
；
③22
11,0a b ab a b
>>⇒
<； ④不等式221
x
x 的解集为()()1,01,-⋃+∞
正确的序号有__________. ②④
结合辅助角公式、三角函数的性质可判断①；由函数1
y x x
=-的单调性可判断②；举出反例可
判断③；由分式不等式的解法可将原不等式转化为()()110x x x -+>，再由穿根法即可判断④；即可得解.
对于①，函数sin 2sin 3y x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππω=
=，故①错误；
对于②，当(]0,2x ∈时，函数1
y x x =-单调递增，所以max 113222x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝
⎭，故②正确；
对于③，当2a =-，1b =-时，满足22a b >，0ab >，但此时112a =-，1
1b =-，11a b
>，故③错误； 对于④，1
20
101
1
2
1
x x x x x x
x x ，解得1x >或10x -<<，所以不等式
221
x
x 的解集为()()1,01,-⋃+∞，故④正确.
故答案为：②④.
本题考查了辅助角公式及三角函数性质的应用，考查了函数单调性的应用及分式不等式的求解，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卷相应题目的答题区域内作答.
17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32a =，615S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（1）；（2）．
试题分析：（1）设出等差数列的首项和公差，利用方程思想进行求解；（2）先求出数列{}n b 的通项，且判定该数列为等比数列，再利用等比数列的前项和公式进行求解． 试题解析：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等差数列，设其公差为， 由题设可得 解得
所以
． （Ⅱ）由（Ⅰ），所以
， 可知数列是首项为1，公比为2的等比数列，
因此
．
考点：1.
等差数列；2.等比数列．
18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，且c =3，60C =. （1）若6a =A ； （2）若2a b =，求△ABC 的面积. （1）45A =；（2）33
ABC S =
△ （1）由正弦定理求得sin A ，由于a c <可得A 为锐角，确定A 值； （2）由余弦定理求得b ，再由三角形面积公式得面积． （1）
6a =60C =，3c =
由正弦定理：sin sin a c
A C
= ∴sin 602
sin a C A c =
==
a c <，∴A C <，∴45A =
（2）由余弦定理：222-2cos c a b ab C =+，
2a b =将代入上式：22029(2)22cos 603b b b b b =+-⨯⋅=
∴b =0b >b ∴=
21133
sin 2sin 60222
ABC S ab C b =
=⨯=
△． 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，本题根据正弦定理与余弦定理直接求解即可，掌握正弦定理、余弦定理是解题基础．
19. 已知函数()()22
1.y mx m x m m R =-++∈
（1）当2m =时，解关于x 的不等式0y ≤； （2）当0m >时，解关于x 的不等式0y >.
（1）122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）当01m <<时，不等式的解集为()1,m,m ∞∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；当1m =时，不
等式解集为{|1}x x ≠；当1m >时，不等式的解集为()1,m,m ∞∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝
⎭. （1）利用因式分解法，结合二次函数的图象和性质即可求得不等式的解集；
（2）利用十字叉乘法分解因式后，根据函数的零点的大小关系对m 的不同取值（范围）分类讨论，在各种不同情况下求得不等式的解集.
（1）当2m =时，不等式0y ≤可化为22520x x -+≤，即()()2120x x --≤，解得
1
22
x ≤≤， 所以不等式0y ≤的解集为122x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
.
（2）当0m >时，不等式可化为()22
10mx m x m -++>，
即2
110x m x m ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭，则()1 0x m x m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭
，
当01m <<时，
1m m >，则不等式的解集为()1,m ,m ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭
； 当1m =时，不等式化为()2
10x ->， 此时不等式解集为{|1}x x ≠； 当1m >时，10m m <
<，则不等式的解集为()1,m,m ∞∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝
⎭.
本题考查不含参数和含有参数一元二次不等式的解法，关键在于（2）中根据函数零点的大小关系对实数m 进行分类讨论，属中档题，难度一般. 20. 已知数列{}n a 中，318,2n n a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
（1）2n
n a =；（2）1
(1)2
n S n n =
+ （1）由题意结合等比数列的定义可得数列{}n a 为等比数列，求出1a 、q 后，由等比数列的通项公式即可得解；
（2）由题意n b n =，由等差数列的前n 项和公式即可得解. （1）因为在数列{}n a 中，38a =，12n n a a +=， 所以3128
224
a a =
==， 所以数列{}n a 是首项为2，公比q 为2的等比数列，
所以112n n
n a q a -=⋅=；
（2）由（1）知2n
n a =，∴22log log 2n n n b a n ===，
∴121
12(1)2
n n S b b b n n n =+++=++
+=
+. 本题考查了等比数列的判断与通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
21. 在ABC 中，a b c 、、分别为角、、A B C 2sin b C =. （1）试确定角B 的大小；
（2）若ABC
为锐角三角形，b =a c +的最大值. （1）
3π或23
π；（2
）（1）根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）解法一：根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可；
解法二：根据正弦定理，结合锐角三角形的性质、辅助角公式、正弦型三角函数的单调性进行求解即可.
（1
2sin b C =
2sin sin C =B C,
0,sin 0,sin C C B π<<≠∴∴=
， 0B π<<，所以3
B π
=
或 23
B π=
； （2）解法一：由（1
）知3
b B π
==
，由余弦定理得：
222cos
33
a c ac π
+-=，即223a c ac +=+
故22233a c ac ac ++=+，即()
2
2
332a c a c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭
（当且仅当a c =时取等号）
2()12a c ∴+≤
，0a c ∴<+≤
故当a c ==时，(
)max a c +=
解法二：由(Ⅰ)
知3
b B π
==
，由正弦定理
2
sin sin sin
3
a c
A C
=
== 2sin ,2sin ,a A c C ∴==
22
,33
A C C A ππ+=∴=-又
因为ABC 为锐角三角形，所以0,02
2
A C π
π
<<
<<
，所以
6
2
A π
π
<<
2+2sin 2sin()3sin )36
a c A A A A A π
π∴=+-==+
因为2363A πππ<+<，所以当=62A ππ+时，即当=3
A π
时，max (+)a c =.
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了辅助角公式和正弦型函数的单调性应用，考查了数学运算能力.
22. 已知函数()22f x x sin xcos x ωωω=+，其图象的两条相邻对称轴间的距离为π. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12
，纵坐标不变，再将图象向右平移
12π
个单位，得到y
g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间.
（1）()32f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3 （1）运用倍角公式和辅助角公式将()f x 化为()223f x sin x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，然后由条件可得
222T π
πω
==
，解出ω即可； （2）利用图象的变换得到y g x ，然后求出()g x 所有的单调递增区间，然后与[]0,π求交
集即可.
()
1由题意可得()22f x x sin xcos x ωωω=+
22223x sin x sin x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，
函数的周期222T ππω==
，1
2
ω∴=， 故()32f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
()()223f x sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变， 得函数223y sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
再将图象向右平移12π
个单位，得到y g x 的图象，()226g x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭， 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈
解得3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k Z ∈，
当0k =时，单调递增区间为06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
当1k =时，单调递增区间为2,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
()g x 在[]0π，上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
本题考查的是三角函数的图象和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况.。