高考冲刺 圆锥曲线

高考冲刺圆锥曲线
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1) （5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1 （5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。

注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。

解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。

（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。

注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。

例3.椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。

解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, ∵PF1⊥x轴，∴|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
∴|PF1|=。

∵PO//AB，∴ΔPF1O∽ΔBOA,
∴=c=b a=c, ∴e==。

又解，∵PF1⊥x轴，∴设P(-c, y)。

由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c e=。

例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。

分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式
S=absinC。

解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin|PF1|+|PF2|=2a=20，
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，
|PF1|·|PF2|=∴SΔ=××=。

解法二：S Δ=|F 1F 2|·|y P |=×12×y P =6|y P |，由第二定义：=e |PF 1|=a+ex P =10+x P ，
由第一定义：|PF 2|=2a-|PF 1|=10-x P ，
4c 2=|F 1F 2|2=(10+x P )2+(10-x P )2-2(10+x P )(10-x P )cos ，
144=100+=， =64(1-)=64×， S Δ=6|y P |=6×=。

注意：两个定义联合运用解决问题。

从三角形面积公式均可得到结果。

初学时最好两种办法都试试。

例5.椭圆+=1 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，求：|PF 1|，|PF 2|。

分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF 1|，|PF 2|的表达式写出来，再求解。

解：如图，∵O 为F 1F 2中点，PF 1中点在y 轴上，∴PF 2//y 轴，∴PF 2⊥x 轴，
由第一定义：|PF 1|+|PF 2|=2a=4
，|PF 1|2-|PF 2|2=|F 1F 2|2，
(|PF 1|-|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=4×9=36，。

例6.椭圆：+=1内一点A （2，2），F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，求|PA|+|PF 1|的最值。

解：|PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF 2|=10+|PA|-|PF 2|≤|AF 2|+10=2+10，
|PA|+|PF 1|=|PA|+10-|PF 2|=10-(|PF 2|-|PA|)≥10-|AF 2|=10-2。

注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例7.已知：P 为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F 1，F 2为焦点，A 1，A 2为其顶
点。

求证：以PF 1为直径的圆与以A 1，A 2为直径的圆相切。

证明：不妨设P 在双曲线的右支上，设PF 1中点为O ＇, A 1A 2中点为O ，
|OO ＇|=|PF 2|，圆O 半径为|A 1A 2|，圆O ＇半径为|PF 1|
由双曲线定义：|PF 1|-|PF 2|=|A 1A 2|
|PF 1|-|A 1A 2|=|PF 2|=|OO'|
∴ 两个圆相内切。

注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。

求证：以线段
PQ为直径的圆与准线相切。

证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。

五、课后练习
1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（）
A、20
B、22
C、28
D、24
2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=()
A、-
B、
C、-2
D、2
3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（）
A、y2=16x或x2=16y
B、y2=16x或x2=-16y
C、x2=-12y或y2=16x
D、x2=16y或y2=-12x
4. 已知：椭圆+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+为定值。

六、练习答案：
1. D
2. B
3. C
4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公式，
+=。

高考冲刺直线和圆锥曲线的位置关系
一、直线与圆锥曲线位置关系的判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。

一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。

特别注意：当直线与双曲线的渐近线平行及直线与抛物线的对称轴平行时，直线与曲线只有一个公共点，但也称之为相交，这是特殊情况，请大家注意。

二、弦长公式：
直线与曲线交于P(x1,y1), Q(x2,y2)两点，则|PQ|=|x1-x2|，此为弦长公式，k为直线的斜率，弦长公式实质是直线上任意两点间的距离。

注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，如何解决留给大家思考。

三、例题选讲：
例1．已知：经过点P（1,1）的直线l与椭圆+=1交于A、B两点，若P恰为A、B中点。

求：直线l的方程。

解法一：设直线l方程：y-1=k(x-1)或x=1.
当直线l为x=1时不满足题意，故直线l的斜率存在，则有：
(4+9k2)x2-(18k2-18k)x+9k2-18k-27=0.
∵P为A，B中点，∴x1+x2==2k=-, 直线l: 4x+9y-13=0.
解法二：设A(x1, y1), B(x2, y2),
∵A、B在椭圆上，∴，∴4(x1+x2)(x1-x2)=-9(y1+y2)(y1-y2)
∵P(1,1)为A、B中点，∴x1+x2=2, y1+y2=2,
∴8(x1-x2)=-18(y1-y2)，∴k==-, ∴l: 4x+9y-13=0.
解法三：设l: (t为参数) 代入曲线方程：4(1+tcosα)2+9(1+tsinα)2=36,
(4cos2α+9sin2α)t2+(8cosα+18sinα)t-23=0
∵P为A、B中点，∴t1+t2==0, ∴tanα=-=k, ∴l: 4x+9y-13=0.
例2．求以椭圆+=1的焦点为焦点，且过直线x-y+9=0上一点的椭圆中，长轴最短的椭圆的方程。

解法一：+=1的焦点为（±3，0），
设以（±3，0）为焦点的椭圆为：+=1，且与直线x-y+9=0相切时满足条件。

即(2a2-9)x2+18a2x-(a4-90a2)=0
a4-54a2+405=0 (a2-45)(a2-9)=0，a2=45或a2=9（舍）
∴椭圆：+=1。

解法二：直线x-y+9=0上一点P(x,y)到F1（-3,0），F2（3,0）的距离之和为定长2a的最小值，
即变为在直线x-y+9=0上找一点P到F1(-3,0), F2(3,0)距离之和最小
F2（3,0）关于直线x-y+9=0的对称点F2＇(-9,12),
(2a)min=|F1F2＇|==6a=3. ∴a2=45, c2=9, b2=36,
∴+=1。

例3．已知：直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A（-1，0），B（0，8）关于直线l的对称点都在C上。

求：直线l与抛物线C的方程。

解法一：设l: y=kx (k>0且k≠1), C: y2=2px(p>0), 又设A（-1，0）关于l的对称点A＇(a, b)
则：()2=2p p= (1)
又设B（0,8）关于l的对称点B＇(c,d）,
则：()2=2p p= (2)
由(1),(2)知：，l: y=x, C: y2=x.
解法二：设A（-1，0）关于l的对称点为A＇, ∵|OA|=|OA＇|=1，∴∠A＇OX=α, ∴A＇(cosα, -sinα)
设B(0,8)关于l的对称点为B＇,∵|OB|=|OB＇|=8, ∠AOB=∠A＇OB＇=90°,
∴∠B＇OX=-α, B＇(8sinα,8cosα) ∵A＇，B＇在y2=2px上，
∴2cosα=sinαtanα=2 ∴sinα=, cosα=,
∴B＇(,) ∴()2=2p p==, ∴C: y2=x,
∵B，B＇中点（，4+）在l: y=kx上，∴4+=k·k=, ∴l: y=x.
例4．已知：两个定点，|AB|=3，动点P，∠PBA=2∠PAB≠0，求P点轨迹。

解法一：以A为原点，AB所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系（如图），则A（0，0），B（3，0），
设P(x,y)，∵∠PBA=2∠PAB，∴x>, k PA=.
(1)x≠3时，k PB=,∵∠PBA=2∠PAB≠0, ∴tan∠PBA=tan2∠PAB,
∴-=3x2-6x-y2=0 (x>且x≠3)
(2)x=3时，PB⊥x轴，∠PAB=，此时P(3，3), ∴P(3,3)也在3x2-6x-y2=0上
∴方程：3x2-6x-y2=0(x>) ∴轨迹为双曲线的右支。

解法二：建系如法一：设P(x,y), (x>), 在AB上取一点C(c,0)，使|AC|=|PC|
则∠CPA=∠PAB，∠PCB=2∠PAB=∠PBA,∴|PC|=|PB|
取BC中点D，则D(x,0)，|BD|=3-x,∴|CD|=|BD|=3-x, ∴C(2x-3,0)
∵|AC|=|PC|, ∴(2x-3)2=(x-2x+3)2+y2∴3x2-6x-y2=0 (x>) ∴轨迹为双曲线的右支。