中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第14讲立体几何中的有关计算

数学高考综合能力题选讲14
立体几何中的有关计算
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．
范例选讲
例1 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，
21=AA ，E 是侧棱1BB 中点．
（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小；
（2）求二面角B AC E --1的大小； （3）求三棱锥E D C A 11-的体积．
讲解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面E D A 11的一条垂线．不难发现，AE 正为所求．
由长方体1111D C B A ABCD -知：1111A ABB A D 面⊥，又11A ABB AE 面⊂，所以，
AE A D ⊥11．
在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，1=AB ，所以，21==E A AE ，所以，AE A 1∆为等腰直角三角形，AE EA ⊥1．
所以，⊥AE 面E D A 11．
所以，AE A 1∠就是直线1AA 与平面E D A 11所成的角，为︒45．
（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．
B
C
D
B 1
A 1
C 1
D 1
E
注意到
1
1BCC B AB 面⊥，所以，面
⊥1ABC 11BCC B 面，所以，只需在11BCC B 面内过点E
作1BC EF ⊥于F ，则⊥EF 面1ABC ．
过F 作1AC FG ⊥于G ，连EG ，则EGF ∠就是二
面角B AC E --1的平面角．
在1EBC ∆中，5
5
21111
1
=
⋅==
∆BC B C EB BC S EF EBC ，
所以，5
532211=
-=EF E C F C ．
在1ABC ∆中，10
30
sin 1111=
⋅
=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG ． 在EFG Rt ∆中，3
6
tan ==
∠FG EF EGF ． 所以，二面角B AC E --1的平面角的大小为3
6
arctan
．
（3）要求三棱锥E D C A 11-的体积，注意到（2）中已经求出了点E 到平面
11D AC 的距离EF ．所以，
6
1
613111111111=⋅⋅=⋅==∆--EF CD AD EF S V V D AC D AC E E D C A ．
另一方面，也可以利用等积转化．
因为11//C D AB ，所以，//AB E D C 11面．所以，点A 到平E D C 11面的距离就
等于点B 到平E D C 11面的距离．所以，
6
1
61311111111111111=⋅⋅=⋅===∆---C D B C EB C D S V V V EBC EBC D E D C B E D C A ．
点评：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定理作出二面角的平面角是很常用的方法．
B A
C D
B 1
A 1
C 1
D 1
E F
G
例2 如图：三棱台111C B A ABC -中，侧棱1
CC ⊥底面ABC ，︒=∠120ACB ，a BC a AC 2,==，
a C B =11，直线1AB 与1CC 所成的角等于60°．
（1）求二面角B AC B --1的大小； （2）求点B 到平面AC B 1的距离．
讲解 无论从已知（直线1AB 与1
CC 所成的角等于60°）的角度还是从所求（二面角B AC B --1）的角度，过1B 作
1CC 的平行线都是当然之举．
在平面CB C B 11中，过1B 作C C D B 11//交CB 于点D ，连接AD ，则1ADB ∠就是直线1AB 与1CC 所成的角．所以，
︒=∠601ADB ．
又因为1CC ⊥底面ABC ，所以，D B 1⊥底面ABC ．
在平面ABC 内过点D 作AC DE ⊥于E ，连E B 1，则AC E B ⊥1，所以，
ED B 1∠就是二面角B AC B --1的平面角． 在ACD ∆中，a CD AC CD AC AD 3120cos 222=︒⋅-+=． 在Rt D AB 1∆中，a AD D B =︒⋅=60cot 1．
在Rt CED ∆中，a CE DE 2
3
60sin =
︒⋅=．
在Rt D EB 1∆中，3
3
22
3tan 1=
=
∠a a ED B ． A
C
A 1
B 1
C A
B
C
A 1
B 1
C D
E H
所以，二面角B AC B --1的平面角的大小为：3
3
2arctan
．
（2）由D 为BC 中点，故点B 到平面AC B 1的距离等于点D 到平面AC B 1的
距离的2倍，作E B DH 1⊥于H ．由（1）知ED B AC 1面⊥，所以，DH AC ⊥，所以，AC B DH 1面⊥，所以，DH 就是点D 到平面AC B 1的距离．
在Rt D EB 1∆中，a DB DE DB DE EB DB DE DH 7
21
2
1
211
1
=
+⋅=⋅=
．
所以，点B 到平面AC B 1的距离等于
a 7
21
2． 另外，我们也可以用体积法求出这个距离．
设点B 到平面AC B 1的距离为h ．则由=-ACB B V 11ACB B V -及
31163sin 2131311a D B ACB BC AC D B S V ABC ACB B =⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛∠⋅⋅⋅=⋅=∆-，
221214
721211a D B ED AC E B AC S ACB =+⋅=⋅=
∆可得： =⋅=
=
∆-4
763332
3
1
1a a
S V h ACB ACB B a 7212．
所以，点B 到平面AC B 1的距离等于
a 7
21
2．
点评 等积变形是求体积和求距离时常用的方法．
高考真题
1．（1998年全国高考）已知斜三棱柱ABC －A'B'C'的侧面A'ACC'与底面ABC 垂直,∠ABC ＝
︒90,BC ＝2,AC ＝32且AA'⊥A'C,AA'＝A'C.
①求侧棱AA'与底面ABC 所成角的大小;
②求侧面A'ABB'与底面ABC 所成二面角的大
A
C
B
A'
B'
小;
③求顶点C 到侧面A'ABB'的距离. 2．（1999年全国高考）如图,已知四棱柱ABCD －A'B'C'D',点E 在棱D'D 上,截面EAC ∥D'B,且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB ＝a
(1)求截面EAC 的面积；
(2)求异面直线A'B'与AC 之间的距离； (3)求三棱锥B'－EAC 的体积．
3．(2001年全国高考)如图：在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=
21.
（1） 求四棱锥S-ABCD 的体积； （2） 求面SCD 与面SBA 所成的二面角的平面角的正切值．
[答案与提示：1．︒45；︒60；3． 2．
222a ；a 2；342a ． 3．2
241；． ] S
B C A D D'
B'
A'D
A
B
C E。