人教B版数学高一版必修1教材习题点拨2.2一次函数和二次函数

教材习题点拨
探索与研究 解：
由上表可以看出，函数值后一个比前一个大10.
事实上，取x 1＝a ，则y 1＝5a －3，取x 2＝a ＋2，则y 2＝5(a ＋2)－3， ∴Δy ＝y 2－y 1＝10.
一般地，设一次函数y ＝kx ＋b ，若取x 1＝a ，则y 1＝ka ＋b ，
取x 2＝a ＋2，则y 2＝k (a ＋2)＋b ＝ka ＋b ＋2k ，故Δy ＝y 2－y 1＝2k (常数)，即对任意的一个一次函数都有类似的性质．
练习A
1．解：(1)(2)(3)是正比例函数，(4)不是正比例函数． 2．解：如图所示．它们都是奇函数．
3．解：(1)斜率为3，在y 轴上的截距为2；(2)斜率为－2，在y 轴上的截距为3；(3)斜率为12，在y 轴上的截距为5；(4)斜率为5，在y 轴上的截距为－13
.
(1)(3)(4)在(－∞，＋∞)上是增函数； (2)在(－∞，＋∞)上是减函数． 图象如图所示．
4．略
5．解：(1)当x ＞3时，y ＞0；当x ＝3时，y ＝0；当x ＜3时y ＜0. (2)当x ＜43时，y ＞0；当x ＝43时，y ＝0；当x ＞4
3时，y ＜0.
练习B
1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y ＝－x －5解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－4.
∴交点为A (－1，－4)．
对于y ＝x －3，令y ＝0得x －3＝0，即x ＝3.对于y ＝－x －5，令y ＝0得－x －5＝0，即x ＝－5.
∴两直线的交点为A (－1，－4)，直线y ＝x －3与x 轴的交点为B (3,0)，直线y ＝－x －5与x 轴的交点为C (－5,0)．
2．解：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2，求得交点A ⎝⎛⎭⎫
13，73，再由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝⎛⎭⎫23，83，得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎤－∞，－13，x ＋2，x ∈⎝⎛⎦⎤13，23，
－2x ＋4，x ∈⎝⎛⎭
⎫23，＋∞.
当x ＝23时，f (x )取得最大值，最大值为8
3
.
探索与研究 略
探索与研究
1．解：函数图象如图所示．
由图象可以看出把y ＝x 2的图象向左平移一个单位得到y ＝(x ＋1)2的图象，向右平移一个单位得到y ＝(x －1)2的图象，向上平移一个单位得到y ＝x 2＋1的图象，向下平移一个单位得到y ＝x 2－1的图象．
2．解：一般地，对于函数y ＝f (x )来说，向左平移a (a ＞0)个单位，可得到y ＝f (x ＋a )的图象；向右平移a (a ＞0)个单位，可得到y ＝f (x －a )的图象；向上平移b (b ＞0)个单位，可以得到y ＝f (x )＋b 的图象；向下平移b (b ＞0)个单位，可以得到y ＝f (x )－b 的图象．
3．下面用表格的形式说明a 、b 、c 对二次函数的图象和性质的影响.
练习A
1．解：(1)定义域为R ，值域为[－13，＋∞)，最小值为－13； (2)定义域为R ，值域为⎣⎡⎭⎫－195，＋∞，最小值为－19
5； (3)定义域为R ，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，54，最大值为54； (4)定义域为R ，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，－7112，最大值为－7112
. 2．解：(1)对称轴是x ＝5，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫5，－23
2.图象如图．单调减区间为(－∞，5]，单调增区间为[5，＋∞)．
(2)对称轴是x ＝1
4，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫14，－78.图象如图．单调减区间为⎣⎡⎭⎫14，＋∞，单调增区间为⎝
⎛⎦⎤－∞，1
4.
3．解：当y ＝0时，x ＝－1或x ＝2；当y ＜0时，x ∈(－1,2)．故当y ≤0时，x 的取值范围是[－1,2]．
练习B
1．解：f (x )＝12x 2－3x －34
＝12⎝
⎛⎭⎫x 2
－6x －32 ＝1
2⎣
⎡⎦⎤(x －3)2－9－32 ＝12(x －3)2－214
. (1)顶点坐标为⎝⎛⎭⎫3，－21
4，对称轴为直线x ＝3. (2)∵72－3＝12，52－3＝－1
2，对称轴为直线x ＝3，
∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫3－12＝f ⎝⎛⎭⎫3＋12＝f ⎝⎛⎭⎫72＝－41
8
.
(3)f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝
⎛⎭⎫3－134＝f ⎝⎛⎭⎫3＋134＝f ⎝⎛⎭⎫254. ∵对称轴为直线x ＝3，f (x )在[3，＋∞)上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫154＜f ⎝⎛⎭⎫254，即f ⎝⎛⎭⎫154＜f ⎝⎛⎭⎫－14. 2．解：f (x )＝(x －1)2－4.
函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，数形结合可知函数图象上的点距对称轴越远对应的函数值越大．
∵|－2－1|＝|4－1|， ∴f (－2)＝f (4)． ∵|－3－1|＞|3－1|， ∴f (－3)＞f (3)．
3．解：(1)∵x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5≥0，
∴y ＝x 2－4x ＋9的定义域为R ，值域为[5，＋∞)． (2)由－2x 2＋12x －18≥0得x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0. ∴x ＝3，∴y ＝－2x 2＋12x －18的定义域为{3}，值域为{0}． 探索与研究
答：求二次函数解析式有以下几种情况：
(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y ＝ax 2＋bx ＋c .将点的坐标代入，列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解出a ，b ，c 即可．
(2)已知顶点坐标为(m ，n )，可设y ＝a (x －m )2＋n ，再借助于其他条件求a ； (3)已知对称轴方程为x ＝m ，可设y ＝a (x －m )2＋k ，再借助于其他条件求a 与k ； (4)已知最大值或最小值为n ，可设y ＝a (x －h )2＋n ，再借助于其他条件求a 和h ； (5)二次函数的图象与x 轴只有一个交点时，可设y ＝a (x －h )2，再借助于其他条件求a 和h .
(6)已知二次函数图象与x 轴有两个交点x 1、x 2时，可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，再借助其他条件求a .
练习A
1．解：设所求正比例函数的解析式为y ＝kx ，k ≠0. ∵y ＝kx 通过点(2,8)， ∴8＝2k ，解得k ＝4.
∴所求正比例函数的解析式为y ＝4x . 2．解：∵A (1,3)在函数y ＝kx 上， ∴3＝k ×1，∴k ＝3，∴y ＝3x . 当x ＝3时，y ＝9，
∴点B 的纵坐标为y ＝9.
3．解：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
－2k ＋b ＝0，k ＋b ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝1，
b ＝2.
∴所求函数的解析式为y ＝x ＋2. 4．解：设y ＝f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
3(b －a )－(2a ＋b )＝－19，2b ＋(a ＋b )＝14， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝3.∴y ＝5x ＋3.
5．解法1：设所求二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a 、b 、c 待定． 根据已知条件，得方程组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
0＋0＋c ＝3，9a －3b ＋c ＝0，25a －5b ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝15
，b ＝8
5，c ＝3.
∴所求二次函数为f (x )＝15x 2＋8
5x ＋3.
解法2：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝0，所以c ＝3.
令f (x )＝0，由根与系数的关系得
⎩⎨⎧
c a ＝3
a
＝15，－b
a ＝－8，
解得⎩⎨⎧
a ＝15
，b ＝8
5.
∴所求函数的解析式为f (x )＝15x 2＋8
5
x ＋3.
练习B
1．解：设所求二次函数的解析式为f (x )＝a (x －6)2－12(a ≠0)， 令x ＝8，则f (8)＝a (8－6)2－12＝4a －12＝0，解得a ＝3. ∴所求二次函数为f (x )＝3(x －6)2－12，即f (x )＝3x 2－36x ＋96.
2．解法1：2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，即2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b . 根据多项式恒等，对应项系数相等得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b －a ＝1，－b ＝－3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝3.
解法2：∵2x 2＋x －3＝(x －1)(2x ＋3)， ∴(x －1)(2x ＋3)＝(x －1)(ax ＋b )， ∴a ＝2，b ＝3. 习题2－2A
1．解：设y ＝kx ，令x ＝0.5， 则y ＝0.5k ＝1，解得k ＝2. ∴所求正比例函数为y ＝2x .
当x ＝2时，y ＝4；当x ＝5时，y ＝10.
2．解：设y ＝k x ，由题意得10＝k 4，解得k ＝5. ∴y ＝5x .
(1)当x ＝64时，y ＝5×64＝5×8＝40； (2)当y ＝75时，由75＝5x 得x ＝225. 3．解：函数y ＝3x ＋12的图象如图所示．
(1)该图象与x 轴、y 轴的交点分别为(－4,0)、(0,12)． 由勾股定理得，这两点间的距离为42＋122＝410. (2)由3x ＋12＞0，得3x ＞－12，即x ＞－4. ∴3x ＋12＞0的解集为{x |x ＞－4}． (3)∵y ＜0，即3x ＋12＜0，
∴x ＜－4，即当x ∈(－∞，－4)时，y ＜0.
(4)当－6＜y ＜6时，－6＜3x ＋12＜6，解得－6＜x ＜－2.
4．解：f (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x 2－4x ＋3)＝－[(x －2)2－1]＝－(x －2)2＋1. (1)∵a ＝－1＜0，
∴二次函数的图象开口向下．
(2)顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x ＝2.
(3)令y ＝0，得－x 2＋4x －3＝0，解得x ＝3或x ＝1， 即函数图象与x 轴的交点为(3,0)和(1,0)． 其函数图象如图所示．
5．解：(1)y ＝2x 2－8x ＋1＝2(x 2－4x ＋4－4)＋1＝2(x －2)2－7， 它的顶点坐标为(2，－7)，y min ＝f (x )＝－7. 其值域为[－7，＋∞)．
(2)y ＝－x 2＋2x ＋4＝－(x 2－2x ＋1－1)＋4＝－(x －1)2＋5. 它的顶点坐标为(1,5)，y ma x ＝f (1)＝5.其值域为(－∞，5]． 6．解：由题意设f (x )＝a (x －1)(x ＋3)，则－3a ＝－3，∴a ＝1. ∴f (x )＝(x －1)(x ＋3)＝x 2＋2x －3.
7．解：(1)当b ＝0时，函数f (x )为奇函数；当a ＝0时，函数f (x )为偶函数． (2)当a ＝0，c ＝0时，函数f (x )为奇函数；当b ＝0时，函数f (x )为偶函数．
8．解：∵f (x )的对称轴为直线x ＝－a －1
2，开口向上，且f (x )在区间[2，＋∞)上是增函
数，
∴－a －12
≤2，∴a ≥－3.
9．解：(1)∵f (x )＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－1
2，
∴f (x )的图象顶点的坐标为⎝
⎛⎭⎫3，－1
2. 令f (x )＝0，即1
2x 2－3x ＋4＝0，得x 1＝2，x 2＝4.
∴f (x )的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)和(4,0)． (2)图象略．
(3)∵f (1)＝3
2，且函数f (x )的对称轴为直线x ＝3，
∴点(1，f (1))关于对称轴x ＝3的对称点坐标为⎝⎛⎭
⎫5，32.
10．解：(1)∵f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)－3＝3a 2＋4a －2， f (a )＝a 2＋2a 2－3＝3a 2－3，
∴f (a ＋1)－f (a )＝(3a 2＋4a －2)－(3a 2－3)＝4a ＋1， 即4a ＋1＝9，∴a ＝2.
(2)∵f (x )＝x 2＋2ax －3＝(x ＋a )2－a 2－3，且函数图象开口向上， ∴令－a 2－3＝－4，得a ＝±1.
∴当a ＝±1时，函数f (x )的最小值为－4. 习题2－2B
1．解：(1)若y ＝f (x )经过原点， 则有f (0)＝0，即2m －m 2＝0， 解得m ＝0或m ＝2.
(2)若f (x )的图象关于y 轴对称， 则2(m －1)＝0，即m ＝1.
∴函数的解析表达式为f (x )＝－x 2＋1.
2．解：∵f (－x )＝(－x )2－3|－x |＋14＝x 2－3|x |＋1
4＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．
其图象如图，单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－32，⎣⎡⎦⎤0，32. 单调增区间为⎣⎡⎦⎤－32，0，⎣⎡⎭
⎫3
2，＋∞.
3．解：设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1) ＝ax 2－(2a －b )x ＋a －b ，
∴ax 2－(2a －b )x ＋a －b ＝ax 2＋(b ＋1)x －1，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2a ＋b ＝b ＋1，
a －
b ＝－1，
高中数学-打印版
精心校对完整版 ∴⎩⎨⎧ a ＝－12，b ＝12.
∴f (x )＝－12x 2＋12
x ，x ∈R . 4．解：∵偶函数f (x )的定义域为R ，且在(－∞，0)上是增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f ⎝⎛⎭⎫－34＝f ⎝⎛⎭⎫34，a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34
， ∴f ⎝⎛⎭
⎫－34≥f (a 2－a ＋1)．。