[推荐学习]2018版高中数学课时天天提分练23两角和与差的正弦余弦函数2北师大版必修4
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C．c<b<aD．b＜a＜c
答案：A
解析：a＝ sin55°< sin60°＝ ，b＝ sin65°> sin60°＝ .
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1①
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋ ，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为 ， .求cos(α－β)的值．
9. ＝____Biblioteka _____.答案：解析：原式＝ ＝ ＝ .
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋ ，α＋β≠kπ＋ ，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
cosα＋cosβ＝－cos1②
①②平方相加得cos(α－β)＝－ .
3．设函数f(x)＝sin ＋cos ，则( )
A．y＝f(x)在 单调递增，其图像关于直线x＝ 对称
B．y＝f(x)在 单调递增，其图像关于直线x＝ 对称
C．y＝f(x)在 单调递减，其图像关于直线x＝ 对称
D．y＝f(x)在 单调递减，其图像关于直线x＝ 对称
23 两角和与差的正弦余弦函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝ ，则a、b、c的大小关系为( )
A．a<c<bB．a<b<c
∴sinα＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝－ .
答案：D
解析：f(x)＝sin ＋cos ＝ sin ＝ cos2x.
则函数在 单调递减，其图像关于x＝ 对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，∴sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－ × ＋ × ＝ .
解析：依题意，得cosα＝ ，cosβ＝ .
因为α，β为锐角，所以sinα＝ ，sinβ＝ ，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ × ＋ × ＝ .
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈ ，β＝ ，且a·b＝ ，求sinα.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin ＝－ ，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin ＝－ <0，所以α＋ 是第三象限角，所以cos ＝－ ，所以cosα＝cos ＝ cos ＋ sin ＝－ .
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos ＋sinαsin ＝cos 且a·b＝ ，
∴cos ＝ .
由－ ＜α＜ ，得－ ＜α－ ＜0.
∴sin ＝－ ＝－ .
5．若sinα＋sinβ＝ ，则cosα＋cosβ的取值范围是( )
A. B.
C．[－2,2] D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝ ＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝ ＋x2，
∴x2＝ ＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤ 即－ ≤x≤ .
6．设α，β∈ ，sinα＝ ，sinβ＝ ，α＋β的大小为( )
A．－135° B．45°
C．135°D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝ ，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：A
解析：a＝ sin55°< sin60°＝ ，b＝ sin65°> sin60°＝ .
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1①
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋ ，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为 ， .求cos(α－β)的值．
9. ＝____Biblioteka _____.答案：解析：原式＝ ＝ ＝ .
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋ ，α＋β≠kπ＋ ，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
cosα＋cosβ＝－cos1②
①②平方相加得cos(α－β)＝－ .
3．设函数f(x)＝sin ＋cos ，则( )
A．y＝f(x)在 单调递增，其图像关于直线x＝ 对称
B．y＝f(x)在 单调递增，其图像关于直线x＝ 对称
C．y＝f(x)在 单调递减，其图像关于直线x＝ 对称
D．y＝f(x)在 单调递减，其图像关于直线x＝ 对称
23 两角和与差的正弦余弦函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝ ，则a、b、c的大小关系为( )
A．a<c<bB．a<b<c
∴sinα＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝－ .
答案：D
解析：f(x)＝sin ＋cos ＝ sin ＝ cos2x.
则函数在 单调递减，其图像关于x＝ 对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，∴sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－ × ＋ × ＝ .
解析：依题意，得cosα＝ ，cosβ＝ .
因为α，β为锐角，所以sinα＝ ，sinβ＝ ，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ × ＋ × ＝ .
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈ ，β＝ ，且a·b＝ ，求sinα.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin ＝－ ，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin ＝－ <0，所以α＋ 是第三象限角，所以cos ＝－ ，所以cosα＝cos ＝ cos ＋ sin ＝－ .
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos ＋sinαsin ＝cos 且a·b＝ ，
∴cos ＝ .
由－ ＜α＜ ，得－ ＜α－ ＜0.
∴sin ＝－ ＝－ .
5．若sinα＋sinβ＝ ，则cosα＋cosβ的取值范围是( )
A. B.
C．[－2,2] D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝ ＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝ ＋x2，
∴x2＝ ＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤ 即－ ≤x≤ .
6．设α，β∈ ，sinα＝ ，sinβ＝ ，α＋β的大小为( )
A．－135° B．45°
C．135°D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝ ，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.