八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题专项训练学能测试试题

八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题专项训练学能测试试题
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A 5
B ＝2y C
a
=
D =2．下列等式正确的是（ ）
A 7=-
B 3=
C ．5
D ．=
3的倒数是（ ）
A B C ． D ．-
4．(2的结果正确的是( )
A B ．3 C ．6
D ．3
5．已知：x ，y 1，求x 2﹣y 2的值（ ）
A ．1
B ．2
C D ．
6．化简 ）
A
B
C D
7．已知4
4
2
2
0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．已知a ( )
A ．0
B ．3
C ．
D ．9
9．下列运算正确的是（ ）
A B ．﹣=1
C ．
D ．﹣（a ﹣b
10．下列各式中，不正确的是（ ）
A ><C > D 5=
11．给出下列化简①（2=2=2=
1
2
=，其中正确的是（ ） A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②
D ．③④
12．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A ．1a +和1a -
B ．3和
13
C ．2a b 和2ab
D ．3和18
二、填空题
13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简
()
2
22144a a ab b +--+=_____________；
（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，
的个数是_______________；
（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．3x x
=，且01x <<2691x x x =+-______．
15．已知a 73
+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．
16．把1
m m
-
_____________. 17．1
1882
． 18．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫=
⎪⎝⎭
据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．若实数23
a =
-，则代数式244a a -+的值为___. 20．12a 1-能合并成一项，则a =______．
三、解答题
21．1123
124231372831
-+-
53
3121
【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】
1123
124231372831
-+-
=1)2(3
+⨯
=12
1.
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．计算及解方程组：
（1
-1-
）
（2
)2
+
（3）解方程组：
2510
32
x y
x y x y
-=
⎧
⎪
+-
⎨
=
⎪⎩
【答案】（1
）2
）7；（3）
10
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1
1
-
1
+
（
1
1
=1
（2
2
+）
=34
-
=7-
=7-
（3）251032x y x y x y
-=⎧⎪
⎨+-=⎪⎩
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：10
2x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
23．先观察下列等式，再回答问题：
=1+1=2；
12=2 12
；
=3+
13=31
3
；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1
=144+=144；（2
=211n n n n
++=
，证明见解析． 【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，
=414+
=414
； （2
=n 211
n n n
++=
”，再利用222
112n n n n
++=+（）（）开方即可证出结论成立．
【详解】
（1
=1+1=2
=212+
=212
；
=313+
=31
3；里面的数字分别为1、2、3，
= 144+
= 1
44
．
（2=1+1=2，
=212+=212=313+=313=414+=4
14
= 211
n n n n
++=
．
证明：等式左边==n 211
n n n
++==右边．
=n 211
n n n
++=
成立． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律
=n 211
n n n
++=
”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
24．（112==
=；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．
【答案】（12=55==；（2=
3）证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】
解：（1）由例子可得，
④5=25，6
，
（2）如果n 为正整数，用含n
n
， （3）证明：∵n 是正整数，
n ．
n
．
故答案为5=25 n
；(3)证明见解析. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
25．（1）计算：
（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14
a =
．
【答案】（1）2）82-a ，【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
26．先观察下列等式，再回答下列问题：
111
111112
=+-=+；
111112216=+-=+
1111133112
=+-=+
(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．
【答案】(1)1120
(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
试题解析：(1)=1+14−141+=1120，
1120
(2)1 n −1 n 1
+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).
a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
27．计算
(2)2
；
(4)
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
(2)
2
=22
-
=63
-
=9-
=1；
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．先化简，再求值：
222
22
1
2
⎛⎫
--
--÷
⎪
-+
⎝⎭
x y x y
x
x x xy y
，其中x y
==．【答案】原式
x y
x
-
=-
，把x y
==
代入得，原式1
=-.
【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可．试题解析：
222
22
1
2
⎛⎫
--
--÷
⎪
-+
⎝⎭
x y x y
x
x x xy y
()()()2
22=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭
=
y x x y x x y ---⋅+ x y
x
-=-
把x y =
=代入得：
原式1==-+考点：分式的化简求值．
29．已知a
，b
（1）求a 2﹣b 2的值； （2）求
b a +a
b
的值． 【答案】（1）
；（2）10 【分析】
(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可. 【详解】
(1)∵a
b
， ∴a +b
a ﹣b
＝
， ∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝
＝
； (2)∵a
b
， ∴ab ＝
)×
)＝3﹣2＝1， 则原式＝
2
2
b a ab +＝
()2
2a b ab ab +-
＝(2
211
-⨯＝10． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
30．计算下列各题：
（1
-．
（2）2
【答案】（1）2）2--
【分析】
（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；
（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：（1）原式==；
=--+
（2）原式22(5
525
=---
=--
2
【点睛】
本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质对A、B进行判断；利用分母有理化对C进行判断；利用二次根式的加减法对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝5，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
=，所以C选项正确；
C
D D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键．2．B
解析：B
根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．
【详解】
解：A
B 3=，故本选项符合题意；
C 、5=-，故本选项不符合题意；
D 、=-，故本选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据倒数的定义，即可得到答案.
【详解】
2，
； 故选：B.
【点睛】
本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题.
4．A
解析：A
【分析】
分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．
【详解】
解：原式333=+=
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．
∵1,1x y ==，
∴11112x y x y +==-=-=，
则22()()2x y x y y x -=+-==
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．
6．C
解析：C
【解析】 根据二次根式有意义的条件可知﹣1x
＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
. 故选C ．
7．D
解析：D
【分析】
利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
44180+=
配方得2
2222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦ 22
2180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦
222()180x y +-=
22162(2)180xy x xy y +-+=
22122()180xy x y ++=
将22
24x y +=代入得：12224180xy +⨯=
计算得：11xy =
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握. 8．B
解析：B
=，可知当（a﹣3）
2=0，即a=3
故选B．
9．D
解析：D
【解析】
利用二次根式的加减法计算，可知：
A、
B、﹣
C、
D、﹣（a﹣b，此选项正确．
故选：D．
10．B
解析：B
【解析】
=-3，故A正确；
=4，故B不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C正确；
=，可知D正确.
5
故选B.
11．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．
【详解】
①原式=2，故①正确；
②原式=2，故②正确；
③原式==
④原式==，故④错误，
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
12．B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．二、填空题
13．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
∴
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)∵，
∴，p=20
解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)=
=
∴p=14x3(其中x为正整数)，
同理可得：q=14y2（其中y为正整数）,
则x+3y=12(x、y为正整数)
∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。

∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE 中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°，
故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC 中，∠A=50°，∠AFC=90°，
故∠1=180°-90°-50°=40°，
∵∠1=∠2，
∴在△CEO 中，∠2=40°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°-90°-40°=70°，
即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC 的度数是130°或50°．
故答案是：(1). 2a －2b ＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
14．．
【分析】
利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查二次根式的运
．
【分析】
，再把它们相乘得到
1
x
x
-，再对原式进行变形凑出
1
x
x
-的形式进行计算．
【详解】
3
=，
∴
2
2
1
239
x
x
=++==，
∴
1
7
x
x
+=，
∴
2
1
2725
x
x
=-+=-=，
∵01
x
<<，
=，
∴
1
x
x
=-=-
∴原式
=
==
=．
．
【点睛】
本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
15．-4
【分析】
先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】
解：当a＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(
解析：-4
【分析】
先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
－3时，
解：当a
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】
本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.
16．-
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：，即
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定
解析：
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案
【详解】
由题意可得：1
m
，即0
m
∴11m
m m m
m m
m
故答案为
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.
17．【解析】
【详解】
根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.
解析：
2
【解析】
【详解】
.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.
18．【解析】
上述各式反映的规律是
(n ⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).
故答案是： (n ⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;
=【解析】
上述各式反映的规律是
=n ⩾1的整数),
得到第5==n ⩾1的整数).
=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.
19．3
【解析】
∵ =，
∴=（a-2）2==3，
故答案为3.
解析：3
【解析】
∵
a =
∴244a a -+=（a-2）2=()2
22+=3， 故答案为3.
20．4
【分析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：=2，
由最简二次根式与能合并成一项，得
a-1=3．
解
解析：4
【分析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
能合并成一项，得
a-1=3．
解得a=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。