离散数学-2006`2007(2)-试卷A参考答案及评分细则

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西南科技大学2006——2007学年第2学期
《离散数学J 》期末考试试卷（A 卷）
一、解：图（1）不能一笔画出，（1分）因为图（1）中奇度数顶点数为4。

（2分）
图（2）能画出，比如：v3-v1-v2-v5-v4-v2-v3-v4。

(3分)
二、解：图（1）存在哈密尔顿回路，比如：v1-v2-v3-v4-v1。

（3分）
图（2）不存在哈密尔顿回路，（1分）因为，取V '={v1,v3}，则连通分支数w(G-V ')＝4＞|V '|＝2，因而该图不是哈密尔顿图。

(2分) 三、（4分）
四、解：由握手定理有：
()12deg n
i i m v ==∑ （2分）
故： 21×2 ＝ 12×3＋(n-12)×2
n=15 （1分） 所以，G 的顶点数为15。

（1分）
课程代码 1 4 3 1 4 0 3
2
命题单位
计算机科学与技术学院
软件教研室
西南科技大学2006——2007学年第2学期
《离散数学J》期末考试试卷（A卷）
五、解：最优二元树参考如下图：（4分）
W(T)＝3×3＋4×3＋5×3＋6×3＋12×1＝66 （1分）
六、解：
前序遍历：＋÷－×＋a×bcde＋fg××hij （3分）
中序遍历：a＋b×c×d－e÷f＋g＋h×i×j （3分）
后序遍历：abc×＋d×e－fg＋÷hi×j×＋（3分）
七、解：列公式(P→Q)∧(P→R)和P→(Q∧R)的真值表如下（真值表共8分，每项1分）：
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《离散数学J 》期末考试试卷（A 卷）
P Q R (P→Q)∧(P→R)P→(Q∧R)0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1
1 1 1
因为真值表的最后两列完全相同，所以公式(P →Q)∧(P →R)和P →(Q ∧R)等值。

（2分）
八、解： A ×B ＝{<2,2>,<2,3>,<2,9>,<5,2>,<5,3>,<5,9>} （4分）
r(R)={<2,3>,<3,9>,<2,2>,<3,3>,<9,9>} （2分） s(R)={<2,3>,<3,9>,<3,2>,<9,3>}（2分） t(R)={<2,3>,<3,9>,<2,9>}（2分）
九、解：设第一次考试得优的是集合A 1，第二次考试得优的是集合A 2。

则
12||501733A A =−=U （3分）
121212||||||||26213314A A A A A A =+−=+−=I U （5分）所以，
两次考试都得优的有14人。

（2分） 若画出文氏图给5分。

十、解：需求出带权图的最小生成树。

最小生成树如图所示。

（4分）
西南科技大学2006——2007学年第2学期
《离散数学J》期末考试试卷（A卷）
最低总造价为最小生成树的权W(T)=1+3+6+8+12=30。

（2分）
十一、解：令X={M1,M2,M3,M4,M5,M6}，Y＝{G1,G2,G3,G4,G5,G6}，根据题设作无向二部图如下所示：（4分）
从上图中求得一个最大匹配为：
M={(M1,G1)，(M2,G3)，(M3,G4)，(M4,G2)，(M5,G6)，(M6,G5)}（3分）
根据M对男女匹配，可使男女双方都有相互满意的舞伴。

（1分）
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《离散数学J 》期末考试试卷（A 卷）
十二、解：
（1）设T 中有x 个4度顶点，根据树的性质和握手定理有：（2分）
4＋2×2＋4x=2×(4+2+x)－2
由此解得x=1，即T 中有一个4度顶点。

（2分）
（2）符合题设条件的无向树有以下两种：
（每个3分） 十三、解：
（1）将G 中结点按v1，v2，v3，v4，v5排序，则G 的邻接矩阵为
010*******
0010001010001
0A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟
⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
（4分） （2）为了求G 中长度为4的路径数目，计算4A
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《离散数学J 》期末考试试卷（A 卷）
400020002020
0202000400020
2A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
= （2分） 所以长度为4的路径数为18（1分），长度为4的回路数为8（1分）。

（3）可达性矩阵为：
0111001110
0111001110011
1P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠（2分）
，000
0000
0000011100
1110011
1T P P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟
⎜⎟∧=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝
⎠
（1分） 所以该图具有3个强连通分支，因此不是强连通图。

（1分）。