2016届高三数学第一轮复习 函数模型及其综合应用教案 文

函数模型及其综合应用
一、知识梳理：（阅读教材必修1第95页—第106页）
1、常见函数模型
(1)一次函数模型:=kx+b(k,b为常数，且k)；
(2)二次函数模型:=a ；
(3)指数函数模型：=a,,b
(4)对数函数模型：=mlo,,,a
(5)幂函数模型：= a,,n
2、几类函数模型增长的差异
在区间（0,+）上，尽管函数=(a>1) ,=lo,= 都是增函数，但是它们的增长的速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，=(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于= 的增长速度，而=lo增长速度会越来越慢，因此，总会存在一个,当时，lo<<
3、函数模型的应用：
一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，解函数应用题的一般步骤：
（1）、阅读，审题；深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）外理数据，便于寻数据关系。

（2）、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

（3）、合理求解纯数学问题：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理的运算途径，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制及其他约束条件。

（4）、解释关回答实际问题：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前要检验，既要检验所求得的结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。

二、题型探究
【探究一】：利用已知函数模型解决函数应用题
例1：函数可以用来描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1）、证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；
（2）、根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127](121,133]当学习某学科6次时，掌握程度为80%，请确定相应的学科（）参考数据
【探究二】：构造函数模型解决函数应用问题
例2：某集团公司在2010年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理厂，如下表： 一期2010年投入1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益 2千万元 二期2012年投入4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益 4千万元 三期2014年投入2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益 4千万元
如果每期的投入从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x 年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f(x)的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

三、
方法提升
1、 根据根的存在定性定理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题
只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。

2、 判断函数零点的个数问题常用形结合的方法，一般将题转化为两个函数图象的交点问
题。

3、 在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体
的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在性定理的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。

四、
反思感悟：。

五、课时作业：
1．【2015高考天津】已知函数()()2
2,2,2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
（A ）7,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
由图象可知， 【考点定位】函数与方程、数形结合思想。

2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ B ）.
A. 1a >-
B. 1a <-
C. 1a >
D. 1a < 3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（ C ）
A. （-1，0）
B. （0，1）
C. （1，2）
D. （2，3） 4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ B ）.
A. [-10，-0.1]
B. [0.1,1]
C. [1,10]
D. (,0]-∞
5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ D ）.
A. 没有零点
B. 有2个零点
C. 零点个数偶数个
D. 零点个数为k ，k N ∈
6. （2013年高考新课标1（文））已知函数()f x =22,0
ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩
,若|()f x |≥ax ,则a
的取值范围是
A.(,0]-∞
B.(,1]-∞
C.[2,1]-
D.[2,0]- 【答案】D
7.函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是（ ）
【答案】Ｃ
8.函数cos622
x x
x
y -=-的图象大致为【答案】D
9.设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当
[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠
2π时 ，()()02
x f x π
'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ
10.【2102高考北京文5】函数x
x x f )2
1()(2
1-=的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
【答案】B 11.已知a=21.2
，b=
()
12
-0.2
，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为
（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a
【答案】A
12．函数2()56f x x x =-+的零点是 2或3 .
13.【2012高考上海文6】方程14230x x +--=的解是 【答案】3log 2。

14.已知函数211
x y x -=
-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围
是 .
【答案】10<<k 或21<<k 。

15．已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
f (x )
－3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38
1.23
2.77
3.45
4.89 解: 在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.
16．已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.
解：设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以{(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⋅<，即{
(21)10(107)10m m --⨯<-⨯<， ∴ 17
210
m -<<．
17．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：
（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；
解：（1）{
22(1)0
(4)42(1)(21)0
m m m m +≠-⨯+->，解得1m <且1m ≠-.
（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m 的取值范围.
（2）{2(1)0(0)210m f m +>=-<或{
2(1)0(0)210m f m +<=->. 解得1
12
m -<<.
18.【2012高考江苏17】）如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地
平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不
超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-
+>中，令0y =，得221
(1)=020
kx k x -+。

由实际意义和题设条件知00x >k >，。

∴2
202020=
==10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵0a>，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221
(1)=3.220
ka k a -+成立，
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

此时，()
()
2
222
2020464=
02a a a a k >a +
--+（不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【解析】（1）求炮的最大射程即求221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。

19.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里
A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
1249
y x =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
t 时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度（1）当0.5
的大小和方向
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
【答案】。