北师大版2020-2021学年度八年级数学第一学期期末综合复习培优训练题2(附答案详解)

北师大版2020-2021学年度八年级数学第一学期期末综合复习培优训练题2
（附答案详解）
一、单选题
1．按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是（ ）
A ．11m n ==，
B ．10m n ==，
C ．12m n ==，
D ．21
m n ==， 2．已知k=
abc abc abc c b a
+--+-++
==，且5m -+n 2+9=6n ，则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第（ ）象限． A ．一、二 B ．二、三 C ．三、四 D ．一、四
3．如图，A O B α∠=，点P 是A O B ∠内的一定点，点,M N 分别在O A O B 、上移动，当P M N ∆的周长最小时，M P N ∠
的值为（ ）
A ．90α+
B ．1
902
α+
C ．180α-
D ．1802α-
4．横店国际马拉松将于2015年5月17日鸣枪开跑，这个赛事的举办掀起了当地跑马拉松的热潮，如图是甲、乙两位马拉松爱好者在一次10公里的“迷你马拉松”训练中两人分别跑的路程y (公里)与时间x (分钟)的函数关系图象，他们同时出发，乙在75分钟的时候到达终点，并在终点等候甲，在甲跑完这个“迷你马拉松”的过程中，(1)甲前半程的速度是
16公里/分；
(2)乙在冲刺阶段的速度1
5
公里/分；(3)在前半程甲一直领先于乙；(4)甲与乙刚好相距0.1公里的次数是4次．以上说法正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图有一圆柱，高为8cm ，底面直径为4cm ，在圆柱下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A 相对的B 点处的食物，需爬行的最短路程大约为(取3π=)( ) A ．10cm B ．12cm C ．14cm D ．20cm
6．如图，正方形ABCD 的边长为10，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 是BC 上一动点，过点E 作EF 的垂线，交CD 于点G ，设BF =x ，FG =y ，那么下列图象中可能表示y 与x 的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A ．13 cm B ．4
cm C ．4
cm D ．52 cm
8．在求23456789
1666666666
+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
23456789
1666666666
S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：2345678910
66666666666
S =+++++++++……② ②-①得10
661S S -=-，即10
561
S =-，所以1061
5
S -=. 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出
2342018
1...a a a a a
++++++的值?你的答案是 A ．20181
1a a --
B ．201911a a --
C ．20181a a
-
D ．20191a -
9．甲、乙两人在笔直的公路上问起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地体息已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时向t （分）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A ．甲步行的速度为8米/分
B ．乙走完全程用了34分钟
C ．乙用16分钟追上甲
D ．乙到达终点时，甲离终点还有360米
10．如图．点A 在x 轴负半轴上，(0,33)B ，(3,0)C ，60
B A
C ︒∠=，(,)
D a b 是射线AB 上的点，连接C D ，以C D 为边作等边C D
E △，点(,)E mn
在直线C D 的上方，则下列结论正确的是（ ）
A ．m 随b 的增大而减小
B ．m 随b 的增大而增大
C ．n 随b 的增大而减小
D ．n 随b 的增大而增大
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 中，AB=6，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为_____。

12．如图，在四边形A B C D 中，6A
BA D ==，A B B C ⊥，A D C D ⊥，60B A D ∠=︒，点M 、N 分别在AB ，AD 边上，若::1:2A M M B A N N D ==，M E N C
⊥，则M E =______.
13．将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（7，3）所表示的数是__；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是__．
14．如图，在A B C △中8,4,A
B A
C B C A
D B C ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作P
E A B
⊥于点E ，连接PB ，则P B P E +的最小值为________.
15．已知点(1,0)A 和点(2,4)B ，在第二象限是否存在点P ，使得45A B P ∠=，_______，（填“是”或“否”）；请你写出其中一个满足条件的点P 的坐标______．
16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．
17．若()()2
2
2
2
331
0x y x y +++-+=，则22
2516
x y +=______. 18．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)⋯根据这个规律，第2019个点的坐标为___．
19．甲骑自行车从A 地出发前往B 地，同时乙步行从B 地出发前往A 地，如图的折线OPQ 和线段EF 分别表示甲、乙两人与A 地的距离y 甲、y 乙与他们所行时间x (h) 之间的函数关系，且OP 与EF 相交于点M.则经过_____小时，甲、乙两人相距3km. 三、解答题
20．如图所示，,D E 分别为A B C ∆的边,A B A C 上两点，将A B C ∆沿DE 折叠，点A
落在B C 边上的点F 处，连结,20,98A F B D F F E CB D F B A C ∠=∠-∠=∠，求B A C ∠的度数．
21．小明、小亮从保安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向保安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明150米时，小亮停在此地等候小明，两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场，如图，反映了两人所跑路程y （米）与所用时间x （秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题： (1)问题中的自变量是________，因变量是_________； (2) 小明共跑了________米，小明的速度为________米/秒；
(3) 图中a ＝________米，小亮在途中等候小明的时间是________秒； (4)小亮从A 跑到B 这段的速度为________米/秒； (5)求出b 的值．
22．如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为AD 上的一点，且AN ＝AD ，试猜测△CMN 是什么三角形，请证明你的结论．
23．首先，我们学习一道“最值”问题的解答：
问题：已知x ＞0，求3
+
x x
的最小值． 解答：对于x ＞0，我们有：2
33
2323⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪⎭
x x x x 当3
=
x x
，即3x =时，上述不等式取等号，所以3+x x 的最小值是23
由解答知，3
+
x x
的最小值是23. 弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题： （1）求2
2
4
+
x x 的最小值． （2）在直角坐标系 xOy 中，一次函数(02)=+>>、y k x b k b 的图象与 x 轴、 y 轴
分别交于 A 、 B 两点. ①求 A 、 B 两点的坐标；
②求当∆OAB 的面积值等于||||3++O A O B 时，用b 表示 k ；
③在②的条件下，求∆AOB 面积的最小值.
24．对于平面直角坐标系XOY 中的点A ，给出如下定义：若存在点B （不与点A 重合，且直线AB 不与坐标轴平行或重合），过点A 作直线m//x 轴，过点B 作直线n//y 轴，直线m 、n 相交于点 C ．当线段AC 、BC 的长度相等时，称点B 为点A 的等距点，称△ABC 的面积为点A 的等距面积．
例如：如图，点A(2，1)，点B(5，4)，因为AC=BC=3，所以点B 为点A 的等距点，此时点A 的等距面积为
9
2
. (1)点A 的坐标是(0，1)，在点B 1(－1，0)，B 2(2，3)，B 3(－2，－2)中，点A 的等距点为 ；
(2)点A 的坐标是(－3，1)，点A 的等距点B 在第三象限，且点A 的等距面积等于98
，求此时点B 的坐标.
25．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB ＝6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标
为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．
26．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE。

求证：AC－AB ＝2BE.
27．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，AD与y轴交于点E，连接BE，已知点A（﹣3，0）、B（3，0）、C（7，4），点G为对角线BD上一点，过点G作y轴的平行线交BE于点F，点M、N是线段BE上的两个动点（点M在点N
的上方），且MN＝9
2
8
，连接GN、DM．
（1）求△BDE的面积；
（2）若GF＝3
2
，求DM+MN+NG的最小值，此时在y轴上有一动点R，当|GR﹣NR|
最大时，求点R的坐标；
（3）在（2）的条件下，把△GFB绕点B逆时针旋转一个角a（0°＜α＜180°），在旋转过程中，直线GF与直线BE、x轴分别交于点P、点Q，当△BPQ是以B为顶点的等腰三角形时，求出PQ的长以及相应的旋转角α的度数．
28．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐
标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y＝2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y＝2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．
29．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
逐项代入，寻找正确答案即可.
【详解】
解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；
B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；
C选项满足m≤n，则y=2m-1=3；
D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；
故答案为D；
【点睛】
本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确的所代入代数式及代入得值.
2．A
【解析】
5
m-+n2+9=6n，
（n-3）2=0,
∴m=5,n=3,m+n=8,
k=abc abc abc
c b a
+--+-++
==
ck=a+b-c,bk=a-b+c,ak=-a+b+c,
k(a+b+c)=a+b-c+a-b+c-a+b+c=a+b+c, a+b+c 0
≠，k=1,
a+b+c=0，k=-2,
y=x+8,y=-2x+8
所以图象一定过1,2象限.选B.
3．D
【解析】
【分析】
过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解. 【详解】 解：
过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12P P ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.
此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】
求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键. 4．D 【解析】 【分析】
根据函数图象，获取时间、路程，根据速度=路程÷时间，即可解答（1）（2）；观察据函数图象可知，在前半程甲的函数图象在乙的函数图象上方，所以在前半程甲一直领先于乙，故（3）正确；分别表示出甲、乙在各个时间段的函数解析式，根据甲与乙刚好相距0.1公里．列出方程即可解答． 【详解】
甲前半程的速度是：5÷
30＝1
6
(公里/分)，故(1)正确； 乙在冲刺阶段的速度为：(10﹣9)÷
(75﹣70)＝1
5
(公里/分)，故(2)正确； 根据函数图象可知，在前半程甲的函数图象在乙的函数图象上方，所以在前半程甲一直领先于乙，故(3)正确；
当0≤x ≤30时，16y x =甲， 当x ＞30时，520707
y x =+甲， 当0≤x ≤70时，970
y x =乙， 当70＜x ≤75时，135y x =-乙， 甲与乙刚好相距0.1公里时，即，
190.1670x x -=，解得：218
x =， 5209x x 0.170770+-=，解得：1934
x =， 95200.170707x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：2074
x =， 520100.1707x +=-，解得：4935
x =， ∴甲与乙刚好相距0.1公里的次数是4次，
故(4)正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了一次函数的运用，待定系数法求一函数的解析式的运用，路程=速度×时间的运用，在解答时利用函数解析式建立等量关系求解是关键．
5．A
【解析】
【分析】
首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB 最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将此圆柱展成平面图得：
∵圆柱的高等于8cm ，底面直径等于4cm （π=3），
∴AC=8cm，BC=1
2
BB'=
1
2
⨯4π=6(cm)
∴=10（cm）．
答：它需要爬行的最短路程为10cm．
故选:A
【点睛】
本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可知BD=，当F为BC的中点时FG=y是x的二次函数，据此解答即可．
【详解】
B
当F为BC的中点时FG的值最大，最大值为，
且y是x的二次函数，
故选B．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，
∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，
8．B
【解析】
【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a2+a3+a4+…+a2019的值是多少即可．
【详解】
∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，
∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，
②-①，可得aM-M=a2019-1，
即（a-1）M=a2019-1，
∴M=
20191
1
a
a
-
-
.
故选：B.
【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
9．D
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故选项A不合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故选项B不合题意，
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故选项C不合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．B
【解析】
【分析】
先证出△ABC为等边三角形，再求得OA，AB的长，分情况讨论：当点D与点A重合时，点E与点B重合；当点D运动到线段AB中点时，E的坐标变化情况，结合排除法可得解．【详解】
∵∠BAC=60°，∠BOA=90°
∴∠ABO=30°
又∵B（0，），C（3，0）
∴，OC=3，从而△ABC为等边三角形
设OA=x，则AB=2x
∴x22=4x2
解得x=3，即OA=3
∴AB=6
∵以CD为边作等边△CDE
∴当点D与点A重合时，点E与点B重合，此时a=-3，b=0；m=0，n=33当点D沿着射线AB方向移动时，b变大，显然m也变大，故排除A，但m是否一直变大尚不确定；
假设当点D运动到线段AB中点时，由等腰三角形的三线合一性质知CD⊥AB，AD=3，AC=6，∴CD=33，∠ACD=30°
∴∠ACE=90°
∴n=33
此时n的值与点E在点B时的n值相同，故排除C和D
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的三线合一性质，角的性质，解题时恰当运用排除法是解题的关键．11．35
【解析】
【分析】
连接DE，交AC于点P，连接BD．点B与点D关于AC对称，DE的长即为PE+PB的最小值,根据勾股定理即可得出DE的长度.
【详解】
连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=6，E是BC的中点，
∴CE=3，
在Rt△CDE中，
DE=22C D C E + =2263+
=45
=35.
故答案为35．
【点睛】
主要考查轴对称，勾股定理等考点的理解，作出辅助线得出DE 的长即为PE+PB 的最小值为解决本题的关键.
12．3217
． 【解析】
【分析】
连接AC ，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC 的长，然后根据勾股定理求得CM 的长，连接MN ，过M 点作ME ⊥CN 于E ，则△MNA 是等边三角形求得MN=2，设NE=x ，表示出CE ，根据勾股定理即可求得ME.
【详解】
6A BA D ==，::1:2
A M M
B A N N D ==， 2A M A N ∴==，4
B M D N ==． 如图，连接MN ，A
C ．
A B B C
⊥，A D C D ⊥，60B A D ∠=︒， 且在R t A B C ∆与R t A D C ∆中，,,AB AD AC AC =⎧⎨=⎩
()
R t A B C R t A D C H L ∴∆∆≌，
1302
B A
C
D A C B A D ∴∠=∠=∠=︒，M C N C =， 12
B C A C ∴=， 222A C B CA B =+，即()222
2B C B C A B =+， 整理得223B C A B
=，
B C ∴=∴在R t B M C ∆中，． A N A M
=，60M A N ∠=︒， M A N
∴∆是等边三角形， 2
M N A M A N ∴===．
设N E x =，则C E x
-，
2222M N N E M C E C ∴-=-，即)22
24x x -，
解得x =，
E C ∴，
M E ∴． 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13；
【解析】
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m ﹣1排有（m ﹣1）个数，从第一排到（m ﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m ﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
1+2+3+4+5+6+3=24，24÷4=6，则（7，3；
由图可知，（5，2；
∵第19排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+19=190，则（20，17）表示的是第190+17=207
个数，207÷4=51…3，∴（20，17，∴（5，2）与（20，17）表示的两数
．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
14
【解析】
【分析】
根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案
【详解】
∵8,A B A CA D B C ==⊥
∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时P B P E
+最小 ∵8,4,A B A C B C A D B C ===⊥
∴BD=2
在Rt △A BC 中， ∵S △ABC=1122
B C A D A B C E ⋅⋅=⋅⋅
∴8C E
=
得C E
故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 15．是； （答案不唯一）(3,1)-
【解析】 【分析】
本题通过画图构造等腰直角三角形解决问题，再利用勾股定理以及勾股定理逆定理，解决问题.
【详解】
解法一：
如图，构造等腰直角三角形，当P 点在如图位置时，AB 2=12+42=17，AP 2=42+12=17, PB 2=52+32=34,则PB 2= AB 2+ AP 2，PB=AB,所以△PAB 是等腰直角三角形，所以
45A B P ∠=。

即使得45
A B P ∠=，点P 的坐标（-3,1）．
解法二：
还可构造如上图的等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理在平面直角坐标系中的应用，可以在坐标系中构造出图形是解答此题的关键.
16．71
-
【解析】
【分析】
分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB 是正方形，在Rt△ABC中，2222
=
--，
543
C
A
C B
B
=A
∴AP的最大值为A P1=AB=3
如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt△PCD中，2222
=
43
--
=
7
P
D
=
P
C C
D
∴AP 的最小值为A D P D =-
线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1
A P A P =1-
1-
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
17．1．
【解析】
【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.
【详解】
两边平方得，()()
22223=103x y y ++-+
整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x
-++=-+ 所以，221625400x y += 两边除以400得，22
2516
x y +=1. 故答案为1.
【点睛】
本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.
18．（45,6）
【解析】
【分析】
根据图形推导出：当n 为奇数时，第n 个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所有正方形共有（n+1）2个点，且终点为（1，n ）；当n 为偶数时，第n 个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有（n+1）2个点，且终点为（n ＋1，0）. 然后根据2019=452
－6，可推导出452是第几个正方形连同前边所有正方形共有的点，最后再倒推6个点的坐标即为所求.
【详解】
解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为（1,1）； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为（3,0）； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为（1,3）； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有25=52个点，且终点为（5,0）； 故当n 为奇数时，第n 个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所有正方形共有（n+1）2个点，且终点为（1，n ）；当n 为偶数时，第n 个正方形每条边上有（n+1）个点，连同前边所以正方形共有（n+1）2个点，且终点为（n ＋1，0）.
而2019=452－6
n+1=45
解得：n=44
由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为（45,0），由图可知，再倒着推6个点的坐标为：（45,6）.
故答案为: （45,6）.
【点睛】
此题考查的是图形的探索规律题，根据图形探索规律并归纳公式是解决此题的关键. 19．3
8或58
【解析】
【分析】
根据题意可知，先求出直线O P 的解析式、直线EF 的解析式，和直线P Q 的解析式，由=
3y y -甲乙，可求出t 的值. 【详解】
由图像可知：(0.5,9)M
,(2,0)F 设直线O P 的解析式为1y =k x 甲 ，直线EF 的解析式为2y kx b =+
乙. 将(0.5,9)M 代入1y =k x ，即可得：118k =，
∴ 直线O P 的解析式为y =18x
将(0.5,9)M ,(2,0)F 代入2y kx b =+，即可得：2219202k b k b
⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ ，得2612k b =-⎧⎨=⎩. ∴直线EF 的解析式为612y x =-+乙
. 当3y y -=甲乙时，612183x x -+-=，即得38
x =， 当3y y -=乙甲
时，18(612)3x x --+=，即得58
x =， ∴甲、乙两人相距3km 时，经过38或58
小时， 故答案为：
3588
或 【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，熟知如何求正比例函数和一次函数的解析式是解题关键.
20．90B A C ∠=︒
【解析】
【分析】
本题给出两个等量关系，可以设出两个未知数，然后在运用折叠的性质，即可完成解答.
【详解】 设F E C x ∠=︒，B A C y ∠
=︒， 由三角形折角图知2B D F F E C B A C ∠+∠=∠，则可列方程组(
)202y 9208x x x y -+=⎧⎨-=⎩ ∴解得100x =，90y =，
即90B A C ∠=︒
. 【点睛】
本题考查了折叠的性质及二元一次方程组的应用，题中含有多个等量关系，可先设出未知数，简化等式，再根据题意，寻找等式间的联系，从而寻得解答问题的思路.
21．所用时间x ，两人所跑路程y ，900，1.5，750，100，2.5，400．
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可得到结论；
（2）终点D 的纵坐标就是路程，横坐标就是时间；
（3）首先求得C 点对应的纵坐标，即a 的值，则CD 段的路程可以求得，时间是560−500＝60秒，则小亮跑步的速度即可求得；B 点时，所用的时间可以求得，然后求得路程是150米时，小明用的时间，就是小亮出发的时刻，两者的差就是所求；
（4）根据题意即可得到结论．
（5）根据题意即可求得b 值.
【详解】
解：（1）问题中的自变量是所用时间x ，因变量是两人所跑路程y ；
（2）根据图象可以得到：小明共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600＝1.5米/秒；
（3）过B 作x 轴的垂线，垂足为b ．
小明跑500秒的路程是a ＝500×1.5＝750米，
小明跑600米的时间是（750−150）÷1.5＝400秒，
小亮在途中等候甲的时间是500−400＝100秒．
（4）小亮跑步的速度是750÷（400−100）＝2.5米/秒，
（5）7502.5100400
b =÷+=秒 答案为：所用时间x ，两人所跑路程y ，900，1.5，750，100，2.5，400．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际运用，正确识别函数图象，观察图象提供的信息，利用信息解决问题．
22．△CMN 是直角三角形，理由详见解析．
【解析】
【分析】
由已知可求得AM ，AN 的长，根据勾股定理可求出MN 的长，同理可得MC ，NC 的长，根据勾股定理的逆定理可知三角形CMN 是直角三角形．
【详解】
猜想：△CMN 是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD 的边长为4a ，则AM =2a ，AN =a ，DN =3a ．
在Rt △AMN 中，由勾股定理得：MN 2=5a 2．同理可得：CN 2=25a 2，CM 2=20a 2．
所以MN 2＋CM 2=CN 2．
所以△CMN 是直角三角形．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的逆定理，正方形的性质．设出正方形ABCD 的边长是解题的关键．
23．（1）4；（2）①（-b k ，0）（0，b ）；②k=222b 6
b b -+；③ 【解析】
【分析】
（1）把原式化成平方的形式求解，即化成22
4+x x =24-4x x +（）求解即可. （2）①一次函数(02)=+>>、y k x b k b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，
分别令y=0 ，x=0，求出即可；
②用k 和b 表示出三角形的直角边的长，从而表示出面积，和△OAB 的面积值等于|OA|+|OB|+3列成方程，用b 表示k ；
③设x=b-2，则b=x+2，根据题干中第二问所给的解答过程得到提示，配方后求得x 成立时的最小值．
【详解】
解：（1）22
4+x x =2-42x x +（） 2
3
x
x ⎫+
∴24x x +
∴2224-4=4x x
+≥ （2）①一次函数(02)=+>>、y k x b k b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点
∴分别令y=0 与x=0
∴当x=0时，y=b ；当y=0时，x=-
b k ∴A 、 B 两点的坐标分别为（-b k
，0）（0，b ）
②当x=0时，y=b ；当y=0时，x=-
b k ． 所以|OA|=b k
，|OB|=b ． ∴S △OAB =12|OA|•|OB|=2
2b k
． ∴22b k =b k
+b+3， ∴222b b k -=b+3，k=222b 6
b b -+． ③S △OAB =22b k =()()222263222b b b b b b b ++=--． 设x=b-2，则b=x+2．
S △OAB =()()2232x
x x +++ =2710x x x
++=x+10x +7
-2≥．
上述不等式等号在时成立．
故△OAB 面积最小值是．
【点睛】
本题考查一次函数的综合运用，以及活学活用的能力，和配方法求最值的情况．
24．(1)点B 1,B 2；（2）9131,,2222B B ⎛⎫⎛⎫---- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
或 【解析】
【分析】
(1)根据题目示例即可判断出点A 的等距点为B 1， B 2 ；
(2)设点B 的坐标为(x ，y)(x ，y<0)，由题意则有|x-(-3)|=|y-1|且()219x 328--= ，解方程即可求得答案.
【详解】
(1)根据等距点的概念画图如下，
可知AC 1=B 1C 1，AC 2=B 2C 2，AC 3≠B 3C 3，
所以点A 的等距点是B 1、B 2， 故答案为：B 1、B 2；
(2)设点B 的坐标为(x ，y)(x ，y<0)，
则有|x-(-3)|=|y-1|且()219x 328
--= ， 解()219x 328--=得：1293x x 22
=-=-，， 解219y 128-=得：1215y y (22
=-=，舍去)， 所以91B 22，
⎛⎫-- ⎪⎝⎭或31B 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，. 【点睛】 本题主要考查阅读理解型问题，此类问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.
25．（1）（3，4）（2）点P 的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD 上时，②当点P在边AB上时，假设出P点坐标，在每种情况中再分情况讨论，分别求出点P关于x轴和y轴的对称点，代入直线解析式列出方程即可解决问题；
【详解】
（1）∵点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，
∴∠DCB>90°，即PD为最长边，
∵PD=CD，
∴点P与点C重合，
∵CD＝AB=6，D（-3，4），
∴点P坐标为（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，
∵A（1，-4），D（-3，4），
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，
∴点P关于x轴的对称点为Q1（a，2a+2），
∵Q1在直线y＝x﹣1上，
∴2a+2＝a﹣1，
解得a＝﹣3，
此时P（﹣3，4）．
∵点P关于y轴的对称点为Q3（﹣a，﹣2a﹣2），且Q3在直线y＝x﹣1上时，
∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，
解得a＝﹣1，
此时P（﹣1，0）
②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，
∵P关于x轴的对称点为Q2（a，4），且Q2在直线y＝x﹣1上，
∴4＝a﹣1，
解得a＝5，
此时P（5，﹣4），
∵点P关于y轴的对称点为Q4（﹣a，﹣4），且Q4在直线y＝x﹣1上，
∴﹣4＝﹣a﹣1，
解得a＝3，
此时P（3，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题是解题关键.
26．见解析.
【解析】
【分析】
延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，∴
AC-AB=AC-AM=CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM 利用等量代换即可求证．
【详解】
证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1
同理，∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE.
【点睛】
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE 交AC 于M ，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题.
27．（1）3；（2）150,
22R ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PQ ＝32，α＝135°或PQ ＝3 ﹣3，α＝157.5°． 【解析】
【分析】
（1）由平行四边形性质求出D （1，4），用待定系数法求得直线AD 的解析式y=x+3，令x=0求得E （0，3），再求△BDE 的面积；
（2）用待定系数法分别求得直线BD 、BE 的解析式y=-2x+6和y=-x+3，根据GF ∥y 轴，设G （m ，-2m+6），F （m ，-m+3），由题意得GF=-2m+6-（-m+3）=3m 32-+=解得m 32=，得G （32，3），利用轴对称求线段和最小值的方法，求得D 217,88⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再根据线段差的最大值的求法可得R （0，
1522）； （3）△BPQ 是以B 为顶点的等腰三角形，结合题目分类讨论，在旋转过程中，直线GF 与x 轴的交点Q 在点B 左侧时，∠BQP ＞90°，当点Q 在点B 右侧时（如图2），分三种情况：①∠BQP=∠PBQ=45°，②∠BQP=∠BPQ=67.5°，∠BFG=135°，③∠BQP=90°，∠QBP=∠BPQ=45°．
【详解】
解：（1）∵▱ABCD
∴CD ∥AB ，CD ＝AB ＝6
∵C （7，4）
∴D （1，4）
设直线AD 解析式为y ＝kx+b ，将A （﹣3，0），D （1，4）代入得034k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得k 1b 3=⎧⎨=⎩
，
∴直线AD 解析式为y ＝x+3，令x ＝0，得y ＝3， ∴E （0，3）
∴S △BDE ＝S △ABD ﹣S △ABE ＝
12×6×4﹣12
×6×3＝3 （2）设直线BE 解析式为y ＝k 1x+b 1，将B （3，0）、E （0，3）代入得1113k b 0
b 3+=⎧⎨=⎩，解得
11
k 1
b 3=-⎧⎨=⎩， ∴设直线BE 解析式为y ＝﹣x+3，
设直线BD 解析式为y ＝k 2x+b 2，将B （3，0）、D （1，4）代入得22223k b 0k b 4+=⎧⎨+=⎩，解得22
k 2
b 6=-⎧⎨=⎩，
∴设直线BD 解析式为y ＝﹣2x+6，
设G （m ，﹣2m+6），F （m ，﹣m+3），由题意得GF ＝﹣2m+6﹣（﹣m+3）＝﹣m+3＝3
2
，解得m ＝3
2
， ∴G （
32，3），F （32，32
）； 如图1，∵OB ＝OE ＝3 ∴∠OBE ＝45° ∴OE ＝OB
BE
∵MN
∴点M 分别向右向下平移
9
8
个单位得到点N ， 作点D 关于直线BE 得对称点D 1，连接D 1M ，过点N 作D 2N ∥D 1M 且D 2N ＝D 1M ， ∴D 1（﹣1，2），D 217,88⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴DM+MN+NG ＝MN+D 2N+GN ，
∴当D 2、N 、G 在同一直线上时，D 2N+GN ＝D 2G 为最小值，
∵D 2G
∴DM+MN+NG
∵当点R 、N 、G 在同一直线上时，|GR ﹣NR|最大， ∴点R 是直线D 2G 与y 轴的交点．
设直线D 2G 解析式为y ＝k 3x+b 3，将2173D ,,G ,3882⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得3333
1
788
33
2k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得3317k 11
15b 22
⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩， ∴直线D 2G 解析式为1715y x 1122=+，令x ＝0，得y ＝1522
∴R （0，
15
22
）． （3）∵△BPQ 为等腰三角形，∠PBQ ＝45°， ∴∠BQP ＝45°或67.5°或90°
△BFG 中，∠BFG ＝180°﹣∠GFE ＝180°﹣45°＝135°
，1
B F B E 2= 在旋转过程中，直线GF 与x 轴的交点Q 在点B 左侧时，∠BQP ＞90°，当点Q 在点B 右侧时（如图2），分三种情况： ①∠BQP ＝∠PBQ ＝45°， ∴∠BPQ ＝90°
∴∠FBQ ＝∠BFG ﹣BPF ＝135°﹣90°＝45°， ∴∠FBQ ＝90°，3
P Q B Q B F 22222
===⨯=
∴旋转角α为135°．
②∠BQP ＝∠BPQ ＝67.5°，∠BFG ＝135°， ∴∠BFQ ＝45°，过点B 作BM ⊥PQ 于M ，
22323
B M B F 2222
∴==⨯=，在BM 截取ML ＝MP ，连接PL ，
∴∠PLM ＝∠MPL ＝45°，∠BPL ＝∠PBL ＝22.5° ∴BL ＝PL ＝2PM
33323
2P M P M ,(21)P M ,P M 222
-∴+=+==
∴PQ ＝2PM ＝32﹣3．∠QBF ＝∠BFG ﹣∠BQP ＝135°﹣67.5°＝67.5° ∴∠EBF ＝180°﹣67.5°+45°＝157.5° ∴旋转角α为157.5°． ③∠BQP ＝90°时，
旋转角α＝180°，∵0°＜α＜180° ∴不符合题意． 综上所述，PQ ＝
3
2
，α＝135°或PQ ＝32﹣3，α＝157.5°．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，线段和得最小值及线段差的最大值问题，还考查了图形的旋转变换和等腰三角形得分类讨论问题，是一道有深度有难度得好题目．
28．（1）D （4，14）；（2）（4，2）或（283，383）或（203
，22
3）． 【解析】 【分析】
（1）根据题意可知AD ＝AP ，作辅助线,证明△ADE ≌△PAF （AAS ），求得OE,代入函数解析式即可求得D 坐标,。