力学专业课程毕业论文高速回转圆盘的应力与应变理论分析

高速回转圆盘的应力与应变理论分析
由于结构在真空环境下进行髙速的回转运动，在支撑、阻力的影响都忽略的情况下，首先想到结构是由于离心力的作用而发生的破坏。

目前工程上常用的计算髙速回转圆盘的方法有两种：一种是二次应力法，它是将圆盘简化为平面应力问题来求解，列出力平衡的微分方程;另一种方法是采用有限元法。

一、轮盘应力分析的一般理论
回转圆盘的应力应该是三向应力，即径向应力周向应力轴向应力但由于轴向应力通常较径向
应力和周向应力小得多，可认为回转圆盘仅受两向应力而把轴向应力 O■。

略去不计。

对于轴向厚
度小于外直径1/4的薄圆盘是比较合适的。

图所示圆盘，盘的内半径为心，外半径为尺°,厚度y比外半径要小得多，且随半径r 而变化。

当该盘以角速度回转
①在回转圆盘上切岀一个微块，当圆盘以角速度血旋转时，该微块的离心力为
dp = dm・厂ar = pdV ・ rco" = pyrco^drdO
图x・x变厚度圆盘在离心力作用下受力分析 a）对微元体进行受力分析：
微元体所受到的载荷：①上表而径向力小②下表面径向力碍：③轴向载荷久
④离心力dp
b)对微元体列写平衡方程：
de dy d0 7 ?
(er,. + —— Jr)(y +—Jr)(r + dr)dO一a r yrdO一2(r&ydrsin ——+ pyrco^drdO = 0 dr dr 2
由于是一个微量，所以sin —
2 2 整理上式，并略去髙阶微量得
E / x E (du
咕口7(6*＞刁乔七 刃=(% + 〃£)=__r —+“
1 一“
1一〃 "
经化简，并令如得
即为任意不等厚回转圆盘在离心力作用下产生变形的微分方程。

二.几种特殊情况
2.1等厚度盘
对于等厚度盘，尸常量，因此—=0,叫翌=0 dr dr 于是
d^it 1 du u
一 + ------ -- — = -Ar
dr r dr 厂
几何方程: 物理方程:
(2,2)
(2,4)
f 1 丄〃(In y)) du 'M(ln y) _ 1 L lr
dr ) dr
k rdr
r 2 丿
(2,5)
(2,6)
将上式代入式
d 2u
= -Ar
或者
1 cl(ur)= -Ar
积分得“ =—d/+c/+£i,式中G G为积分常数。

8 /•
E C
刃=——r(i+“)C]+(i-“)4»-(i+
式中：r—应力计算处的半径，m；
b『、刃一计算处的径向应力和周向应力，Pa。

由于圆心处（尸=0）的应力、为一有限值，C?必须为零，否则b,.、oy会趋向无穷大，与实际结构情况不符。

把r = = 0的条件代入应力分虽式得C严土恥2疋
8
在盘心厂=0处
(240) 即盘中心处的周向应力与径向应力相等，为最大值。

例子：直径为20mm的圆盘，绕其中心轴旋转，旋转的角速度为3140m〃/s,材料的密度为7.9x10」"也〃F,弹性模量E=210000M M，泊松比“ = 0.3,在转过程中圆盘的应力值。

解：由空心圆盘的径向应力和轴向应力公式
b严宁（用一小
(24D 因为b八都是半径'•的减函数，所以令7 = 0得到6、的最大值
即
(243)
= ^-^x7.9xlO _9x314O 2xlO 2
8 = 3・212M/M
C 严尹£啟屁+用） 1 + “ 8
所以: er, = 3.2X2 Mpa,a ,2 = 3.2X2 Mpa,cr 3 = 0
由米塞斯等效应力计算公式: = ^1X (3.2 1 22 + 3.2 1 22)
相对误差:
图X. X 算例仿真结果
(3.21-3.207)
= --------------- =0.09%
2.2空心盘 1.自由回转
边界条件：
可得
(242)
+ (a 2-CT 3)2+((T 3-CT 1)2]
=32\Mpu
1一〃 8
(243)
自由回转空心盘的应力和位移为:
空心盘的最大周向应力（^）max 在内径处，即/=/?,处。

而最大径向应力（cr r ）max 在 ,・ = J 顽处，因此
4 3 + “ R]
(6也=(叽吓=¥^如(& 一用)'V(b&)max
'
O
小结：
（1）6和巾仅与圆盘自身离心力有关，它们取决于圆盘尺寸、材料性能和转速的大小; （2） 圆盘中的最大应力是内孔的周向应力，即 % =（讥。

盘的内径趋向于零而又不等 于零时，即盘上有一微孔时，其最大应力（^）max = —，比实心盘的最大应力大 4 了一倍，所以有一小孔的应力集中系数为2：
（3） 圆盘的外径一泄时，内孔越大其周向应力也越大。

应力沿圆盘径向的分布：从周向应 力分布看，其数值随半径r 增大而减小。

因此从强度观点看，截面呈锥形的圆盘比等厚度圆 盘更为合理。

图X. X 径向应力与周向应力随半径的变化
2・3边界上受外力作用的静止盘
■如 &+R ：-尸 3 +“
如佃+心严宀徑
(244)
2誥尿+宀+舄）学"
(245)
(246)
(249)
圆盘静止，转速11 = 0.此时，转盘的边界条件为
r = R ； 6 =_p ； r = R°
一 p° ...................................................... (2，17)
得到应力
厅_1居一卩尺5-几）疋代
r Rl-R-
（疋-用）尸
_P 尺一P “R ：⑴-化用屁
图x. x 边界上受外力作用的静止盘受力分析图
2.3工作的圆盘
圆盘在高速回转工作时，既有自身质量离心力的作用，在边缘上又有外力的作用, 根据应力叠加原理，它们的应力为：
=P^-PX —牛冬聲+巴如用+ RZ
r 疋一用
/?;-/?/ r 2 8
t
=P ^-P .R ； *
吁卩 R ：R ； 3 *& + R ：
R ： — R ： R ： — R ； r 2
8
t
㈢等厚度盘的应力讣算系数
将假左已知圆盘内径&处的应力和代入式
(1 + “)C] 一 (1 一 “) 2 — (3 + //)些
厂 8
C
4 r 2
T (l + “)C]+(l_“)4"_(l + 3“)h r o 得:(248)
E
E 刃=------- 2
1一“
(2,18)
2 1 +
3〃
将积分常数C-C?代入式
「 Ar 2
(I +“)G —(I —“)亠(3+〃)= 广 8
C Ar 2
(1 + “)G + (1 - “) * 一 (1 + 3“)-— 广
8 并代入A = pco 1]-^-,整理得:
E
- b” + - b& + 刍[2(1 + //)x 2 +(1-p)x 4-(3 + “)] 2 2
o
-6 + — % + £[2(1 + A)x 2 一(1 一;/)x 4-(1 + 3“)]心 2
2
o
R
式中：X ——半径比，兀=丄；
r
r ——应力计算处的半径，m ；
b”、—内孔处径向应力和周向应力，Pa ； b 『、—计算处的径向应力和周向应力，Pa ： 为了便于应用，改写为
6 = as + a 皿 + a c T 巧=0,6+0皿+0" 式中：
冷(1 + »)
a =2.68x1010[2(1 + ;/)x 2 + (1 -“)x 4 - (3 + //)]
Pa /(—)2
解得
F c
6= -------y (1 + //)C)- (1 - //) —7- - (3 + //)
1-" 「
E 巾= 2
T (1 + “匕+(1—“)°2 Ar 1 ~s~_
Ar 2
.(1 + 3//) — r 8 (2,20)
「
1 一“一，1 一"
C. = ----- b” +-----
2E 2E
乂；
%+
4
龙 Rg —兰 R&JR ： E 丐=匚7 E
刃=——- 1一"
(2,21)
s
p e = 2.68 x 1010[2(1 + “)/ 一 (1 一 //)/ 一 (1 + 3//)] P a /(—)2
D—计算应力处的直径，m；
n—圆盘转速，厂/min。

小结:利用理论验证简单的盘类模型在高速旋转过程中，离心力所引起的应力和应变的关系，进而说明仿真结果的正确性。

以同样的加载方式，加载到零件上而，说明对于零仿真分析是正确的，结果是可信的。

破坏的位苣不同，有可能是因为结构的形状不同。

在结构运转过程中，不是因为离心力这种单一载荷所引起的破坏，还可能在高速的回转运动中，由于结构不对称，而导致的偏心振动，使得结构发生破坏。