艺术生高考数学专题讲义：考点60 极坐标与参数方程

sin 30° 5
3
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5. 5
当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5. 5
x＝1＋4cosθ
变式训练 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
(θ为参数)，直线
y＝2＋4sinθ
π l 经过定点 P(3，5)，倾斜角为 .
方程为 x2＋y2－2y＝0.
变式训练
（2015 江苏）(本小题满分 10 分)已知圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2
θ－π 2ρsin 4 －4
＝0，求圆 C 的半径．
解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐
标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2
2ρ
(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)．
| | α－π
所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4 sin 3 .
当α＝5π时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 6
变式训练
3
(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|·|PB|的值．
解析 (1)曲线 C 的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
x＝3＋1t 2
直线 l 的参数方程： y＝5＋
3t(t 为参数)．
2
(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的标准方程可得 t2＋(2＋3 3)t－3＝0，
4
得ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
故ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.
由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 为等腰直角三角形，
所以△C2MN
的面积为1. 2
3，π 4，π 变式训练 在极坐标系中，已知两点 A、B 的极坐标分别为 3 、 6 ，求△AOB(其
中 O 为极点)的面积．
x＝5＋ 3t， 2
（2015 湖南理）已知直线 l： y＝
3＋1t
2
(t 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值． 解析 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.① 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.②
知直线 l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线 C 的参数方程为 y＝t＋1 t
(t 为参数)，
l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝________.
答案 2 5
解析 直线 l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0 化为直角坐标方程为 3x－y＝0，曲线 C 的参
x＝f（t），
一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么
就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方
y＝g（t）
程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致．
6．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称
普通方程
参数方程
直线 圆
椭圆 抛物线 双曲线
y－y0＝k(x－x0)
(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 ax22＋by22＝1(a>b>0) y2＝2px(p>0) ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
设 t1，t2 是方程的两个根，则 t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
解题要点 1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方
程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
2．根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：
过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对应的参数分别为 t1，t2.
(1)弦长 l＝|t1－t2|； (2)弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
题型四 极坐标、参数方程的综合应用
例 4 （2015 新课标Ⅱ文）(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
解析 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－
4
梦想不会辜负每一个努力的人
2 3x＝0.
x2＋y2－2y＝0， 联立
x2＋y2－2 3x＝0，
x＝0， 解得
y＝0，
x＝ 3， 2
或 y＝3. 2
3，3 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 2 2 .
a，π (3)圆心在点 2 处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ. 5．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参
数方程得到普通方程．
1 梦想不会辜负每一个努力的人
(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
题型二 极坐标方程的应用 例 2 （2015 新课标Ⅰ文）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－ 2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程．
或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
题型三 参数方程的应用
例3
(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线
C：x2＋y2＝1，直线
l：
x＝2＋t， (t
为参数)．
49
y＝2－2t
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
解析 依题已知直线 l：2ρsin 4 ＝ 2和点 A
4 可化为 l：x－y＋1＝0 和 A(2，-2)，
所以点 A 到直线 l 的距离为 d＝|2－－2＋1|＝5 2. 12＋－12 2
5．（2015 湖北理）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
x＝t－1， t
2. 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，
直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
当堂练习
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________． 答案 ρcos θ＝1 解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为 x＝1，其极坐标方程为 ρcos θ＝1.
5 梦想不会辜负每一个努力的人
x＝1＋tsin70°，
2．直线
(t 为参数)的倾斜角为________．
y＝2＋tcos70°
答案 20°
x＝1＋tcos20°， 解析 将直线参数方程化为标准形式：
y＝2＋tsin20°
(t 为参数)，则倾斜角为 20°.
3. 极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________．
考点六十 极坐标与参数方程
知识梳理
1．极坐标系 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选一个长度单 位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标 系．
设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox
π
π
3， 4，
解析 由题意知 A，B 的极坐标分别为 3 、 6 ，则△AOB 的面积 S△AOB＝
1OA·OB·sin∠AOB＝1×3×4×sinπ＝3.
2
2
6
解题要点 1.弄清极坐标方程中的ρ和 θ的几何意义，利用数形结合思想解题
2.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，
2sin θ－ 2cos θ
2
2
－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆 C 的半径为 6.
解题要点 极坐标与直角坐标互化的注意点：
2 梦想不会辜负每一个努力的人
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极 坐标将不唯一．
x＝5＋ 3t， 2
(2)将 y＝
3＋1t
2
代入②式，得 t2＋5 3t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
解题要点 1. 化归思想的运用，即涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法
是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，体现方程为θ＝π(ρ∈R)，设 4
C2
与
C3
的交点为
M，N，求△C2MN
的面积．
解析 (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
x＝2cos θ，
解析 (1)曲线 C 的参数方程为
(θ为参数)．
y＝3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
3
梦想不会辜负每一个努力的人
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 5|4cos θ＋3sin θ－6|， 5
则|PA|＝ d ＝2 5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且 tan α＝4.
例 1 （2015 湖南文）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．若曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线 C 的直角坐标方程为________．
答案 x2＋y2－2y＝0
解析 将极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ，∴x2＋y2＝2y，故曲线 C 的直角坐标
x＝tcos α，
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：
(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π，在以 O 为
y＝tsin α
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ.
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．
为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的
极坐标，记为 M(ρ，θ)．
2. 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设
M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
ρ2＝x2＋y2
x＝ρcos θ
y＝ρsin
， θ
tan
θ＝y（x≠0）. x
3．直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0 和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π)且平行于极轴：ρsin θ＝b．
2 4．圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为ρ＝R. (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
x＝t－1， t
数方程 y＝t＋1 t
3x－y＝0，
两式经过平方相减，化为普通方程为 y2－x2＝4，联立
答案 一个圆和一条射线
解析 原方程等价于ρ＝1 或θ＝π，前者是半径为 1 的圆，后者是一条射线.
θ－π
2 2，7π
4．（2015 广东理）已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin 4 ＝ 2，点 A 的极坐标为 A
4，
则点 A 到直线 l 的距离为________．
答案 5 2 2
θ－π
2 2，7π
x＝x0＋tcos α (t 为参数)
y＝y0＋tsin α
x＝x0＋Rcos θ (θ为参数且 0≤θ≤2π)
y＝y0＋Rsin θ
x＝acos t (t 为参数且 0≤t≤2π)
y＝bsin t
x＝2pt2 (t 为参数)
y＝2pt
x＝ a ，
cos θ
(θ为参数)
y＝btan θ
典例剖析
题型一 极坐标与直角坐标的互化