浙江省严州中学2014-2015学年高二数学1月份阶段测试试卷 文

浙江省严州中学2014-2015学年高二1月份阶段测试
数学〔文〕试卷
一．选择题〔本大题共10小题，每一小题3分，共30分〕 1．直线31y x =-+的倾斜角的大小是〔 〕 A ． 135° B ．120° C ． 60° D ． 30
2．某几何体的三视图如下列图，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD 是直角梯形，如此此几何体的体积为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设R a ∈,如此“1=a 〞是“直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平
行〞的〔 〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，如此原平面四边形的面积等于( ) A.
224a B.222a C.222a D.2223
a 5.正四棱柱中点为中111111,2AA E AB ，AA D C B A ABCD =-,如此异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( ) A.
1010 B.51 C.10103 D.5
3
6．不重合的直线m 、l 和平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出如下命题: ①假设α∥β，如此l m ⊥；②假设α⊥β，如此l m //；
③假设l m ⊥，如此α∥β；④假设l m //，如此βα⊥.其中正确命题的个数是( )
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
7．对任意的实数k ,直线1-=kx y 与圆0222
2
=--+x y x 的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．以上三个选项均有可能
8.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆15
92
2=+y x 有公共焦点，右焦点为F ,且两支曲线
在第一象限的交点为P ，假设2=PF ，如此双曲线的离心率为( ) A ．5B ．3C ．
2
1
D ．2 9．设椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为e ,右焦点F(c ,0),方程02=-+c bx ax ,两个
实数根分别为21,x x ,如此点P (21,x x ) ( ) A ．必在圆122=+y x 外 B ．必在圆122=+y x 上 C ．必在圆12
2
=+y x 内 D ．以上三种情况都有可能
10.正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，P 为侧面C C BB 11内的动点 且PB PA 2=，如此P 点所形成轨迹图形的长度为 〔 〕
A ．2
B ．π332
C ．π
D ．π6
3
二．填空题〔本大题有7小题, 每一小题4分, 共28分〕 11. 命题p :,,a G b 成等比数列，命题q
：G =
，如此p 是q 的___________________条
件．
12.点A(1,2)在直线l 上的射影是P(-1,4)，如此直线l 的方程是_________________． 13.长方体的三条棱长分别为1，2，6，如此此长方体外接球的体积与外表积之比为． 14. 假设关于直线(1)y k x =-对称的两点,M N 均在圆C ：2
2
(3)(4)16x y ++-=上，且直线MN 与圆2
2
2x y +=相切，如此直线MN 的方程是
15. 双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，
且12||4||PF PF =，如此此双曲线的离心率e 的最大值为.
16. P ，Q 分别是直线:250l x y --=和圆2
2
:(1)(2)3C x y -+-=上的两个动点，且直线PQ 与圆C 相切，如此︱PQ ︱的最小值是.
17. 设直线:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于如下四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点
A
B
C
D D 1
P
A 1
B 1
C 1
②存在定点P 不在M 中的任一条直线上
③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的序号是〔写出所有真命题的代号〕．
三．解答题〔本大题有5小题, 共62分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤〕 18．(本小题总分为12分)
设p ：方程2
2
2
20x y kx ky k ++++-=表示圆；
q ：函数()(1)1f x k x =-+在R 上是增函数．
如果p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数k 的取值范围．
19．(本小题总分为12分)
()1,0,(4,0)A B ，动点(),T x y 满足12
TA TB
=，设动点T 的轨迹是曲线C ，直线l ：
1y kx =+与曲线C 交于,P Q 两点.
〔1〕求曲线C 的方程；
〔2〕假设2-=•OQ OP ，求实数k 的值；
〔3〕过点()0,1作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与曲线C 交于,M N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.
20.(本小题总分为14分)
如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. 〔Ⅰ〕 证明：1AC AB =；
〔Ⅱ〕假设1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值.
21．(本小题总分为14分)
椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率1
2
e =，一个顶点的坐标为(0,3)． 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕椭圆C 的左焦点为,F 右顶点为A ，直线
:l y kx m =+与椭圆C 相交于M ，N 两点且
M
y
0AM AN ⋅=，试问：是否存在实数λ，使得FMN AMN S S λ∆∆=成立，假设存在，求出λ的值；
假设不存在，请说明理由．
22． (本小题总分为14分) 设椭圆E ：22221(,0)y x a b a b
+=>M N 都在椭圆上，O 为坐标原点. 〔1〕求椭圆E 的方程；
〔2〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B 且
OA OB ⊥？假设存在，求出该圆的方程.
BDABC BCDAD
11．既不充分也不必要 12．50x y -+= 13．12 14．2y x =+ 15．53
1617．②③④
18．
综上所述，实数k 的取值范围是21k -<≤或2k ≥.
19．.解：〔1〕设(,)D x y 为曲线C 上任一点，如此由()()2
2
2
2
11
2
4x y CA CB x y -+==
-+理得2
2
4x y +=。

∴曲线C 的方程为224x y +=--------------3分
〔2〕因为22cos 2OP OQ POQ •=⨯⨯∠=-，所以1cos 2
POQ ∠=-，0120POQ ∠= 所以圆心到直线:10l kx y -+=的距离2
111
d k =
=+，
所以0k =。

--------------6分
〔3〕当0k =时，23,4MN PQ ==,1
34432
PMQN S =
⨯= 当0k ≠时，圆心到直线:10l kx y -+=的距离211
d k =
+，所以2
1
241
MN k =-
+ 11
:1l y x k =-+，同理得2222
112424231111k PQ k k k =-=-=+++⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
所以22111243211
PMQN S MN PQ k k =
=-+++ 2
21
1497221242S k ⎛⎫=--+≤⨯ ⎪+⎝⎭
=7当且仅当1k =±时取等号。

所以当1k =±时，max 7S =
综上，当1k =±时，四边形PMQN 面积有最大值7. 20．
21．解：〔1〕由题意设椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>
1
2
c e a =
=，3b =，223a c -=，解得：2a =． 22 1.43
x y ∴+= 〔2〕设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->． 2121222
84(3)
,.
3434mk m x x x x k k -⇒+=-⋅=++222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-⋅=+⋅+=+++=+ (2,0),A 1212(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=--+=，
1212122()40y y x x x x ∴+-++=，
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7
k
m k m =-=-
，且满足22340k m +->．
22．
解：〔1〕因为椭圆E：〔a，b＞0〕过M〔2，〕，N〔，1〕两点，所以，解得，所以，椭圆E的方程为；
要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以
，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足，而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为，满足；综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，。