江西省南康中学2019届高三上学期第五次月考数学(文)试题 Word版含答案

南康中学2018～2019学年度第一学期高三第五次大
考
数 学（文科）试 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设集合24
{|20},{|0,}1
x M x x x N x x Z x -=-->=≤∈+，则M N 的所有子集个数为（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 7
D ． 8
2. 设复数2
2(1)i
z i +=
+(i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ）
A. 1-
B. 1
C. –i
D. i
3．“4m =”是“直线()+3430mx m y -+=与直线230x my ++=平行”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
4．已知,,a b c 表示三条不同直线，下列四种说法：
①a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面； ②a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ③a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 平行； ④a 与b 垂直，b 与c 垂直，则a 与c 垂直． 其中正确说法的个数为（ ） A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1
5．如图，已知AB a = ，AC b = ，3DC BD = ，2AE EC = ，则DE =
（ ）
A
B
C
D 6.已知0απ<<，1
sin cos 2
αα+=，则cos α的值为（ ）
A
B
D
C
E
A
．
14
B ．
14
+ C
．
14- D ．
1
4
7．设55log 4log 2a =-，2
ln ln 33
b =+，1
lg5210c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．错误！未找到
引用源。

b a c <<
8．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是
则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是（ ） A.内切
B. 相交
C. 外切
D.相离
9．函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）
A B C D
10．已知不等式
211111
log (1)122334(1)2
a n n ++++>-⨯⨯⨯+ 对一切正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,3)
B ．(1,3)
C ．(2,4)
D ．(,3)-∞
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，
以1F 2F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ） A ．
3
B
．
32
C
．1
D ．
12
+ π-πx
y O
y
πx
O
π-π
-πx
y
y π
-π
x
12．已知函数21241132(),()3x x
x
x x x f x g x x -++⋅-=-=，实数,a b 满足0a b <<.若1[,]x a b ∀∈，2[1,1]x ∃∈-，使得12()g(x )f x =成立，则b a -的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．错误！未找到
引用源。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 曲线()2
a
f x x x
=+
在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +-=垂直,则实数a =
14. 已知正方体外接球的体积是
32
3
π，那么正方体的棱长等于 15．设正数,x y 满足,23x y x y >+=，则的最小值为
16．给出下列错误！未找到引用源。

4个结论：
①棱长均相等的棱锥一定不是六棱锥； ②函数
y =
既不是奇函数又不是偶函数；
③若函数2()lg(54)f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是25
[0,]16
； ④若函数()f x 满足条件1()4()f x f x x
-=,则()f x 的最小值为
415
． 其中正确的结论的序号是：______. (写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -=，
222sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-.
(1) 求角B 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求实数λ的取值范围.
18．(本小题满分12分)
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点. （1）求证：平面AB
1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：1AC ∥平面AB 1E ．
19．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为2
，且长轴长为（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设()2,0P ，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A ， B 两点，若对满足条件的任
意直线l ，不等式PA PB λ⋅≤
()R λ∈恒成立，求λ的最小值.
20. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，11n n S a +=-，在数列{}n b 中，11b =且
131n n b b n ++=+。

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n a b ⋅前2n 项中所有奇数项的和n T .
21. (本小题满分12分)
已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=a
，AD =，M 、N 分别是AD 、
PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。

22. (本小题满分12分)
已知函数2
1()ln 2
f x x mx m x =
++. （I ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当m =1时，若方程2
1()2
f x x ax =+在区间1[,)e +∞上有唯一的实数解，求实数
a 的取值范围；
（III ）当m ＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x 1，x 2，且x 1＜x 2，都有
2
21221()()f x f x x x -<-成立，求实数m 的最大值．
M A
B
C
D
N P
南康中学2018～2019学年度第一学期高三第五次大
考
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
B A
C
D D A A B D B D A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13、1
14 15、83
16、①③④
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (1)因为(2a c -)cosB=bcosC ，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ，
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC ，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA ，
因为sinA≠0，所以1cos 2
B =. 因为()0,B π∈，所以3
B π
=
.
(2)因为222
sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-，
由正弦定理得：2
2
2
a b c bc λ=+-，所以
222cos 22
b c A b a c λ
==-+， 因为3
B π
=
，且三角形为锐角三角形，(
,)62
A ππ
∈
所以cos (0,
A ∈，所以(0,λ∈.
18．
（2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1=F ，连接EF ． 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，
所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点， 所以EF ∥A 1C ．
因为EF 在平面AB 1E 内，A 1C 不在平面AB 1E 内， 所以A 1C ∥平面AB 1E ．
19、（1）依题意，
2222a c
a
a b c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩
，
解得2
2a =， 2
1b =， ∴椭圆Γ的标准方程为2
212
x y +=. （2）设()11,A x y ， ()22,B x y
PA PB ∴⋅=
()()()()112212122,2,22x y x y x x y y -⋅-=--+，
当直线l 垂直于x 轴时， 121x x ==-， 12y y =-且2
112
y =
，
此时()13,PA y =- ， ()()213,3,PB y y =-=-- ， ()22
11732
PA PB y ∴⋅=--= .
当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ： ()1y k x =+， 由()22
1{
22
y k x x y =++=，得()2222
124220k x k x k +++-=， 2122412k x x k ∴+=-+， 2122
22
12k x x k -=+，
PA PB ∴⋅=
()()()21212122411x x x x k x x -+++++
()()
()2221212124k x x k x x k =++-+++
(
)22
222112k k k -=+⋅-+ ()
22
22
42412k k k k
-⋅+++ 22172
21k k +=+ ()
2
17131722
221k =-<+ 要使不等式PA PB λ⋅≤
()R λ∈恒成立，
只需()
max
172PA PB
λ≥⋅=
，即λ的最小值为172
.
20、解：∵11n n S a +=-∴121n n S a ++=-两式相减得212n n a a ++=
又11a =，2112a s =+=，212a a = ∴{}n a 是首项为1 ，公比为2的等比数列 ∴12n n a -=
∵131n n b b n ++=+ 13(1)1n n b b n -+=-+（2n ≥） 两式相减得113n n b b +--=（2n ≥），又2143b b =-=
由此可得21{}n b -是首项为1，公差为3的等差数列，2132n b n -=-
2{}n b 是首项为3，公差为3的等差数列，23n b n =
所以31,2
3,2
n n b n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩n n 为奇数
为偶数
令n n n c a b =⋅，{}n c 前2n 项中所有奇数项和为n T 则024********(32)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-
2462224124272(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+- 242231(32)43(222)n n n T n --=--⨯++++
14(14)
31(32)4314
n n
n T n -⨯--=--⨯+⨯-
∴(1)41n n T n =-+
21、解：（I ）连PM 、MB ∵PD ⊥平面ABCD ∴PD ⊥MD
222222222
3
23a AM AB BM a MD PD PM =+==
+=∴又 ∴PM=BM 又PN=NB ∴MN ⊥PB ,22,BC a PC a
BC a DC PD ==∴===
得NC ⊥PB M N N C N = ∴PB ⊥平面MNC
⊂PB 平面PBC
∴平面MNC ⊥平面PBC
（II ）取BC 中点E ，连AE ，则AE//MC ∴AE//平面MNC ， A 点与E 点到平面MNC 的距离相等 取NC 中点F ，连EF ，则EF 平行且等于
2
1
BN ∵BN ⊥平面MNC ∴EF ⊥平面MNC ，EF 长为E 点到平面MNC 的距离 ∵PD ⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥ 又 BC ⊥DC BC ∴⊥面PCD ∴BC ⊥PC. 2
4121,222a PB BN EF a PC BC PB ===
=+=∴ 即点A 到平面MNC 的距离为
2
a 22. 解：（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）=x +m +
=
，
m ≥0时，f ′（x ）＞0， 故m ≥0时，f （x ）在（0，+∞）递增； m ＜0时，方程x 2+mx +m =0的判别式为： △=m 2-4m ＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；
（Ⅱ）m=1时，由题意得：x2+x+lnx=x2+ax，整理得：a=1+，
令g（x）=1+，g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，
令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；
若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，
须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，
g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e），∴a的范围是g（）≤a≤1，即1-e≤a≤1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当m＞0时，函数f（x）在（0，+∞）递增，
又[1，2]⊂（0，+∞），故f（x）在[1，2]递增；
对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），故f（x2）-f（x1）＞0，
由题意得：f（x2）-f（x1）＜-，整理得：f（x2）-＜f（x1）-，
令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx，则F（x）在[1，2]递减，故F′（x）=，当x∈[1，2]时，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，
令h（x）=，则h′（x）=＞0，故h（x）在[1，2]递增，
故h（x）∈[，］，故m≤．
实数m的最大值为1 2 .。