福建省上杭一中2010届高三数学11月月考试题(理)新人教版

某某省上杭一中2010届高三11月月考
数学理
（满分：150分；时间：120分钟；） 命题：邱培忠 09、11、11
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）
1．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
２.某一随机变量ξ的概率分布如下表，且 1.5E ξ=，则2
n m -的值为（ ）
A.－0.2；
B.0.2；
C.0.1；
D.－0.1
３．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）. A ．7.68 B ．8.68
C ．16.32
D ．17.32
４．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝16，键盘输入x 应该是（ ）
A ．3或3-
B ．5-
C ．5-或5
D ．5或3-
5．已知函数4
()lg(5)5
x
x f x m =++的值域是R ，则m 的取值
X 围是（ ）A ．(4)-+∞， B ．[4)-+∞， C ．(4)-∞-， D ．(4]-∞-，６．下列函数中，在区间02π⎛⎫
⎪
⎝
⎭
，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）
A ．sin 2
x y = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-
７．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10051006OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）则2010S ＝（ ） A ．1005
B ．1010
C ．2009
D ．2010
8．已知a ,b ,a+b 成等差数列,a ,b, ab 成等比数列,且1log 0<<ab m ，则m 的取值X 围是（ ） A ．(0 1) B ．(0 8) C ．(8 ∞+) D ．( 1 ∞+)
９．在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c ．满足b A c C a =+cos cos 2． 则B A sin sin +的最大值是 （ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
第３题图 INPUT x IF x<0 THEN
y=(x+1)*(x+1) ELSE
y=(x-1)*(x-1) End if Print y
第４题
A ．2
B ．1
C ．122
+
D ．22
１０．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)2(=f ，当0
)
()(,02<-'>x x f x f x x 有时
成立，则不等式0)(2
>⋅x f x 的解集是 ( )
A ．),2()2,(+∞--∞
B ．),2()0,2(+∞- C.)2,0()0,2( -D ．)2,0()2,( --∞
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 11．若
＝则＝⎰--4
2
)(|},1|,1min{)(dx x f x x x f
12．函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示，
则)2009()3()2()1(f f f f +⋯⋯+++的值等于 1３．已知512
20082009
()(
)()(
)()20102010
20102010
55
x x f x f f f f =
++++=+，则___________． 14. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两
个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2
4
a ,类比到空间，有两个棱长均为a 的正方
体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒
为；
15．已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++（,,b c d 为常数），当(,1)
(5,)m ∈-∞+∞时，方程
()0f x m -=有且只有一个实数解；(1,5)m ∈时，方程()f x m =有三个不同的实数解。

现
给出下列命题：① 函数()f x 有两个极值点；② 方程()5()0f x f x '==和有一个相同的实根；③方程()40f x +=的任一实根都小于方程()40f x -=的任一实根； ④ 函数()f x 的最大值是5，最小值是1。

其中正确命题的序号是 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（本题13分）已知向量2(1,sin ),(sin ,cos )a x b x x ==，函数()f x a b =⋅，0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若3
()4
f α=，求sin2α的值．
17．（本题13分）如图，等边ABC ∆与直角梯形ABDE ⊥AB ，
22BC BD AE ===，O 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：CO DE ⊥；
（Ⅱ）求二面角C DE A --的余弦值．
18．（本题13分）某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的
3
2
.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
19．（本题13分）已知函数32
()f x x ax bx =++
（1）若函数()2()y f x x y f x ===在处有极值-6,求的单调递减区间； （2）若]()21
b
f x a '⎡⎣-在区间-1,1上的值小于等于恒成立，求的取值范围。

20．（本题14分）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21
n n n S a n S =≥-
（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列; （2）求数列{}n a 的通项公式;
（3）设存在正数k ，使()()()12111n S S S +++≥n N *
∈都成立，求k 的
最大值。

21．（本题14分）
（1）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213
x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值。

（2）求函数y =的最大值。

参考答案
一、1.B; 2.B; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.C; 9.A ; 10.D . 二、11.6
23 ; 12.2; 13．2
2009 ; 14.3
8
a ; 15. ①②③.
16.解：（Ⅰ）2)1
1cos 2sin 24()sin sin cos 222
x x x f x x x x π
-+-=+=+=
（3分） 因为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以42π-x ]43,4[ππ-∈，
当4
42ππ-=-x ，即0=x 时，)(x f 有最小值0 (6分)
（Ⅱ）)134()24f π
αα-+==，得4
2)42sin(=
-πα(8分) ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πα，4
2πα-]43,4[ππ-∈，又2
242)42sin(0<=-<πα ∴4
2πα-)4,0(π∈，得4
14)42(1)42cos(2=-=-πα (11分)
4
7
1)]42cos()42[sin(22)442sin(2sin +=
-+-=
+
-
=παπαπ
παα(13分) 17.方法一：（Ⅰ）证明：因ABC ∆为等边三角形，且O 为AB 中点CO AB ∴⊥又平面ABDE ⊥平面ABC ∴CO ⊥平面ABDE DE ⊂平面ABDE ∴CO ⊥DE ……………6分
（Ⅱ）解：过O 作OK DE ⊥于K ，连接CK ，则由三垂线定理得CK ED ⊥∴所求二面角
的平面角为OKC ∠ 在正三角形ABC 中可求得CO =
，在直角梯形ABDE 中可求得
KO tan cos OKC OKC ∠∠13分
方法二：以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系（如图），则()0,1,0A -，()0,1,0B ，
)
C
，()0,1,2D ，()0,1,1E -，…… 3分
（Ⅰ）证明：(3,0,0)CO =-，()
0,2,1DE =--，
0CO DE ⋅=，∴CO DE ⊥，……6分
（Ⅱ）解：显然，面ABDE 的一个法向量()1,0,0m =，设面DCE 的一个法向量为(),,n x y z =，
则由n EC ⊥得0y z +-=， 由n DE ⊥得20y z +=，解得()3,1,2n =--，6cos ,4m n <>=
所以所求二面角的余弦值为
4
13分 18.解．（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n 年该乡从这两家企业获得的利润为
)1(,)3
2
(720)23(32011≥⨯+⨯=--n y n n n ……4分
=1111)32
(9)23(4802])32(9)23(4[80----⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯+⨯n n n n =9606802=⨯⨯……6分当且仅
当11)3
2
(9)23(4--⨯=⨯n n ,即n =2时,等号成立，
所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.……8分 （Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润
889)32(720)23(320⨯+⨯=y 16
81
812016168181320)23(3208⨯⨯
=⨯⨯⨯=⨯>810058120=⨯⨯> 所以该乡到2015年底可以达到小康水平.……13分
19.解：（1）25
(2)01240()32,2(2)6;
8426
2f a b a f x x ax b f a b b ⎧
'=++==-⎧⎧⎪'=++⎨⎨⎨
=-++=-⎩⎩⎪=-⎩依题意有即解得
211
()35 2.()0,2,()(,2).33
f x x x f x x y f x ''∴=--<-<<∴=-由得的单调区间是……6分
（2）⎩⎨⎧≤++≥--⎩⎨
⎧≤++='≤+-=-'0
12012,223)1(,223)1(b a b a b a f b a f 得由画出此不等式组所确定的平面区域； 分
，即－或，由图可知＝连线的斜率与点表示平面区域内的点则，设得两直线的交点为得由13).,1[]2,(1
2z 1z 1k .)0,1()
,(,1)1,0(1
0012012PQ +∞--∞∈-≤≥-=-∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=++=--a b
P b a z a b
z Q b a b a b a 20.解（1）因为2n ≥时，2
112 21
n n n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得 112n n n n S S S S ---=⋅
由题意 0 (2)n S n ≠≥()1
11 2 2n n n S S -∴
-=≥ 又111S a ==1n S ⎧⎫∴⎨
⎬⎩⎭
是以1
1
1S =为首项，2为公差的等差数列. ……4分
（2）由（1）有
11(1)221n n n S =+-⨯=-()1 21
n S n N n *∴=∈- 2n ∴≥时，1112
212(1)1(21)(23)
n n n a S S n n n n -=-=
-=------. 又111a S == 1 (1)
2 (2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨
-≥⎪--⎩
……9分 （3）设)()1()1
n S F n +=
+
则
(1)1()F n F n +===>
()F n ∴在n N *∈上递增 故使()F n k ≥恒成立只需min ()k F n ≤
又min ()(1)F n F = 又0k > 0k ∴<≤k .……14分
21
（1）因椭圆2
213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数） 故可设动点P 的坐标为
,sin φφ），其中02φπ≤<.
因此1sin sin )2sin()23
S x y π
φφφφφ=+=+=+=+ 所以，当6
π
φ=
时，S 取最大值2……7分
（2）函数的定义域为[5,6]，且0y >3y x =-5
max 5y ∴=……7分。