八级数学用函数观点看方程(组)与不等式人教实验版知识精讲

八年级数学用函数观点看方程（组）与不等式人教实验版
【本讲教育信息】
一. 教案内容：
1. 一次函数与一元一次方程的内在联系。

2. 一次函数与一元一次不等式的内在联系。

3. 一次函数与二元一次方程（组）。

二. 知识要点：
1. 一次函数与一元一次方程
将一次函数y＝kx＋b中的y值看作0，则kx＋b＝0即为一元一次方程，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上看，相当于求已知直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标的值。

例如，解方程2x－4＝0，相当于求当y＝2x－4的函数值为0的自变量的值，也相当于确定y＝2x－4与x轴交点的横坐标的值。

也就是说，求得2x－4＝0的解为x＝2，就求得y＝2x－4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y＝2x－4与x轴交点的横坐标为2。

反过来，要求y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y＝2x－4与x轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x－4＝0。

2. 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以，解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

例如，解不等式2x－4＞0，相当于求使y＝2x－4的函数值大于0的自变量取值范围，也相当于y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值范围。

也就是说，求得2x－4＞0的解集为x＞2，就得出当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0，也就得出当x＞2时这条
直线上的点在x 轴的上方。

如图所示。

反过来，求使y ＝2x －4函数值大于0的自变量的取值范围，要求y ＝2x －4在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围，都相当于解不等式2x －4＞0。

3. 二元一次方程与一次函数
由于任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

例如，二元一次方程2x －3y －6＝0可以化为y ＝2
3x －2，所以方程2x －3y －6＝0对应
直线y ＝2
3
x －2。

4. 二元一次方程组与一次函数
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。

从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

例如，解方程组⎩⎨
⎧=+-=--0420
12y x y x ，相当于解方程⎩⎪⎨⎪⎧y =2x －1y ＝12
x ＋2 。

从数的角度看，相当于问
x 为何值时，y ＝2x －1的函数值与y ＝1
2
x ＋2的函数值相等。

也相当于确定y ＝2x －1与y
＝1
2
x ＋2的交点坐标。

2
三. 重点难点：
初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，通过作函数图像、观察函数图像进行知识间的综合，体会数形结合思想。

【典型例题】
例1. （2008年太原）下列图像中，以方程y －2x －2＝0的解为坐标的点组成的图像是（ ）
分析：方程y －2x －2＝0的解对应函数y ＝2x ＋2的图像，显然，这条直线过（0，2）、（－1，0）两点，故选C 。

或判断y ＝2x ＋2经过第一、二、三象限。

解：C
评析：二元一次方程的每一组解都对应一个一次函数图像上一点的坐标，也就是二元一次方程转化为“形”后就是坐标系中的一条直线。

例2. 用作图像的方法解不等式x －2＞0。

分析：先把x －2＞0左边设为一次函数y ＝x －2，画出图像，如图所示，找出图像在x 轴上方部分对应的x 值即为不等式的解集。

解：设y ＝x －2，由图像可知直线交x 轴于（2，0）点，图像位于x 轴上方部分对应的y 值大于0，∴不等式x －2＞0的解集为x ＞2。

评析：解答此类问题，首先确定与不等式相关的一次函数，并作出图像，再观察图像确定答案。

例3. （2006年重庆）如图所示，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图像交于点P ，则根据
图像可得，关于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b
y ＝kx
的二元一次方程组的解是__________。

分析：由图知两条直线的交点坐标是P （－4，－2），而根据已知方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧y ＝ax ＋b y ＝kx
与函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 图像的关系知，两函数图像的交点坐标就是对应方程组的解。

解：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2
例4. 用作图像的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4
2x －3y ＝12。

分析：先把两个方程化成一次函数的形式，再在同一直角坐标系中画出它们的图像，
交点的坐标就是方程组的解。

解：由2x ＋y ＝4可得y ＝－2x ＋4。

由2x －3y ＝12得y ＝2
3
x －4。

在同一直角坐标系内
作出一次函数y ＝－2x ＋4和y ＝2
3
x －4的图像，如图所示，由图像可得交点坐标为（3，－
2），所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝42x －3y ＝12 的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－2 。

评析：作图时，两点分别取在x 轴或y 轴上，可简化作图。

用此法得出的解是近似解，检验正确后可得准确解。

例5. （2008年河北）如图所示，直线l 1的解读表达式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴交于点D 。

直线l 2经过点A 、B ，直线l 1、l 2交于点C 。

（1）求点D 的坐标；
（2）求直线l 2的解读表达式； （3）求△ADC 的面积；
（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标。

答：（1）D （1，0）（2）y ＝32x －6（3）S △ADC ＝9
2
（4）P （6，3）
分析：（1）点D 是直线l 1与x 轴的交点，此时y ＝0。

（2）直线l 2经过A 、B 两点，
可以通过待定系数法求l 2的解读式。

（3）求出点D 的坐标后，可求AD 的长，只要再求出点C 到x 轴的距离就可以求面积了，点C 到x 轴的距离可通过求l 1与l 2的交点坐标求得。

（4）△ADP 与△ADC 有共同的底AD ，它们的高如果相等，面积就相等，也就是在l 2上求异于点C 的另一点P ，使点P 到x 轴的距离与点C 到x 轴的距离相等。

解：（1）直线l 1：y ＝－3x ＋3与x 轴交于点D ， 当y ＝0时，－3x ＋3＝0，解得，x ＝1 所以点D 的坐标是（1，0）
（2）由图可知直线l 2过点A （4，0）、B （3，－3
2
），
设其解读式为y ＝kx ＋b ，把A 、B 的坐标代入得：
⎩⎪⎨⎪⎧0＝4k ＋b －3
2＝3k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝
32b ＝－6 所以直线l 2的解读式是y ＝3
2
x －6。

（3）由点A （4，0）和点D （1，0），得AD ＝3 点C 是直线l 1和l 2的交点，即 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3y ＝3
2
x －6 解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
y ＝－3 所以点C （2，－3）到x 轴的距离是︱－3︱＝3 所以△ADC 的面积是12×3×3＝9
2
（4）因为△ADC 和△ADP 面积相等且有公共边AD ，
所以点P 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离等于3，
即点P 的纵坐标等于3，此时3＝3
2
x －6
解得x ＝6，即P （6，3）。

评析：本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题和两个一次函数的交点的问题，但从“数”的角度看是解一元一次方程和二元一次方程组。

【方法总结】
体验数形结合思想的意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

归纳提炼一次函数与二元一次方程组的关系，从“形”的角度理解：解方程组相当于确定两直线交点坐标。

通过2、3使学生从“数”的角度理解：解方程组相当于求自变量为何值时两函数值相等。

【模拟试卷】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. （2006年青岛）点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x ＋3图像上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A. y 1＞y 2
B. y 1＞y 2＞0
C. y 1＜y 2
D. y 1＝y 2
2. （2007年山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）
b
A. x ＞－1
B. x ＜－1
C. x ＜－2
D. 无法确定
3. 如图所示，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点（－4，0），当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A. x＞－4
B. x＞0
C. x＜－4
D. x＜0
4. 已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（）
A. y＞0
B. y＜0
C. －2＜y＜0
D. y＜－2
5. 函数y＝4x－2与y＝－4x－2的交点坐标为（）
A. （－2，0）
B. （0，－2）
C. （0，2）
D. （2，0）
6. （2008年新疆）一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像如图所示，则不等式kx＋b＞0的解集是（）
A. x＞－2
B. x＞0
C. x＜－2
D. x＜0
7. （2008年沈阳）一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）
A. x＞0
B. x＜0
C. x＞2
D. x＜2
*8. （2008年全国数学竞赛海南预赛）一次函数y＝k（x－1）的图像经过点M（－1，－2），则其图像与y轴的交点是（）
A. （0，－1）
B. （1，0）
C. （0，0）
D. （0，1）
二. 填空题
1. 已知y＝2x－4，当__________时，y＞0。

2. 已知y1＝2x－3，y2＝－x＋6，当__________时，y1＞y2。

3. （2008年湖北荆门）如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须____________。

*4. 一次函数y ＝（m －2）x ＋m 的图像不经过第三象限，且m 为正整数，则它的图像上纵坐标为－5的点的横坐标为__________。

*5. 莉莉有10元钱，她购买作业本后剩下的钱y （元）与购买的作业本数x 满足函数y ＝10－1.2x ，当剩下的钱y 不超过2.8元时，她购买的作业本数x 应满足__________。

**6. （2008年武汉）如图，直线y ＝kx ＋b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，
则不等式组1
2
x ＜kx ＋b ＜0的解集为__________。

三. 解答题
1. （2008年广东汕头）已知直线l 1：y ＝－4x ＋5和直线l 2：y ＝1
2x －4，求两条直线l 1
和l 2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上。

2. 画出一次函数y ＝－3x ＋12的图像，通过图像观察x 为何值时，（1）y ＞0？（2）y ＝0？（3）y ＜0？
3. 利用图像解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝－2x －1
y ＝1
2
x ＋4 。

**4. （2007年南昌）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订。

下表为北京奥
运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格。

球迷小李用8000元作为预订下表中比赛工程门票的资金。

（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？
（2）小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由。

比赛项目票价（元/场）
男篮1000足球800乒乓球
500
试卷答案
一. 选择题
1. A
2. B
3. A
4. D
5. B
6. A
7. C
8. A
二. 填空题
1. x ＞2
2. x ＞3
3. 大于4
4. 6
5. 6≤x ≤8且x 为整数
6. －3＜x ＜－2
三. 解答题
1. （2，－3），在第四象限。

2. 图像略，（1）x ＜4，（2）x ＝4，（3）x ＞4。

3. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝3
4. （1）设订男篮门票x 张，乒乓球门票y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧1000x ＋500y ＝8000x ＋y ＝10 ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4 所以小李可以订男篮门票6张，乒乓球门票4张。

（2）能，理由如下：设小李预订男篮门票x 张，足球门票y 张，则乒乓球门票为（10－x －y ）张。

由题意，得1000x ＋800y ＋500
（10－x －y ）＝8000即y ＝30－5x
3。

∵x 、y 均为正整数，∴当x ＝3时，y ＝5，∴10－x －
y ＝2。

∴小李可以预订男篮门票3张，足球门票5张和乒乓球门票2张。

∴小李的想法能
实现。