高中数学同步教学 对数函数的图像和性质

当0<x<1,0<a<1或x>1,a>1时,logax>0,即当真数x和底数a同大于
(或小于)1时,对数logax>0,即为正数,简称为“同正”;
当0<x<1,a>1或x>1,0<a<1时,logax<0,即当真数x和底数a中一个大
于1,而另一个小于1,也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时,
对数logax<0,即为负数,简称为“异负”.
求定义域
32
函数 f(x)=
+lg(3x+1)的定义域是
1-
解析:要使函数有意义,x 应满足
1
解得- <x<1.
3
故函数 f(x)的定义域为
1Hale Waihona Puke 3答案: - ,1
1
- ,1
3
.
1- > 0,
3 + 1 > 0,
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 求下列函数的定义域:
(1)y= ln(1-x);(2)y= lg+lg(5-2x).
题型三
题型四
题型五
题型二 比较大小
【例2】 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.14(a>0,a≠1).
分析:(1)构造函数y=log3x,利用其单调性比较;
(2)分别与0比较大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围.
因此对数的符号简称为“同正异负”.
2.助记口诀:
对数增减有思路,函数图像看底数,
底数只能大于0,等于1来也不行.
底数若是大于1,图像从下往上增,
底数0到1之间,图像从上往下减.
无论函数增和减,图像都过(1,0)点.
【做一做1-1】 函数 y= log3 -3的定义域是(
)
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
∴在定义域(0,4)内,0<4x-x2≤4.
∴log 1 (4x-x2)≥log1 4=-2.
2
答案:[-2,+∞)
2
2.底数对对数函数值的影响
底数的
关系
a>b>1
1>a>b>0
图像
①若 x>1,则
性质
logbx>logax>0;
②若 0<x<1,则
0>logax>logbx
①若 x>1,则 0>logbx>logax;
图
像
0<a<1
a>1
定义域:(0,+∞)
值域:R
过定点(1,0),
性
即当 x=1 时,y=0
质
当 x>1 时,y>0;
当 0<x<1 时,y<0
是(0,+∞)上的增函数
0<a<1
当 x>1 时,y<0;
当 0<x<1 时,y>0
是(0,+∞)上的减函数
名师点拨1.对数logax(x>0,a>0,a≠1)的符号:
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log31.9<log32.
(2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,
所以log23>log0.32.
(3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,则有
logaπ>loga3.14;
解:(1)要使 y= ln(1-x)有意义,
≥ 0,
则要满足
解得 0≤x<1,
1- > 0,
所以函数定义域为[0,1).
(2)要使 y= lg+lg(5-2x)有意义,
> 0,
5
则要满足 lg ≥ 0, 解得 1≤x< ,
2
5-2 > 0,
5
所以函数定义域为 1, .
2
题型一
题型二
C.(27,+∞)
D.[27,+∞)
解析:要使函数有意义,需log3x-3≥0,即log3x≥3=log327,所以
x≥27.
答案:D
【做一做 1-2】 函数 y=log1 (4 − 2)的值域是_______________.
2
解析:∵4x-x2>0,
∴0<x<4.
∵4x-x2=-(x-2)2+4,
都不相同时,通常借助常数(常用-1,0,1)为媒介间接比较大小;(3)分
类讨论:当底数与1的大小关系不确定时,要把底数与1进行比较,分
类讨论大小.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 比较下列各组数值的大小:
(1)log 1 1.6,log 1 2.5;
5
5
(2)log 1 3,log 1 3;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,则有
logaπ<loga3.14.
综上可得,当a>1时,logaπ>loga3.14;
当0<a<1时,logaπ<loga3.14.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思比较两个对数值大小的方法:(1)单调性法:当底数相同时,构
造对数函数利用其单调性来比较大小;(2)中间量法:当底数和真数
2
5
(3)因为 log78>0,log0.34<0,所以 log78>log0.34.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型三 函数的图像
【例3】 已知a>0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图像可能是下图
中的(
)
题型一
题型二
题型三
题型四
5.3
对数函数的图像和性质
1.掌握对数函数的图像与性质.
2.会应用对数函数的图像与性质比较大小、求定义域和值域、
确定单调区间等.
3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
1.对数函数的图像和性质
下表是底数a>1及0<a<1这两种情况下对数函数
y=logax(a>0,a≠1)的图像和性质.
a>1
B. 3, 3 , 10 , 5
C. , 3, ,
D. , 3,
4
1
3
10 5
,
3
解析:由底数对对数函数图像的影响可知,C4的底数<C3的底数
<C2的底数<C1的底数.故相应曲线C1,C2,C3,C4的底数依次
4 3 1
是 3, , , .
3 5 10
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
【例 1】
②若 0<x<1,则 logax>logbx>0
【做一做 2】 如图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图像.已知 a
4 3 1
的取值分别为 3, , , , 则相应曲线1 , 2 , 3 , 4 的值依次为( )
3 5 10
4 3
1
4
3
1
3
5 10
4
1
3
A. 3, 3 , 5 , 10
2
5
(3)log78,log0.34.
解:(1)因为 y=log1 x 在(0,+∞)上是减函数,且 1.6<2.5,
5
所以 log1 1.6>log 1 2.5.
5
5
(2)借助 y=log 1 x 及 y=log1 x 的图像,如图,
2
5
在(1,+∞)上,
前者在后者的下方,故 log 1 3<log1 3.