第6讲正弦电路的分析
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& UR
& I
& U
ϕ = ϕu − ϕi
ϕ < 0, XL < XC
ϕ = 0, X = 0
& UC & UL
& U
& UL
& I
& UC
& UL
& U
& I
& UC
& UR
& UR & UC
& UL
& UC
(a)
X>0
(b)
X<0
(c) X = 0
正误判断
U I = Z
& 串联电路中， 在RLC串联电路中， 设 I = I 0 ° 串联电路中
1 1 通式: 通式 =∑ Z Zk
分流公式： & 分流公式：I1 =
Z2 & & Z1 & I I2 = I Z1 + Z2 Z1 + Z2
例:
有两个阻抗 Z1 = 3 + j4 Z 2 = 8 − j6 & 它们并联接在 U = 220 0°V的电源上 的电源上; & & & 并作相量图。 求: I1 、I 2 和 I 并作相量图。 解: & I
第6讲 正弦稳态电路的分析 讲
6-1 串并联交流电路 6-2 正弦稳态电路的功率
6.1.1 阻抗的概念
6-1 串并联交流电路 I •+ UR – • + UL – • + UC –
•
一、R、L、C串联与复数阻抗
i
+ uR – + uL u – + uc – – + R L C + U –
•
R jω L 1 –j ωC
已知元件参数及连接方式
电压电流←复阻抗←元件参数
由：
& U U∠ϕ u U Z= = = ∠(ϕ u − ϕ i ) =| Z | ∠ϕ + & I I∠ϕ i I
I
+ R
－
UR
可知：Z 的模表示 u、i 的大小关系， 可知： 、 的大小关系，
辐角（阻抗角） 辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 、 的相位差。 阻抗角是由元件连接方式及参数决 定的，以下是可能出现的情况： 定的，以下是可能出现的情况：
I2
R2
Ｕ
L
－
C
Z1
Z2
Z2= R2－ j XC
阻抗并联
& I
+
& U
Z1
-
& I1
Z2
& I2
& & U U & & & I = I1 + I2 = + Z1 Z2 & 1 1 1 U &= = + I Z Z Z Z Z1 ⋅ Z 2 Z= Z1 + Z 2
1 2
& I
+ & U
Z
-1 1 1 注意： 注意：对 Nhomakorabea阻抗模一般 Z ≠ Z1 + Z2
5
= 5 + j (2 × 10 × 6 × 10
5
−3
−
1
−6
)
ϕ < 0 ，电路呈容性。
（二）阻抗并联电路
KCL: I = I1 + I2
I= U + U Z2 Z1 1 1 )U U = Z I= ( Z + Z 1 2 Z = Z1∥Z2 其中： 其中：Z1= R1+ j XL
+
I
I1
R1
i
u
_
6.1.2 阻抗的串联与并联
（一）阻抗串联电路 由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2) Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i 注意： 注意： 对于阻抗模一般 分压公式： & 分压公式： U1 =
－ 图 3.4.5 阻抗的串联
I
+ +
Z1 Ｕ1
Ｕ
－
+
Z2 Ｕ2
－
Z ≠ Z1 + Z2
& U2 = Z2 & U Z1 + Z2
Z1 & U Z1 + Z2
例1: 有两个阻抗 Z1 = 6.16 + j9 Z 2 = 2.5 − j4 & 它们串联接在 U = 220 30° V 的电源 的电源; & & 并作相量图。 & 求: I 和 U1 、U 2 并作相量图。
58° & U2 & U
& I
相量图
55.6°
& & 注意： & 注意： U = U 1 + U 2
U ≠ U1 + U 2
30°
下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
+ 3Ω Ω
& U
V1 6V
+
& U
6Ω Ω 8Ω Ω (b)
V1 30V V2 40V
& U 220 0 ° & = I1 A = 44 − 53 ° A = Z1 5 53 ° & U 220 0 ° & = I2 = A = 22 37 ° A Z 2 1 0 − 37 °
或利用分压公式： 或利用分压公式：
& I
+
& U
Z1 U1
& = Z1 U = 6.16 + j9 × 220 30°V & U1 + Z1 + Z2 8.66 + j5 &
-
+ & Z2 U2
= 239.8 55.6°V
-
& - U2 =
& U1
Z2 & = 2.5 − j4 × 220 30°V U Z1 + Z2 8.66 + j5 = 103.6 − 58°V
_
4Ω Ω (a)
V2
8V
_
Z =7
U=14V ?
Z = 14
U=70V ?
两个阻抗串联时,在什么情况下 两个阻抗串联时 在什么情况下: 在什么情况下
Z = Z 1 + Z 2 成立。 成立。
串联电路。 例：RLC串联电路。已知 串联电路 已知R=5k ，L=6mH， ， C=0.001µF，u=5 sin106tV。(1) 求电流 和各 ， 。 求电流i和各 2 元件上的电压，画出相量图； 当角频率变 元件上的电压，画出相量图；(2)当角频率变 为2×105rad/s时，电路的性质有无改变。 × 时 电路的性质有无改变。
－
U
jXL -jXC
+ UL
－
+
－
UC
ϕ > 0, XL > XC
ϕ = 90o , R = X C = 0
ϕ
ϕ < 0, XL < XC
ϕ
ϕ = 0, X = XL − XC = 0
ϕ = −90o , R = XL = 0
由： U = UR + UL +UC= UR+UX
UL U C
可作出串联交流电路相量图： 可作出串联交流电路相量图：
由相量电路,列 由相量电路 列KVL
1 & & 1 & & & = U R + U L + U C = IR + jωLI − j & & & I = I [ R + j (ωL − )] U ωC ωC & = I [ R + j ( X L − X C )]
& & U = IZ
定义： 定义：
Z = [R + j ( XL − XC )]
注意： 只是一个复数，不是相量， 注意：Z只是一个复数，不是相量，书写时 上面不能加点，作图时不能有箭头。 上面不能加点，作图时不能有箭头。
串联交流电路中电压电流的相量关系 分析得串联交流电路中电压电流的相量关系： 分析得串联交流电路中电压电流的相量关系： + & U I R Z= 相量形式的交流电路欧姆定律 相量形式的交流电路欧姆定律 & I 由于： 由于： U & jXL U U∠ϕu U Z= = = ∠(ϕu − ϕi ) =| Z | ∠ϕ & I I∠ϕ I
+
Z1 ⋅ Z 2 5 53° × 10 − 37° Z= = Ω Z1 + Z 2 3 + j4 + 8 − j6
& I2
& U -
Z1
& I1
Z2
50 16° = Ω = 4.47 26.5° 11.8 − 10.5 °
& U 220 0 ° &= I = = 49.2 − 26.5 ° A Z 4.47 26.5 °
令： 则：
为复数阻抗 为复数阻抗 称为电抗 称为电抗
X = XL − XC
Z = R + jX Z = R + jX =| Z | ∠ϕ
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
X =| Z | sin ϕ X 阻抗角 ϕ = arctan R
复阻抗
阻抗模 电阻
| Z |= R 2 + X 2
电抗
R =| Z | cos ϕ
注意：复阻抗是由元件参数及连接方式决定的， 注意：复阻抗是由元件参数及连接方式决定的，最终会影 响电路的性质。 响电路的性质。
复阻抗 阻抗模 电阻 电抗
Z = R + jX
| Z |= R + X
2 2
由左示各关系， 由左示各关系，可 得阻抗三角形： 得阻抗三角形：
R =| Z | cos ϕ
X =| Z | sin ϕ X 阻抗角 ϕ = arctan R
U I= R + X L + XC
√
？ ？
U L − UC & ϕ = arctan ？ Z = R + j( X + X ) & = U I U L C ？ ？ Z
XL − XC ϕ √ arctan = U ？ I = R ？ u √uR + uL + uC ？ = Z ωL−ω C ϕ = arctan u ？ = R+ X + X i= Z R L C ？ ？ Z
i
+
－
UR
+ UL
－
大小关系： 大小关系： 相位关系: 相位关系:
U Um | Z |= = I Im
-jXC
－
+
－
UC
ϕ = arctan (X / R) 已知电压电流
=ψu－ψi
由以上关系可知： 由以上关系可知：阻抗角就是 总电压与总电流的相位差。 总电压与总电流的相位差。
电压电流→复阻抗→元件参数
ϕ > 0 ，电路呈感性。
由
得电压相量为： u = 5 2 sin 10 6 t V ，得电压相量为：
& U m = 5 2∠0°V
& Um 5 2∠0° & = 先求i,再求 再求u Im = = 1∠ − 45°mA 先求 再求 R,uL,uC Z 5 2∠45° & & U = RI = 5 × 1∠ − 45° = 5∠ − 45°V
6
& UC
& UR
& I
& U
(2)当角频率变为 ×105rad/s时，电路的性质有无改变 当角频率变为2× 当角频率变为 时 电路的性质有无改变? 电路阻抗Z为 电路阻抗 为：
Z = R + j( X L − X C ) 2 × 10 × 0.001 × 10 = 5 − j8.8 = 10.12∠ − 60.4°kΩ
再求u 解题思路: 先求 再求 R,uL,uC 解题思路 先求i,再求
. & U = ZI Z = R + jX
解：(1) X L = ωL = 10 6 × 6 × 10 −3 = 6 k
1 1 = 6 =1 k XC = −6 ωC 10 × 0.001 × 10
Z = R + j ( X L − X C ) = 5 + j (6 − 1) = 5 2∠45° k
& = I [R + j ( XL − XC )]
U
+
I
+ R
－
UR
U UX = UL+ UC
jXL -jXC
+ UL
－
+
ϕ
电压三角形
－
－
UC
UC
UR
I
U=│Z│I UR= R I UX = XI =(XL－ XＣ) I
电路的性质： 电路的性质：
ϕ > 0, XL > XC
电压超超电流，感性 电压超超电流， 电压滞后电流，容性 电压滞后电流， 电压电流同相，阻性 电压电流同相，
Rm m
& & U Lm = jX L I m = j 6 × 1∠ − 45° = 6∠45°V & & U Cm = − jX C I m = − j1 × 1∠ − 45° = 1∠ − 135°V
i = sin(10 t − 45°) ｍA
6
& UL
u R = 5 sin(10 6 t − 45°) V u L = 6 sin(10 6 t + 45°) V u R = sin(10 t − 135°) V
& U & = I√ Z
U L − UC ϕ √ arctan = ？ UR
？
U = U R + U L + UC？
1.假设 、L、C 已定，电路性质能否 假设R 已定， 假设 确定？阻性？感性？容性？ 确定？阻性？感性？容性？ + 是否一定小于1？ 串联电路的 + 2.RLC串联电路的 cosϕ是否一定小于 ？ R uR _ + 3.RLC串联电路中是否会出现 U > U 串联电路中是否会出现 R ， L uL _ 的情况？ + UL > U,UC > U的情况？ C uC _ 4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超超 在 串联电路中， 串联电路中 时 超超 i，当L<C时，u滞后 ，这样分析对吗？ 滞后i， 时 滞后 这样分析对吗？
& I
+
解： Z = Z1 + Z2 = (6.16 + 2.5) + j(9 − 4) + -
& U
& Z1 U1
+ & Z2 U2
= 8.66 + j5 = 10 30°
-
-
& U 220∠30° & I= = = 22 0°A Z 10∠30°
& & U1 = Z1I = (6.16 + j9) × 22V = 10.9 55.6° × 22V = 239.8 55.6°V & 同理： 同理：&2 = Z2I = (2.5 − j4) × 22V = 103.6 − 58°V U
& I
& U
ϕ = ϕu − ϕi
ϕ < 0, XL < XC
ϕ = 0, X = 0
& UC & UL
& U
& UL
& I
& UC
& UL
& U
& I
& UC
& UR
& UR & UC
& UL
& UC
(a)
X>0
(b)
X<0
(c) X = 0
正误判断
U I = Z
& 串联电路中， 在RLC串联电路中， 设 I = I 0 ° 串联电路中
1 1 通式: 通式 =∑ Z Zk
分流公式： & 分流公式：I1 =
Z2 & & Z1 & I I2 = I Z1 + Z2 Z1 + Z2
例:
有两个阻抗 Z1 = 3 + j4 Z 2 = 8 − j6 & 它们并联接在 U = 220 0°V的电源上 的电源上; & & & 并作相量图。 求: I1 、I 2 和 I 并作相量图。 解: & I
第6讲 正弦稳态电路的分析 讲
6-1 串并联交流电路 6-2 正弦稳态电路的功率
6.1.1 阻抗的概念
6-1 串并联交流电路 I •+ UR – • + UL – • + UC –
•
一、R、L、C串联与复数阻抗
i
+ uR – + uL u – + uc – – + R L C + U –
•
R jω L 1 –j ωC
已知元件参数及连接方式
电压电流←复阻抗←元件参数
由：
& U U∠ϕ u U Z= = = ∠(ϕ u − ϕ i ) =| Z | ∠ϕ + & I I∠ϕ i I
I
+ R
－
UR
可知：Z 的模表示 u、i 的大小关系， 可知： 、 的大小关系，
辐角（阻抗角） 辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。 、 的相位差。 阻抗角是由元件连接方式及参数决 定的，以下是可能出现的情况： 定的，以下是可能出现的情况：
I2
R2
Ｕ
L
－
C
Z1
Z2
Z2= R2－ j XC
阻抗并联
& I
+
& U
Z1
-
& I1
Z2
& I2
& & U U & & & I = I1 + I2 = + Z1 Z2 & 1 1 1 U &= = + I Z Z Z Z Z1 ⋅ Z 2 Z= Z1 + Z 2
1 2
& I
+ & U
Z
-1 1 1 注意： 注意：对 Nhomakorabea阻抗模一般 Z ≠ Z1 + Z2
5
= 5 + j (2 × 10 × 6 × 10
5
−3
−
1
−6
)
ϕ < 0 ，电路呈容性。
（二）阻抗并联电路
KCL: I = I1 + I2
I= U + U Z2 Z1 1 1 )U U = Z I= ( Z + Z 1 2 Z = Z1∥Z2 其中： 其中：Z1= R1+ j XL
+
I
I1
R1
i
u
_
6.1.2 阻抗的串联与并联
（一）阻抗串联电路 由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2) Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i 注意： 注意： 对于阻抗模一般 分压公式： & 分压公式： U1 =
－ 图 3.4.5 阻抗的串联
I
+ +
Z1 Ｕ1
Ｕ
－
+
Z2 Ｕ2
－
Z ≠ Z1 + Z2
& U2 = Z2 & U Z1 + Z2
Z1 & U Z1 + Z2
例1: 有两个阻抗 Z1 = 6.16 + j9 Z 2 = 2.5 − j4 & 它们串联接在 U = 220 30° V 的电源 的电源; & & 并作相量图。 & 求: I 和 U1 、U 2 并作相量图。
58° & U2 & U
& I
相量图
55.6°
& & 注意： & 注意： U = U 1 + U 2
U ≠ U1 + U 2
30°
下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确 下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
+ 3Ω Ω
& U
V1 6V
+
& U
6Ω Ω 8Ω Ω (b)
V1 30V V2 40V
& U 220 0 ° & = I1 A = 44 − 53 ° A = Z1 5 53 ° & U 220 0 ° & = I2 = A = 22 37 ° A Z 2 1 0 − 37 °
或利用分压公式： 或利用分压公式：
& I
+
& U
Z1 U1
& = Z1 U = 6.16 + j9 × 220 30°V & U1 + Z1 + Z2 8.66 + j5 &
-
+ & Z2 U2
= 239.8 55.6°V
-
& - U2 =
& U1
Z2 & = 2.5 − j4 × 220 30°V U Z1 + Z2 8.66 + j5 = 103.6 − 58°V
_
4Ω Ω (a)
V2
8V
_
Z =7
U=14V ?
Z = 14
U=70V ?
两个阻抗串联时,在什么情况下 两个阻抗串联时 在什么情况下: 在什么情况下
Z = Z 1 + Z 2 成立。 成立。
串联电路。 例：RLC串联电路。已知 串联电路 已知R=5k ，L=6mH， ， C=0.001µF，u=5 sin106tV。(1) 求电流 和各 ， 。 求电流i和各 2 元件上的电压，画出相量图； 当角频率变 元件上的电压，画出相量图；(2)当角频率变 为2×105rad/s时，电路的性质有无改变。 × 时 电路的性质有无改变。
－
U
jXL -jXC
+ UL
－
+
－
UC
ϕ > 0, XL > XC
ϕ = 90o , R = X C = 0
ϕ
ϕ < 0, XL < XC
ϕ
ϕ = 0, X = XL − XC = 0
ϕ = −90o , R = XL = 0
由： U = UR + UL +UC= UR+UX
UL U C
可作出串联交流电路相量图： 可作出串联交流电路相量图：
由相量电路,列 由相量电路 列KVL
1 & & 1 & & & = U R + U L + U C = IR + jωLI − j & & & I = I [ R + j (ωL − )] U ωC ωC & = I [ R + j ( X L − X C )]
& & U = IZ
定义： 定义：
Z = [R + j ( XL − XC )]
注意： 只是一个复数，不是相量， 注意：Z只是一个复数，不是相量，书写时 上面不能加点，作图时不能有箭头。 上面不能加点，作图时不能有箭头。
串联交流电路中电压电流的相量关系 分析得串联交流电路中电压电流的相量关系： 分析得串联交流电路中电压电流的相量关系： + & U I R Z= 相量形式的交流电路欧姆定律 相量形式的交流电路欧姆定律 & I 由于： 由于： U & jXL U U∠ϕu U Z= = = ∠(ϕu − ϕi ) =| Z | ∠ϕ & I I∠ϕ I
+
Z1 ⋅ Z 2 5 53° × 10 − 37° Z= = Ω Z1 + Z 2 3 + j4 + 8 − j6
& I2
& U -
Z1
& I1
Z2
50 16° = Ω = 4.47 26.5° 11.8 − 10.5 °
& U 220 0 ° &= I = = 49.2 − 26.5 ° A Z 4.47 26.5 °
令： 则：
为复数阻抗 为复数阻抗 称为电抗 称为电抗
X = XL − XC
Z = R + jX Z = R + jX =| Z | ∠ϕ
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
X =| Z | sin ϕ X 阻抗角 ϕ = arctan R
复阻抗
阻抗模 电阻
| Z |= R 2 + X 2
电抗
R =| Z | cos ϕ
注意：复阻抗是由元件参数及连接方式决定的， 注意：复阻抗是由元件参数及连接方式决定的，最终会影 响电路的性质。 响电路的性质。
复阻抗 阻抗模 电阻 电抗
Z = R + jX
| Z |= R + X
2 2
由左示各关系， 由左示各关系，可 得阻抗三角形： 得阻抗三角形：
R =| Z | cos ϕ
X =| Z | sin ϕ X 阻抗角 ϕ = arctan R
U I= R + X L + XC
√
？ ？
U L − UC & ϕ = arctan ？ Z = R + j( X + X ) & = U I U L C ？ ？ Z
XL − XC ϕ √ arctan = U ？ I = R ？ u √uR + uL + uC ？ = Z ωL−ω C ϕ = arctan u ？ = R+ X + X i= Z R L C ？ ？ Z
i
+
－
UR
+ UL
－
大小关系： 大小关系： 相位关系: 相位关系:
U Um | Z |= = I Im
-jXC
－
+
－
UC
ϕ = arctan (X / R) 已知电压电流
=ψu－ψi
由以上关系可知： 由以上关系可知：阻抗角就是 总电压与总电流的相位差。 总电压与总电流的相位差。
电压电流→复阻抗→元件参数
ϕ > 0 ，电路呈感性。
由
得电压相量为： u = 5 2 sin 10 6 t V ，得电压相量为：
& U m = 5 2∠0°V
& Um 5 2∠0° & = 先求i,再求 再求u Im = = 1∠ − 45°mA 先求 再求 R,uL,uC Z 5 2∠45° & & U = RI = 5 × 1∠ − 45° = 5∠ − 45°V
6
& UC
& UR
& I
& U
(2)当角频率变为 ×105rad/s时，电路的性质有无改变 当角频率变为2× 当角频率变为 时 电路的性质有无改变? 电路阻抗Z为 电路阻抗 为：
Z = R + j( X L − X C ) 2 × 10 × 0.001 × 10 = 5 − j8.8 = 10.12∠ − 60.4°kΩ
再求u 解题思路: 先求 再求 R,uL,uC 解题思路 先求i,再求
. & U = ZI Z = R + jX
解：(1) X L = ωL = 10 6 × 6 × 10 −3 = 6 k
1 1 = 6 =1 k XC = −6 ωC 10 × 0.001 × 10
Z = R + j ( X L − X C ) = 5 + j (6 − 1) = 5 2∠45° k
& = I [R + j ( XL − XC )]
U
+
I
+ R
－
UR
U UX = UL+ UC
jXL -jXC
+ UL
－
+
ϕ
电压三角形
－
－
UC
UC
UR
I
U=│Z│I UR= R I UX = XI =(XL－ XＣ) I
电路的性质： 电路的性质：
ϕ > 0, XL > XC
电压超超电流，感性 电压超超电流， 电压滞后电流，容性 电压滞后电流， 电压电流同相，阻性 电压电流同相，
Rm m
& & U Lm = jX L I m = j 6 × 1∠ − 45° = 6∠45°V & & U Cm = − jX C I m = − j1 × 1∠ − 45° = 1∠ − 135°V
i = sin(10 t − 45°) ｍA
6
& UL
u R = 5 sin(10 6 t − 45°) V u L = 6 sin(10 6 t + 45°) V u R = sin(10 t − 135°) V
& U & = I√ Z
U L − UC ϕ √ arctan = ？ UR
？
U = U R + U L + UC？
1.假设 、L、C 已定，电路性质能否 假设R 已定， 假设 确定？阻性？感性？容性？ 确定？阻性？感性？容性？ + 是否一定小于1？ 串联电路的 + 2.RLC串联电路的 cosϕ是否一定小于 ？ R uR _ + 3.RLC串联电路中是否会出现 U > U 串联电路中是否会出现 R ， L uL _ 的情况？ + UL > U,UC > U的情况？ C uC _ 4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超超 在 串联电路中， 串联电路中 时 超超 i，当L<C时，u滞后 ，这样分析对吗？ 滞后i， 时 滞后 这样分析对吗？
& I
+
解： Z = Z1 + Z2 = (6.16 + 2.5) + j(9 − 4) + -
& U
& Z1 U1
+ & Z2 U2
= 8.66 + j5 = 10 30°
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& U 220∠30° & I= = = 22 0°A Z 10∠30°
& & U1 = Z1I = (6.16 + j9) × 22V = 10.9 55.6° × 22V = 239.8 55.6°V & 同理： 同理：&2 = Z2I = (2.5 − j4) × 22V = 103.6 − 58°V U