四川省遂宁市2019-2020学年中考四诊数学试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年中考四诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若数a，b在数轴上的位置如图示，则（）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．﹣a﹣b＞0
2．一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为（）
A．x1=﹣3，x2=﹣5 B．x1=3，x2=5
C．x1=3，x2=﹣5 D．x1=﹣3，x2=5
3．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM 的长为（）
A．3
2
B．2 C．
5
2
D．3
4．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=1．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点
Q，再分别以点P，Q为圆心，大于1
2
PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线
于点E，则AE的长是（）
A．1
2
B．1 C．
6
5
D．
3
2
6．若A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
7．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，
任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．29
D ．16
8．下列各式中，互为相反数的是（ ）
A ．2(3)-和23-
B ．2(3)-和23
C ．3(2)-和32-
D ．3|2|-和3
2- 9．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）
A ．13∠=∠
B ．11803∠=-∠o
C ．1903∠=+∠o
D ．以上都不对
10．如图数轴的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ．若|a ﹣b|＝3，|b ﹣c|＝5，且原点O 与A 、B 的距离分别为4、1，则关于O 的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A ．在A 的左边
B ．介于A 、B 之间
C ．介于B 、C 之间
D ．在C 的右边
11．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）和正比例函数y ＝﹣
13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b+ 13
）x+c ＝0（a≠0）的两根之和（ ）
A ．大于0
B ．等于0
C ．小于0
D ．不能确定
12．已知电流I （安培）、电压U （伏特）、电阻R （欧姆）之间的关系为U I R
=
，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，ABC ∆中，∠BAC 75=︒，7BC =，ABC ∆的面积为14，D 为BC 边上一动点（不与B ，
C 重合）
，将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ，AC 翻折得到ABE ∆和ACF ∆，那么△AEF 的面积的最小值为____．
14．若点（a，b）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是__________
15．一个不透明的口袋中有5个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是红球的概率是_____．
16．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成如图图案，则第4个图案中有__________白色纸片，第n个图案中有__________张白色纸片．
17．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为
_________m.
18．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知反比例函数y＝k
x
的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．求
n和b的值；求△OAB的面积；直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
20．（6分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
证明：S 矩形ABCD =S 1+S 2+S 3=2，S 4= ，S 5= ，S 6= + ，S 阴影
=S 1+S 6=S 1+S 2+S 3= ．
21．（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．
请画出平移后的△DEF ．连接AD 、CF ，
则这两条线段之间的关系是________．
22．（8分） (1)计算：|3－1|＋(2017－π)0－(14
)－1－3tan30°＋38； (2)化简：(22369a a a a --+＋23a -)÷229
a a --，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．
23．（8分）对于平面直角坐标系xOy 中的点()(),0Q x y x ≠，将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x 称为点Q 的“理想值”，记作Q L ．如()1,2Q -的“理想值”221
Q L ==--．
（1）①若点()1,Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_______；
②如图，()3,1C ，C e 的半径为1．若点Q 在C e 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是_______．
（2）点D 在直线333y x =-
+上，D e 的半径为1，点Q 在D e 上运动时都有03Q L ≤≤，求点D 的横坐标D x 的取值范围；
（3）()()2,0M m m >，Q 是以r 为半径的M e 上任意一点，当022Q L ≤≤时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）
24．（10分）如图，在菱形ABCD 中，BAD ∠=α，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF.
（1）求证：BE=DF ；
（2）连接AC ， 若EB=EC ，求证：AC CF ⊥.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A （2,1）.
（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P ，使四边形ABOP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（12分）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、
B 两点，与y 轴交于
C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标. 27．（12分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
首先根据有理数a ，b 在数轴上的位置判断出a 、b 两数的符号，从而确定答案．
【详解】
由数轴可知：a ＜0＜b ，a<-1，0<b<1,
所以,A.a+b<0，故原选项错误；
B. ab ＜0，故原选项错误；
C.a-b<0，故原选项错误；
D. 0a b -->,正确.
故选D ．
【点睛】
本题考查了数轴及有理数的乘法，数轴上的数：右边的数总是大于左边的数，从而确定a ，b 的大小关系．
2．C
【解析】
【分析】
运用配方法解方程即可.
【详解】
解：x 2+2x ﹣15= x 2+2x+1-16=(x+1)2-16=0，即(x+1)2=16，解得，x 1=3，x 2=-5.
故选择C.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.
3．C
【解析】
【分析】
延长BC 到E 使BE ＝AD ，利用中点的性质得到CM ＝12 DE ＝12AB ，再利用勾股定理进行计算即可解答.
【详解】
解：延长BC 到E 使BE ＝AD ，∵BC//AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴DE=AB ，
∵BC ＝3，AD ＝1，
∴C 是BE 的中点，
∵M 是BD 的中点，
∴CM ＝12 DE ＝12
AB ， ∵AC ⊥BC ，
∴AB ＝22AC BC +＝
224+3=5， ∴CM ＝
52 ， 故选：C ．
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
4．C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．B
【解析】
分析：只要证明BE=BC即可解决问题；
详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=1，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选B．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=2，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在对称轴左侧，图象开口向上，利用y随x的增大而减小，可判断y3＜y2＜y1.
抛物线y=x 2﹣4x+m 的对称轴为x=2，
当x<2时，y 随着x 的增大而减小，
因为-4<-3<1<2，
所以y 3＜y 2＜y 1，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键. 7．B
【解析】
解：将两把不同的锁分别用A 与B 表示，三把钥匙分别用A ，B 与C 表示，且A 钥匙能打开A 锁，B 钥匙能打开B 锁，画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为：13
．故选B ． 点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．A
【解析】
【分析】
根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确；
B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；
C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；
D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和3
2-不是互为相反数，故错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．
9．C
【解析】
【分析】
根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．
【详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=90°-∠2
∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1．
故选C．
【点睛】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
10．C
【解析】
分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．
解析：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，
∴b=a+3，c=b+5，
∵原点O与A、B的距离分别为1、1，
∴a=±1，b=±1，
∵b=a+3，
∴a=﹣1，b=﹣1，
∵c=b+5，
∴c=1．
∴点O介于B、C点之间．
故选C．
点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a、b、c的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．
11．C
【解析】
【分析】
设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a ＞0；设方程
210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝
⎭的两根为m ，n ，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】
解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，
∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a ＞0， 0b a
∴-<． 设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a
++=-=-- 0
10300a a b a
m m >∴-
<-<∴+<Q Q . 故选C ．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图像性质进行判断．
【详解】 解：∵U I R
=，电压为定值， ∴I 关于R 的函数是反比例函数，且图象在第一象限，
故选C ．
【点睛】
本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．4.
【解析】
【分析】
过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，由折叠可得∠EAG ＝30°，而当AD ⊥BC 时，AD 最短，依据BC
＝7，△ABC 的面积为14，即可得到当AD ⊥BC 时，AD ＝4＝AE ＝AF ，进而得到△AEF 的面积最小值为：12AF×EG ＝12
×4×2＝4. 【详解】
解：如图，过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，
由折叠可得，AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ，
∵∠BAC ＝75°，
∴∠EAF ＝150°，
∴∠EAG ＝30°，
∴EG ＝12AE ＝12AD ， 当AD ⊥BC 时，AD 最短，
∵BC ＝7，△ABC 的面积为14，
∴当AD ⊥BC 时， 1142
BC AD ⋅=， 即：14274AD =⨯÷=AF AE ==，
∴114222
EG AE ==⨯=. ∴△AEF 的面积最小值为：
12AF×EG ＝12
×4×2＝4， 故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等．
14．1
【解析】
【分析】
根据题意，将点（a ，b ）代入函数解析式即可求得2a-b 的值，变形即可求得所求式子的值．
【详解】
∵点（a ，b ）在一次函数y=2x-1的图象上，
∴b=2a-1，
∴2a-b=1，
∴4a-2b=6，
∴4a-2b-1=6-1=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】
解：由于共有8个球，其中红球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是5
8
．
故答案为5
8
．
【点睛】
本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
结果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．
16．13 3n+1
【解析】
分析：观察图形发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律得出第n个图案中有白色纸片即可．
详解：∵第1个图案中有白色纸片3×1+1=4张
第2个图案中有白色纸片3×2+1=7张，
第3图案中有白色纸片3×3+1=10张，
∴第4个图案中有白色纸片3×4+1=13张
第n个图案中有白色纸片3n+1张，
故答案为：13、3n+1.
点睛：考查学生的探究能力，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论.
17．7
【解析】
设树的高度为x m，由相似可得
6157
262
x+
==，解得7
x=，所以树的高度为7m
18．13或4
【解析】
解方程x 2-4x+3=0得，x 1=1，x 2=3，
①当3是直角边时，∵△ABC 最小的角为A ，∴tanA=13
；
②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A 的邻边=
4
=；
所以tanA 的值为13 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）-1；（2）
52；（3）x ＞1或﹣4＜x ＜0. 【解析】
【分析】
（1）把A 点坐标分别代入反比例函数与一次函数解析式，求出k 和b 的值，把B 点坐标代入反比例函数解析式求出n 的值即可；（2）设直线y ＝x+3与y 轴的交点为C ，由S △AOB=S △AOC+S △BOC ，根据A 、B 两点坐标及C 点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）利用函数图像，根据A 、B 两点坐标即可得答案.
【详解】
（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y ＝
k x ，一次函数y ＝x+b ， 得k ＝1×
4，1+b ＝4， 解得k ＝4，b ＝3，
∵点B （﹣4，n ）也在反比例函数y ＝
4x 的图象上， ∴n ＝44
-＝﹣1； （2）如图，设直线y ＝x+3与y 轴的交点为C ，
∵当x ＝0时，y ＝3，
∴C （0，3），
∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝12×3×1+12
×3×4＝7.5， （3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），
∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y＝k
x
中k的几何意义，这里
体现了数形结合的思想．
20．S1，S3，S4，S5，1
【解析】
【分析】
利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题.
【详解】
由题意：S矩形ABCD=S1+S1+S3=1，
S4=S1，S5=S3，S6=S4+S5，S阴影面积=S1+S6=S1+S1+S3=1．
故答案为S1，S3，S4，S5，1．
【点睛】
考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 21．见解析
【解析】
(1)如图：
(2)连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，且AD∥CF．
22．（1）-2（2）a+3，7
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值、零次方、负整数指数幂、立方根的意义和特殊角的三角函数值把每项化简，再按照实数的运算法则计算即可；
（2）先根据分式的运算法则把(22369a a a a --+＋23a -)÷229
a a --化简，再从2,3,4,5中选一个使原分式有意义的值代入计算即可.
【详解】
(1)； (2)原式＝[()()233a a a ---23a -]÷229
a a -- ＝(3a a --23a -)÷229
a a -- =23a a --×()()332
a a a +-- =a+3，
∵a≠－3，2，3，∴a ＝4或a ＝5，
取a ＝4，则原式＝7.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、分式的运算法则是解答本题的关键.
23．（1）①﹣3；②0Q L ≤≤（2D x ≤≤（3 【解析】
【分析】
（1）①把Q （1，a ）代入y=x-4,可求出a 值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与x 轴夹角越大，可得直线OQ 与D e 相切时理想值最大，C e 与x 中相切时，理想值最小，即可得
答案；（2）根据题意，讨论D e 与x 轴及直线y =相切时，L Q 取最小值和最大值，求出D 点横坐标
即可；（3）根据题意将点M 转化为直线2x =，Q 点理想值最大时点Q 在y =上，分析图形即可．
【详解】
（1）①∵点()1,Q a 在直线4y x =-上，
∴143a =-=-，
∴点Q 的“理想值”31
Q L -=
=-3， 故答案为：﹣3.
②当点Q 在D e 与x 轴切点时，点Q 的“理想值”最小为0.
当点Q 纵坐标与横坐标比值最大时，Q 的“理想值”最大，此时直线OQ 与D e 切于点Q ，
设点Q （x ，y ），C e 与x 轴切于A ，与OQ 切于Q ，
∵C （3，1）， ∴tan ∠COA=CA OA =33
， ∴∠COA=30°，
∵OQ 、OA 是C e 的切线，
∴∠QOA=2∠COA=60°，
∴y x =tan ∠QOA=tan60°=3， ∴点Q 的“理想值”为3，
故答案为：03Q L ≤≤（2）设直线与x 轴、y 轴的交点分别为点A ，点B ，
当x=0时，y=3，
当y=0时，3，解得：x=33 ∴()
33,0A ，()0,3B ．
∴33OA =3OB =， ∴tan ∠OAB=3OB OA =， ∴30OAB ∠=o ．
∵03Q L ≤≤
∴①如图，作直线3y x =．
当D e 与x 轴相切时，L Q =0，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．
作11D E x ⊥轴于点1E ，
∴11D E OB P ， ∴111D E AE BO AO
=． ∵D e 的半径为1，
∴111D E =． ∴13AE =，
∴1123OE OA AE =-=． ∴123D x =．
②如图
当D e 与直线3y x =相切时，L Q 32D 满足题意，其横坐标取到最小值．
作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E OA ⊥． 设直线3y x =与直线333y x =-
+的交点为F ． ∵直线3y x =中，3
∴60AOF ∠=o ， ∴OF AB ⊥，点F 与Q 重合， 则39cos 3322AF OA OAF =⋅∠==． ∵D e 的半径为1，
∴21D F =．
∴2272
AD AF D F =-=． ∴227373cos 224AE AD OAF =⋅∠=
⨯=，
∴22534
OE OA AE =-=． ∴253D x =．
由①②可得，D x 的取值范围是
3234D x ≤≤ （3）∵M （2，m ），
∴M 点在直线x=2上，
∵022Q L ≤≤
∴L Q 取最大值时，y x
=2， ∴作直线y=2x ，与x=2交于点N ，
当e M 与ON 和x 轴同时相切时，半径r 最大，
根据题意作图如下：e M 与ON 相切于Q ，与x 轴相切于E ， 把x=2代入y=22得：2，
∴2，OE=2，22NE OE +，
∴∠MQN=∠NEO=90°，
又∵∠ONE=∠MNQ ， ∴NQM NEO ∆∆:，
∴MQ MN NE ME OE ON ON -==，即226
r r =， 解得：2.
2.
【点睛】
本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行分类讨论．
24．证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质可得BC=DC ，BAD BCD α∠∠==，再根据ECF α∠=，从而可得 BCD ECF ∠∠=，继而得BCE ∠=DCF ∠，由旋转的性质可得CE =CF ，证明BEC V ≌DFC V ，即可证得BE =DF ；
（2）根据菱形的对角线的性质可得ACB ACD ∠∠=，AC BD ⊥，从而得
ACB+EBC 90∠∠=︒，由EB=EC ，可得EBC=BCE ∠∠，由（1）可知，可推得
DCF+ACD EBC ACB 90∠∠∠∠=+=︒，即可得ACF 90∠=︒，问题得证.
【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC=DC ，BAD BCD α∠∠==，
∵ECF α∠=，
∴ BCD ECF ∠∠=，
∴BCE=DCF ∠∠，
∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到，
∴CE=CF ，
在BEC V 和DFC V 中，
BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，，
∴BEC V ≌()DFC SAS V ，
∴BE=DF ；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴ACB ACD ∠∠=，AC BD ⊥，
∴ACB+EBC 90∠∠=︒，
∵EB=EC ，
∴EBC=BCE ∠∠，
由（1）可知，EBC=DCF ∠∠，
∴DCF+ACD EBC ACB 90∠∠∠∠=+=︒，
∴ACF 90∠=︒，
∴AC CF ⊥.
【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键.
25． (1) B （-1.2）;(2) y=57x?66
x -;(3)见解析. 【解析】
【分析】
（1）过A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ，则可证明△ACO ≌△ODB ，则可求得OD 和BD 的长，可求得B 点坐标；
（2）根据A 、B 、O 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由四边形ABOP 可知点P 在线段AO 的下方，过P 作PE ∥y 轴交线段OA 于点E ，可求得直线OA 解析式，设出P 点坐标，则可表示出E 点坐标，可表示出PE 的长，进一步表示出△POA 的面积，则可得到四边形ABOP 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P 点的坐标．
【详解】
（1）如图1，过A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥x 轴于点D ，
∵△AOB 为等腰三角形，
∴AO=BO ，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD ，
在△ACO 和△ODB 中
AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACO ≌△ODB （AAS ），
∵A （2，1），
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
∴B （-1，2）；
（2）∵抛物线过O 点，
∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，
把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得567
6a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=
56x 2-76
x ； （3）∵四边形ABOP ，
∴可知点P 在线段OA 的下方，
过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，
设直线AO 解析式为y=kx ，
∵A （2，1）， ∴k=12
， ∴直线AO 解析式为y=
12
x ， 设P 点坐标为（t ，56t 2-76t ），则E （t ，12t ）， ∴PE=12t-（56t 2-76t ）=-56t 2+53t=-56（t-1）2+56
， ∴S △AOP =12PE×2=PE═-56（t-1）2+56， 由A （2，1）可求得5
∴S △AOB =12AO•BO=52
， ∴S 四边形ABOP =S △AOB +S △AOP =-
56（t-1）2+56+52=()2510163t --+， ∵-56
＜0， ∴当t=1时，四边形ABOP 的面积最大，此时P 点坐标为（1，-
13
）， 综上可知存在使四边形ABOP 的面积最大的点P ，其坐标为（1，-13）． 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t 表示出四边形ABOP 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
26．（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标
为(1,2)--或(1,4)-
或(-
或(-. 【解析】 分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+.
∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，
∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13
m n =⎧⎨=⎩，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.
（注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()22
2213610PC t t t =-+-=-+，
①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛
⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
27．（1）该一次函数解析式为y=﹣x+1．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.
【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b ，
将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得
，解得：，
∴该一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）当y=﹣x+1=8时，
解得x=520，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.。