保险精算学利息的基本概念

1 vn a
n
d
积累值公式：
s n
(1 i)n d
1
2.3 任意时刻的年金值
2.3.1 首期付款前某时刻的年金现值：
2.3.2 在最后一期付款后某时刻的年金积累 值：
2.3.3 付款期间某时刻的年金当前值：
2.4 永续年金
付款次数没有限制，永远持续的年金成为永续年 金。
1 a
i
a 1 d
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
2、
A0
An
1
d (2) 2
2n
1
0
0
01
0.0 2
612
693.84
3、
i(4) 4
1
4
1
d (12) 12
12
i(4)
41
0.06 12
3
1
6.0605%
1.3 利息强度
投资一笔资金，设在时刻 t 的资金金额由总来能够函数 A（t）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金不变。定义：
2.5 连续年金
付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续 年金。
现值公式：
积累值公式：
2.1 期末付年金
年金的定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年 支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
期末付年金：
现值公式：
a 1 vn
n
iபைடு நூலகம்
积累值公式： s (1 i)n 1
n
i
2.2 期初付年金
每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。
现值公式：
式中， 为该投资额在 t 时刻的利息强度，即 为利息在时刻 t
的一种度t 量。
t
为 t 时每一单位资金的变化率。t
理论上可随 t 任意变化，实际上经常保持为常数。
t
将本节内容联系起来的一个常用关系式：
例1.2
确定1000元按如下利息效力投资10年的 积累值
1、 5%
2、 t 0.05(1 t)2
n 1, n为整数
1.1.2 单利和复利
考虑投资一单位本金。如果其在t时刻的积累值为
at 1it
i 则该笔投资以每期复利 计息，并将这样产生的利息成为单利。
如果其在t时刻的积累值为
a(t) (1 t)t
则该笔投资以每期复利 i 计息，并将这样产生的利息成为复利。
1.1.3实际贴现率
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与
m
m
1
d
1
d m m
m
名义利率和名义贴现率的关系：
当m=p时：
例1.1
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率
例1.1答案
1、
P 1
期末投资可回收金额之比，通常用字母 d 表示。
d i 1 i
1.2 名义利率和名义贴现率
名义利率
im
，是指每
1 m
个度量期支付利息一次，而在每
1 m
个度量期的实际利率为
im m
。
1
i
1
im m
m
1
名义贴现率 dm ，是指每m 个度量期支付利息一次，而在
每 1 个度量期的实贴现率为 d m 。
保险精算
第一章 利息的基本概念
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
1.1实际利率和实际贴现率
1.1.1实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额
与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 i 表示。
An An 1 in An 1
例1.2答案
1、1000e10 1000e100.05 1648.72
10
0.05(1t )2 dt
0.05 0
2、1000e 0
1000e 1t 10 1046.50
保险精算
第二章 年金
第二章 年金
2.1 期末付年金 2.2 期初付年金 2.3 任意时刻的年金值 2.4 永续年金 2.5 连续年金