地球物理勘探 1-4地震波的反射、透射和折射
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Q
V2 T
e
T f
：入射角（入射线和界面法线的夹角）
：反射角（反射线和界面法线的夹角） 1
：透射角（透射线和界面法线的夹角）
2
4.1 平面波的反射和透射
▪ 从图中可看出： AS BQ V1 T，
▪
ABQ ASQ 90
▪
共边 AQ
▪ 可证明：
14
15
▪ 2、 透射波的能量转换极其特征
• 透射波的波函数：
i ( t x sin 1 z cos 1 )
U P12 a P12 e
V P1 2
aB e i ( t kx sin 1 kz cos 1 ) PP
其中，k ( 园波数）
VP2
▪ ② i pp， / 2 ，s属in正 常1透射情况。 ▪ ③ ipp， / 2 sin ，1数学上不成立，可得
x
,
y
,
z
,
t
0
(
z
)ei
(
kx
wt
)
▪ ▪
式将中上式k 代 V入wR (波面动波方的程圆：波数），VR：面波速度
。（3-4-1）
2
t 2
V p2 2
0
2
t 2
Vs2
2
0
（3-4-2）
27
4.4 地震面波
▪ 就得到常微分方程
20
t 2
w1R w2R
6
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.2 波的转换
在介质W1和W2中存在四种不同的传播速度(见书（1-4-3） P波入射时，将 产生四种不同 的波，它们分别是 反射纵波 P11 反射横波 P12 透射纵波 P1S1 透射横波 P1S 2
同类波:与入射波波型相同的波，常用P-P表示； 转换波：与入射波波型不同的波，常用P-SH，P-SV表示； 7
对入射波是SH波和SV的情况可以推导类似的方程。
特别说明：佐普斯方程是一个很重要的方程，至少 它从理论上说明了波的分裂和能量的转换。比如利用正 演方法来研究油气分布时，可以利用射线追踪的办法来 合成地震记录，而射线追踪（比如高斯射线）就要利用 佐普斯方程的相关理论。
10
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
19
4.3 球面波的反射、透射
4.3.1 球面波的反射、透射振幅与入射波的关 系曲线
客观地说，平面波只是一种数学抽象，或者 是一种近似。它与实际常见的球面波是有一些 区别的。
平面波是以固定的角度投射到界面上的，而 球面波是以不同的角度投射到界面上的。
平面波作为一种数学抽象没有考虑到球面 扩散问题，而实际的球面波在客观上是存在球 面扩散的。
12
4.2 在弹性分界面上波的转换，
能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.5 倾斜入射、折射波的形成
1、 非法向入射的情况（称为倾斜入射）。
设 有
Vp,i1，入Vp射,i 角和透射角分别为 和 ，根 据斯 奈尔定律，
sin VP,i sin
VP,i1
总能找到一个入射角 i，pp使
20
4.3 球面波的反射、透射
• 球面波的入射可以看成是不同入射角的波同时投射 到弹性界面上，它的能量分配关系很复杂，而且直 接求解也比较困难。
• 国内外很多研究机构在这方面做了大量的工作，绘 制了不少反射系数和透射系数的曲线。这些图大致 分为两类。
• 一类是在一定的密度比和速度比条件下，各种不同 波的能量与入射角的关系，
则：
sin iPP
VP,i VP,i1
/
2
这时，透射波的射线是沿着界面滑行的，其波前垂直于分界
面，这种现象称为全反射现象；而 称i pp为临界角。全反射现象 不能简单地用射线来解释，需要用精确的波动理论来进行分析
。见书p23图1-13
13
1、反射波的波前。 2、 透射波（或滑行波）的波前。 3、折射波的波前。
23
4.4 地震面波
▪ 勒夫面波：产生在介质表面上的低速覆盖层中，以及该层 与下面介质的分界面上。它是一种SH波，有频散现象。
▪ 斯通利面波：产生于两个不同弹性性质的介质分界面附近。 其性质与瑞雷面波接近，但它有频散现象。
▪ 二、瑞雷面波的形成及传播特征
▪ 1、瑞雷面波的形成
▪ 瑞雷面波存在的物理模型 是一个半无限弹性空间，上
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
▪ 4.2.3 各种波的能量分配关系
▪ 设入射波为平面简谐纵波，则反射、透射纵、横波的5个波函数或位
移矢量为(见书（1.4-4）式)
▪ r为射线方向。用坐标表示可写为 r x sin cos x ( x) z ( z )
▪ 求解以上方程组，可得几种波在界面R上的O点所满足的能量矩阵方 程（见书（1.4-8)式），这个方程称为佐普斯方程（Zoeppritz)。
8
9
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
佐普斯方程（Zoeppritz)，它反映了反射纵波、反 射横波、透射纵波、透射横波之间的能量分配关系，只 要知道地层弹性参数，入射波振幅及入射角，就可以求 得四种波的振幅系数。
（k 2
k
2 p
)0
0
20
t 2
（k 2
k
2 s
)0
0
（3-4-3）
▪
式中
kp
w Vp
(纵波的圆波数），
ks
w (横波的圆波数） Vs
▪ 上式的解显然为
Ae Ae
r
r
▪ 式中正负号的确定方法为：r 的x分量沿x轴增大为正，反之为负；
▪
r 的z分量沿z轴增大为正，反之为负.
▪ 根据P波和s波的质点振动特性，可得5个位移矢量各自在x,z方向得 位移分量u和w为（见书图1-12 和（1.4-5)式)
▪ 将位移分量代入位移边界条件：（见书（1.4-6)式)
▪ 及应力边界条件： （见书（1.4-7)式)
Vs1
Vs2
式中：1、 2分别表示纵波和横波的反射角；
1、2 分别表示纵波和横波的反射角
4
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
➢ 上面分析了弹性分界面将一个波变成了多个
波，随之波的能量也要发生变化，这类问题属弹 性波在分界面上的动力学问题，即在分界面上波 的转换和能量分配等问题。事实上，这类问题也 是波动方程的边界问题，分界面的作用在于提供 了某些边界条件。
11
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
▪
定义
反射系数为：Ri
zi1 zi zi1 zi
V i1 i1 iVi V i1 i1 iV
▪ 当波的zi相1 位z一i 时致，。反当射z系i1数 z为i 正时，，说反明射反系射数波为的负相，位说与明入反射射 波的相位与入射波的相位相反，这种现象称为半波损失。
部是空气，下部为弹性系数 为 ，，，的VP，介V质S ，令xoy平 面与自由面重合，Z轴垂直于
自由面向下。仅讨论xoz平面
内的二维问题。
24
25
26
4.4 地震面波
▪ 引用位移矢量的两个位函数（标量位 和矢量位 ）
x, y, z, t (z)ei(kx wt ) 0
➢所谓分界面就是介质弹性性质的不连续面。根 据弹性波分界面上的边界条件来求解波动方程， 确定各种波之间的能量分配。
5
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.1 假设条件和边界条件
▪ 假设弹性分界面R两边的介质W1和W2均是均匀和各向同性的，并 且知道其弹性系数和密度。并有一平面P波在XOZ平面内入射界面 R，入射角为
i ( t x sin 1 )
U P12 a BPP e kmz e
V P2
d
其 中 ，m
2
VP2 VP1
sin
1
k VP2
17
▪ 分析可得以下结论：
▪ 1、此时透射波的振幅随深度z呈指数衰减，因此， 透射波是靠近界面的一薄层内传播。并且相位超 前φ角。
4.2.4 法向入射
法向入射是指入射波垂直投射到弹性界面上。按佐
普斯方程求解可得：APS BPS =0
APP
2VP 2 2VP 2
1VP1 1VP1
说明：
BPP
2 1VP1 2VP2 1VP1
法向入射时，无横波产生，即不存在横波。
定义：z 为V波阻抗。反射波存在的条件是界面两边 的波阻抗不相等，即 z。1 z2
V1
V1
V2
其 sin sin 为折射定理
V1
V1
V1
V2
如果界面两边速度分别为 Vp1，Vp2，Vs1，Vs2 ，则斯奈尔定理可扩展为
sin sin1 sin 1 sin2 sin 2 p
Vp1
Vp1
Vp2
▪ 透射系数永远为正，说明透射波的相位与入射波一致。
▪ 当纵波垂直出射到自由界面时，由于空气的密度相对岩石 的密度来说很小，可以视为零，因此由佐普斯方程求解后 可得：App 1, APS 0 , Bpp 0
▪ 在自由表面只形成反射纵波，而横波和透射波都不存在， 并且入射波和反射波之间相位相反。
复数域的位移（见书P22）
16
cos 1 1 sin 1
1 (VP2 VP1 )2 sin2
因
i
pp
时
，VP2 VP1
sin
1，
cos
为
1
虚
数
。
则
有
c：os
1
im
并
且
，B
也
PP
为
复
数
形
式
。
BPP BPP ei
将以上关系代入透射P波位移矢量可得：
▪ 应力连续。在介面R上，介质W1域内的质点作用于W2域质点的
应力应等于W2域质点作用于W1域指点的应力。
（ zz )1R ( ZZ )2R
▪
( xz )1R ( xz )2R
▪ 位移连续。当应力在介质的弹性限度内时，W1介质和W2介质在
介质R上不会产生断裂和滑动。u1R u2R
ASQ ABQ
▪
1、入射角等于反射角
。 1
又有 BQ V1 T AQsin AF V2 T AQsin AS V1 T AQsin 1
3
4.1 平面波的反射和透射
2、入射角和透射角的关系
斯奈尔定理： sin sin1 sin p
• 另一类是一定的密度比和速度比条件下，反射系数 与入射角的关系。（见书P24）
21
22
4.4 地震面波
一、面波的分类
在三维空间中,凡是能量向整个空间中传播的波,都称为 体波。例如在弹性分界面上形成的反射、折射、透射波，它 们随着时间的增加，在整个弹性空间的介质内传播。
能量只分配在弹性界面附近的波称为面波（ 在Z方向振 幅呈指数衰减）。常见的面波有三类：
▪ 瑞雷面波：是1887年由英国学者瑞雷首先在理论上提出 的。这种面波分布在自由界面上，或者表层为疏松的覆盖层 内。如果表面是完全“自由”的，则瑞雷面波的速度不依赖 于频率，即不存在频散现象。如果介质表面上存在一层非弹 性的疏松盖层，当考虑到盖层的因素时，所求的瑞雷面波是 有频散的。计算表明，瑞雷面波既有P波成分，又有SV波成 分，无SH波成分。
4 地震波的反射、透射和折射
本章包括：
▪ 平面波的反射和透射（斯奈尔定理） ▪ 在弹性分界面上波的转换，能量分配，
法向入射和倾斜入射 ▪ 球面波的反射和透射 ▪ 地震面波
1
4.1 平面波的反射和透射
B
c
A
W1(V1，1) R
W2 (V2，2 )
B'
S
d
h
g
V1 T
A'
1 1
▪ 2、这时透射波已变成在介质中沿界面传播的滑 行波。而且波前脱离入射波和反射波而产生超前 运动。
▪ 3、会导致一种新扰动产生，这个新扰动就是地 震勘探中的折射波，也称为首波。之所以称为首 波，是因为它的速度高，它一定比反射波先到达 地面，所以称为首波
18
4、折射波的波前一端与反射波的波前相切，一端与 滑行波相连。 5、折射波的射线是一系列角度为临界角的平行线 特别注意： • 首波产生的条件比较苛刻， 。 i pp，Vp,i1 Vp,i • 小于临界角的区域称为盲区（见书P23图1-14） • 在盲区外是无能量向下传播的，所以下覆的高速层 相当于一个屏蔽层，阻止波往下传播；而这种现象成 为屏蔽现象。 • 可以认为折射波的能量完全是由透射波的能量转化 而来的。
V2 T
e
T f
：入射角（入射线和界面法线的夹角）
：反射角（反射线和界面法线的夹角） 1
：透射角（透射线和界面法线的夹角）
2
4.1 平面波的反射和透射
▪ 从图中可看出： AS BQ V1 T，
▪
ABQ ASQ 90
▪
共边 AQ
▪ 可证明：
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▪ 2、 透射波的能量转换极其特征
• 透射波的波函数：
i ( t x sin 1 z cos 1 )
U P12 a P12 e
V P1 2
aB e i ( t kx sin 1 kz cos 1 ) PP
其中，k ( 园波数）
VP2
▪ ② i pp， / 2 ，s属in正 常1透射情况。 ▪ ③ ipp， / 2 sin ，1数学上不成立，可得
x
,
y
,
z
,
t
0
(
z
)ei
(
kx
wt
)
▪ ▪
式将中上式k 代 V入wR (波面动波方的程圆：波数），VR：面波速度
。（3-4-1）
2
t 2
V p2 2
0
2
t 2
Vs2
2
0
（3-4-2）
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4.4 地震面波
▪ 就得到常微分方程
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t 2
w1R w2R
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4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.2 波的转换
在介质W1和W2中存在四种不同的传播速度(见书（1-4-3） P波入射时，将 产生四种不同 的波，它们分别是 反射纵波 P11 反射横波 P12 透射纵波 P1S1 透射横波 P1S 2
同类波:与入射波波型相同的波，常用P-P表示； 转换波：与入射波波型不同的波，常用P-SH，P-SV表示； 7
对入射波是SH波和SV的情况可以推导类似的方程。
特别说明：佐普斯方程是一个很重要的方程，至少 它从理论上说明了波的分裂和能量的转换。比如利用正 演方法来研究油气分布时，可以利用射线追踪的办法来 合成地震记录，而射线追踪（比如高斯射线）就要利用 佐普斯方程的相关理论。
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4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
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4.3 球面波的反射、透射
4.3.1 球面波的反射、透射振幅与入射波的关 系曲线
客观地说，平面波只是一种数学抽象，或者 是一种近似。它与实际常见的球面波是有一些 区别的。
平面波是以固定的角度投射到界面上的，而 球面波是以不同的角度投射到界面上的。
平面波作为一种数学抽象没有考虑到球面 扩散问题，而实际的球面波在客观上是存在球 面扩散的。
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4.2 在弹性分界面上波的转换，
能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.5 倾斜入射、折射波的形成
1、 非法向入射的情况（称为倾斜入射）。
设 有
Vp,i1，入Vp射,i 角和透射角分别为 和 ，根 据斯 奈尔定律，
sin VP,i sin
VP,i1
总能找到一个入射角 i，pp使
20
4.3 球面波的反射、透射
• 球面波的入射可以看成是不同入射角的波同时投射 到弹性界面上，它的能量分配关系很复杂，而且直 接求解也比较困难。
• 国内外很多研究机构在这方面做了大量的工作，绘 制了不少反射系数和透射系数的曲线。这些图大致 分为两类。
• 一类是在一定的密度比和速度比条件下，各种不同 波的能量与入射角的关系，
则：
sin iPP
VP,i VP,i1
/
2
这时，透射波的射线是沿着界面滑行的，其波前垂直于分界
面，这种现象称为全反射现象；而 称i pp为临界角。全反射现象 不能简单地用射线来解释，需要用精确的波动理论来进行分析
。见书p23图1-13
13
1、反射波的波前。 2、 透射波（或滑行波）的波前。 3、折射波的波前。
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4.4 地震面波
▪ 勒夫面波：产生在介质表面上的低速覆盖层中，以及该层 与下面介质的分界面上。它是一种SH波，有频散现象。
▪ 斯通利面波：产生于两个不同弹性性质的介质分界面附近。 其性质与瑞雷面波接近，但它有频散现象。
▪ 二、瑞雷面波的形成及传播特征
▪ 1、瑞雷面波的形成
▪ 瑞雷面波存在的物理模型 是一个半无限弹性空间，上
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
▪ 4.2.3 各种波的能量分配关系
▪ 设入射波为平面简谐纵波，则反射、透射纵、横波的5个波函数或位
移矢量为(见书（1.4-4）式)
▪ r为射线方向。用坐标表示可写为 r x sin cos x ( x) z ( z )
▪ 求解以上方程组，可得几种波在界面R上的O点所满足的能量矩阵方 程（见书（1.4-8)式），这个方程称为佐普斯方程（Zoeppritz)。
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4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
佐普斯方程（Zoeppritz)，它反映了反射纵波、反 射横波、透射纵波、透射横波之间的能量分配关系，只 要知道地层弹性参数，入射波振幅及入射角，就可以求 得四种波的振幅系数。
（k 2
k
2 p
)0
0
20
t 2
（k 2
k
2 s
)0
0
（3-4-3）
▪
式中
kp
w Vp
(纵波的圆波数），
ks
w (横波的圆波数） Vs
▪ 上式的解显然为
Ae Ae
r
r
▪ 式中正负号的确定方法为：r 的x分量沿x轴增大为正，反之为负；
▪
r 的z分量沿z轴增大为正，反之为负.
▪ 根据P波和s波的质点振动特性，可得5个位移矢量各自在x,z方向得 位移分量u和w为（见书图1-12 和（1.4-5)式)
▪ 将位移分量代入位移边界条件：（见书（1.4-6)式)
▪ 及应力边界条件： （见书（1.4-7)式)
Vs1
Vs2
式中：1、 2分别表示纵波和横波的反射角；
1、2 分别表示纵波和横波的反射角
4
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
➢ 上面分析了弹性分界面将一个波变成了多个
波，随之波的能量也要发生变化，这类问题属弹 性波在分界面上的动力学问题，即在分界面上波 的转换和能量分配等问题。事实上，这类问题也 是波动方程的边界问题，分界面的作用在于提供 了某些边界条件。
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4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
▪
定义
反射系数为：Ri
zi1 zi zi1 zi
V i1 i1 iVi V i1 i1 iV
▪ 当波的zi相1 位z一i 时致，。反当射z系i1数 z为i 正时，，说反明射反系射数波为的负相，位说与明入反射射 波的相位与入射波的相位相反，这种现象称为半波损失。
部是空气，下部为弹性系数 为 ，，，的VP，介V质S ，令xoy平 面与自由面重合，Z轴垂直于
自由面向下。仅讨论xoz平面
内的二维问题。
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4.4 地震面波
▪ 引用位移矢量的两个位函数（标量位 和矢量位 ）
x, y, z, t (z)ei(kx wt ) 0
➢所谓分界面就是介质弹性性质的不连续面。根 据弹性波分界面上的边界条件来求解波动方程， 确定各种波之间的能量分配。
5
4.2 在弹性分界面上波的转换， 能量分配，法向入射和倾斜入射
4.2.1 假设条件和边界条件
▪ 假设弹性分界面R两边的介质W1和W2均是均匀和各向同性的，并 且知道其弹性系数和密度。并有一平面P波在XOZ平面内入射界面 R，入射角为
i ( t x sin 1 )
U P12 a BPP e kmz e
V P2
d
其 中 ，m
2
VP2 VP1
sin
1
k VP2
17
▪ 分析可得以下结论：
▪ 1、此时透射波的振幅随深度z呈指数衰减，因此， 透射波是靠近界面的一薄层内传播。并且相位超 前φ角。
4.2.4 法向入射
法向入射是指入射波垂直投射到弹性界面上。按佐
普斯方程求解可得：APS BPS =0
APP
2VP 2 2VP 2
1VP1 1VP1
说明：
BPP
2 1VP1 2VP2 1VP1
法向入射时，无横波产生，即不存在横波。
定义：z 为V波阻抗。反射波存在的条件是界面两边 的波阻抗不相等，即 z。1 z2
V1
V1
V2
其 sin sin 为折射定理
V1
V1
V1
V2
如果界面两边速度分别为 Vp1，Vp2，Vs1，Vs2 ，则斯奈尔定理可扩展为
sin sin1 sin 1 sin2 sin 2 p
Vp1
Vp1
Vp2
▪ 透射系数永远为正，说明透射波的相位与入射波一致。
▪ 当纵波垂直出射到自由界面时，由于空气的密度相对岩石 的密度来说很小，可以视为零，因此由佐普斯方程求解后 可得：App 1, APS 0 , Bpp 0
▪ 在自由表面只形成反射纵波，而横波和透射波都不存在， 并且入射波和反射波之间相位相反。
复数域的位移（见书P22）
16
cos 1 1 sin 1
1 (VP2 VP1 )2 sin2
因
i
pp
时
，VP2 VP1
sin
1，
cos
为
1
虚
数
。
则
有
c：os
1
im
并
且
，B
也
PP
为
复
数
形
式
。
BPP BPP ei
将以上关系代入透射P波位移矢量可得：
▪ 应力连续。在介面R上，介质W1域内的质点作用于W2域质点的
应力应等于W2域质点作用于W1域指点的应力。
（ zz )1R ( ZZ )2R
▪
( xz )1R ( xz )2R
▪ 位移连续。当应力在介质的弹性限度内时，W1介质和W2介质在
介质R上不会产生断裂和滑动。u1R u2R
ASQ ABQ
▪
1、入射角等于反射角
。 1
又有 BQ V1 T AQsin AF V2 T AQsin AS V1 T AQsin 1
3
4.1 平面波的反射和透射
2、入射角和透射角的关系
斯奈尔定理： sin sin1 sin p
• 另一类是一定的密度比和速度比条件下，反射系数 与入射角的关系。（见书P24）
21
22
4.4 地震面波
一、面波的分类
在三维空间中,凡是能量向整个空间中传播的波,都称为 体波。例如在弹性分界面上形成的反射、折射、透射波，它 们随着时间的增加，在整个弹性空间的介质内传播。
能量只分配在弹性界面附近的波称为面波（ 在Z方向振 幅呈指数衰减）。常见的面波有三类：
▪ 瑞雷面波：是1887年由英国学者瑞雷首先在理论上提出 的。这种面波分布在自由界面上，或者表层为疏松的覆盖层 内。如果表面是完全“自由”的，则瑞雷面波的速度不依赖 于频率，即不存在频散现象。如果介质表面上存在一层非弹 性的疏松盖层，当考虑到盖层的因素时，所求的瑞雷面波是 有频散的。计算表明，瑞雷面波既有P波成分，又有SV波成 分，无SH波成分。
4 地震波的反射、透射和折射
本章包括：
▪ 平面波的反射和透射（斯奈尔定理） ▪ 在弹性分界面上波的转换，能量分配，
法向入射和倾斜入射 ▪ 球面波的反射和透射 ▪ 地震面波
1
4.1 平面波的反射和透射
B
c
A
W1(V1，1) R
W2 (V2，2 )
B'
S
d
h
g
V1 T
A'
1 1
▪ 2、这时透射波已变成在介质中沿界面传播的滑 行波。而且波前脱离入射波和反射波而产生超前 运动。
▪ 3、会导致一种新扰动产生，这个新扰动就是地 震勘探中的折射波，也称为首波。之所以称为首 波，是因为它的速度高，它一定比反射波先到达 地面，所以称为首波
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4、折射波的波前一端与反射波的波前相切，一端与 滑行波相连。 5、折射波的射线是一系列角度为临界角的平行线 特别注意： • 首波产生的条件比较苛刻， 。 i pp，Vp,i1 Vp,i • 小于临界角的区域称为盲区（见书P23图1-14） • 在盲区外是无能量向下传播的，所以下覆的高速层 相当于一个屏蔽层，阻止波往下传播；而这种现象成 为屏蔽现象。 • 可以认为折射波的能量完全是由透射波的能量转化 而来的。