高考数学(文)分层辅导培训卷：第8章立体几何 第3讲含解析

[学生用书P250(单独成册)]
一、选择题
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()
A．4个B．3个
C．2个D．1个
解析：选A．首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
解析：选A．由BC═∥AD，AD═∥A1D1知，BC═∥A1D1，
从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，
又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，
则A1B与EF相交．
5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为()
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．π2
解析：选C ．如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，
在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π
3
．
6．已知l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面
解析：选B ．在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．
二、填空题
7．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c 则a ∥c ；
③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，
并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
答案：①
8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
解析：
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2．
答案： 2
9．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合条件的有5条．
答案：5
10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3
，则下列说法正确的是________．
①EF 与GH 平行； ②EF 与GH 异面；
③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．
解析：连接EH ，FG (图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E 、F 、G 、H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝2
3BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH
必相交，设交点为M ．因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．
答案：④ 三、解答题
11．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．
证明：如图，连接BD ，B 1D 1， 则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1═∥DD 1，
所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ，
B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，
因为平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1， 所以H ∈OD 1． 即D 1、H 、O 三点共线． 12．
如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点． (1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；
(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．
解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．
(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．
又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG ．
在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1
2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的
角为45°．
1．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12
F A ，
G ，
H 分别为F A ，FD 的中点．
(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH ═∥12AD ．又BC ═∥12AD ，故GH ═∥BC ． 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE ═∥12F A ，G 是F A 的中点知，BE ═∥GF ， 所以EF ═∥BG ． 由(1)知BG ∥CH ，
所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．
又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．
2．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π
2，AB
＝2，AC ＝23，P A ＝2．求：
(1)三棱锥P -ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．
解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝1
3×23×2
＝43
3
．
(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．
在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝3
4
．
故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为3
4．。