周末强化训练卷(二次函数2)-2021届九年级苏科版数学下册

周末强化训练卷（二次函数2）-2021届九年级苏科版数学下册（有答案20.11.22）
（本试卷满分150，共27题，选择10道．填空8道、解答9道）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1、下列函数不属于二次函数的是（ ）
A ．y=（x ﹣2）（x+1）
B ．y=1
2（x+1）2 C ．y=2（x+3）2﹣2x 2 D ．y=1﹣3x 2
2、对于抛物线
，下列说法错误的是（ ）
A ．对称轴是直线x ＝5
B ．函数的最大值是3
C ．开口向下，顶点坐标（5，3）
D ．当x ＞5时，y 随x 的增大而增大 3、函数y ＝x 2+2x ﹣4的顶点所在象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4、二次函数y=ax 2
+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5、若|m +3|+＝0，点P （m ，n ）关于x 轴的对称点P ′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为
（ ）
A ．y ＝（x ﹣3）2+2
B ．y ＝（x +3）2﹣2
C ．y ＝（x ﹣3）2﹣2
D ．y ＝（x +3）2+2 6、将抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为（ ） A ．y ＝﹣x 2﹣2 B ．y ＝﹣x 2+2 C ．y ＝x 2﹣2 D ．y ＝x 2+2 7、抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜2
B ．m ＞2
C ．0＜m≤2
D ．m ＜﹣2
8、已知点A （﹣2，a ），B （2，b ），C （4，c ）是抛物线y ＝x 2﹣4x 上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．a ＞c ＞b
9、竖直上抛物体离地面的高度h （m ）与运动时间t （s ）之间的关系可以近似地用公式h ＝﹣5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0（m ）是物体抛出时离地面的高度，v 0（m /s ）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ） A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m
10、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＝0；
③b 2
﹣4ac ＜0；④4a +2b +c ＞0．其中正确的是（ ） A ．①③ B ．② C ．②④ D ．③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11、若函数y ＝（m 2+2m ﹣8）x 2+4x +5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为
12、若二次函数y ＝2（x +1）2+3的图象上有三个不同的点A （x 1，m ）、B （x 1+x 2，n ）、C （x 2，m ），
则n 的值为
13、已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）图象上的两点（x 1，y 1）和（3，y 2），若y 1＞y 2，则x 1的取值范围是 14、如图，抛物线212y x =
经过平移得到抛物线21
22
y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分
的面积为____.
15、在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：
x…… 1 2 3 4 5 6 7 8 ……
y＝
ax2+bx+c
……﹣1.78 ﹣3.70 ﹣4.42 ﹣3.91 ﹣2.20 0.75 4.88 10.27 ……
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，
其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位）．
16、当二次函数y＝x2+m（x＞﹣1且m＜0）与y＝x有且只有一个交点时，m的取值范围是
17、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量
x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是_____．
18、从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所
示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3 s后,速度越来越快;③小球抛出3 s时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是( )
(A)①④(B)①② (C)②③④(D)②③
三、解答题（本大题共9小题，共96分．）
19、如图，抛物线y＝1
3
x2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）．
（1）抛物线的对称轴；
（2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（3）直线AB的函数表达式．
20、小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周
销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）12 14 16
每周的销售量y（本）500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销
售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
21、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，
得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（﹣1，﹣2a），Q（﹣4，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
22、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．
（1）当c＝4时，若点B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；
（2）已知点M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；
（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，且PQ＝，求b的值．
23、如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是４，抛物线与x轴相交于O、M两
OM ；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．点，4
(1)请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
(2)设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
△为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q（除点M外），使
(3)连结OP、PM，则PMO
△也是等腰三角形，简要说明你的理由．
得OPQ
24、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子，恰在水面中心，
，由柱子顶端处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为处达到距水面最大高度．
若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？
若水流喷出的抛物线形状与相同，水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？
25、某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函
数图像（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系（即x 个月累计利润总和y与x之间的关系），根据图像提供的信息解答下列问题：
（1）该种软件上市第几个月后开始盈利？
（2）求累计利润总和y（万元）与时间x（月）之间的函数关系式．
（3）截止到几月末公司累计利润达到30万元？
（4）求出该函数图像与y轴的交点坐标，并说明该点的实际意义．
26、四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，
项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
27、如图，二次函数y＝ax2﹣ax+c图象的顶点为C，一次函数y＝﹣x+3的图象与这个二次函数的图象交
于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）①若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积等于4，求此二次函数的关系式；
②若CD＝DB，且△BCD的面积等于4，求a的值．
周末强化训练卷（二次函数2）-2021届九年级苏科版数学下册（答案20.11.22）（本试卷满分150，共27题，选择10道．填空8道、解答9道）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、下列函数不属于二次函数的是（C）
A．y=（x﹣2）（x+1）B．y=1
2
（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣3x2
2、对于抛物线，下列说法错误的是（）
A．对称轴是直线x＝5B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）D．当x＞5时，y随x的增大而增大
解：∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；
函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；
当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
3、函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（C）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4、二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是( C)
A．B．C．D．
5、若|m+3|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为
（）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
解：∵|m+3|+＝0，∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣2，故选：B．
6、将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对
称，则抛物线C3的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．
7、抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（A）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2D．m＜﹣2
8、已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为
（）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，
∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．
9、竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表
示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
10、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（）
A．①③B．②C．②④D．③④
解：①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，所以abc＜0，故①错误；
②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；
③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，
所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；
综上所述，正确的结论为②④．故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11、若函数y＝（m2+2m﹣8）x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为
解：∵函数y＝（m2+2m﹣8）x2+4x+5是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣8≠0，解得：m≠﹣4且m≠2，故答案为：m≠﹣4且m≠2．
12、若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），
则n的值为
解：∵A（x1，m）、C（x2，m）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴＝﹣1，∴x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
13、已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范
围是
解：∵y1＞y2，∴a﹣2ax1+c＞9a﹣6a+c，∴a﹣2ax1﹣3a＞0，
∵a＜0，∴函数y＝a﹣2ax1﹣3a开口向下，
令a﹣2ax1﹣3a＝0，解得x1＝﹣1或3，
画出函数图象示意图：
由图象可得，当﹣1＜x ＜3时，a ﹣2ax 1﹣3a ＞0，
∴x 1的取值范围是﹣1＜x 1＜3， 故答案为：﹣1＜x 1＜3．
14、如图，抛物线212y x =
经过平移得到抛物线21
22
y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为__4__.
15、在关于x 的二次函数中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y 的几组对应值：
x …… 1 2 3 4 5 6 7 8 …… y ＝ax 2+bx +c
……
﹣1.78
﹣3.70
﹣4.42
﹣3.91
﹣2.20
0.75
4.88
10.27
……
根据以上信息，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （结果保留小数点后一位）． 解：由表格可知，
当x ＝5时，y ＝﹣2.20＜0，当x ＝6时，y ＝0.75＞0，
则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可）， 故答案为：5.8（5.6至5.9均可）．
16、当二次函数y ＝x 2+m （x ＞﹣1且m ＜0）与y ＝x 有且只有一个交点时，m 的取值范围是 解：画出函数的图象如图所示：
∵二次函数y＝x2+m（x＞﹣1且m＜0）与y＝x有且只有一个交点，
∴当x＝﹣1时y＝x2+m＝﹣1时满足题意，则m＝﹣2，
∴m的取值范围是m≤﹣2．
故答案为m≤﹣2．
17、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：
①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量
x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是_①④⑤____．
18、从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所
示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3 s后,速度越来越快;③小球抛出3 s时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是( D )
(A)①④(B)①② (C)②③④(D)②③
三、解答题（本大题共9小题，共96分．）
19、如图，抛物线y＝1
3
x2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）．
（1）抛物线的对称轴；
（2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（3）直线AB的函数表达式．
答案：（1）x＝2；（2）y＝1
3
x2﹣
4
3
x﹣1；顶点B的坐标为（2，﹣
7
3
）；（3）y＝
2
3
x﹣
11
3
20、小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周
销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）12 14 16
每周的销售量y（本）500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值, ∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
21、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，
得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（﹣1，﹣2a），Q（﹣4，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，∴A（0，﹣5a），
点A向左平移4个单位长度，得到点B（﹣4，﹣5a）；
（2）∵A与B关于对称轴x＝﹣2对称，∴抛物线对称轴x＝﹣2；
（3）∵对称轴x＝﹣2，∴b＝4a，∴y＝ax2+4ax﹣5a，
①a＞0时，点A（0，﹣5a）在y轴负半轴上，
此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ无交点；
②当a＜0时，点A（0，﹣5a）在y轴正半轴，
当Q点在抛物线上时，则2＝16a﹣16a﹣5a，解得a＝﹣，
即当﹣≤a＜0时，（如图2），结合图象，抛物线与线段PQ有一个交点；
综上，a的取值范围是﹣≤a＜0．
22、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．
（1）当c＝4时，若点B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；
（2）已知点M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；
（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，且PQ＝，求b的值．解：（1）∵c＝4，∴二次函数的表达式为y＝ax2+bx+4．
∵点A（1，2），B（2，4）在二次函数的图象上，
∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝2x2﹣4x+4；
（2）∵点M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，∴M，N为对称点
∴该二次函数的对称轴是直线x＝＝t，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）开口向上，A（1，2），M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数图象上，且3＞2，
∴点M，N分别落在点A的左侧和右侧，
∴t﹣2＜1＜t+2，解得﹣1＜t＜3；
（3）当a＝1 时，y＝x2+bx+c，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，2），∴2＝1+b+c，即c＝1﹣b，
∴二次函数表达式为y＝x2+bx+1﹣b，
根据二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，
由x2+bx+1﹣b＝3x﹣1，解得x1＝1，x2＝2﹣b，∴点P，Q的横坐标分别是1，2﹣b，
不妨设点P的横坐标是1，则点P与点A重合，即P的坐标是（1，2），
∴点Q的坐标是（2﹣b，3（2﹣b）﹣1），即Q的坐标是（2﹣b，5﹣3b），
∵PQ＝，∴（2﹣b﹣1）2+（5﹣3b﹣2）2＝（）2，
整理得（b﹣1）2＝1，解得b＝0或2，即b的值为0或2．
23、如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是４，抛物线与x轴相交于O、M两
OM ；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．点，4
(1)请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
(2)设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值；
(3)连结OP 、PM ，则PMO △为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q （除点M 外），使
得OPQ △也是等腰三角形，简要说明你的理由．
解析：(1)如图所示，点P 坐标为（2,4），点M 坐标为(4,0),
设抛物线的解析式为2(2)4y a x =-+，代入P (2,4)，M (4,0),得22
(2)44y x x x =--+=-+．
(2)设点()A x y ，,其中04x <<.则B (x ,0)，D (4－x,y )，C (4－x ,0),则AD=BC=2x-4，
AB=CD=y,L=AD+BC+AB+CD=2(y+2x-4)=-2x 2+12x-8=-2(x-3)2+10,
,40<<x ∴当3x =时，矩形的周长l 的最大值是10．
(3)存在,作OP 的中垂线一定能与抛物线相交，
或以O 点为圆心，以OP 的长为半径画弧也能与抛物线相交．
24、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子，恰在水面中心，，由柱子顶端处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在距离为处达到距水面最大高度．
若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？ 若水流喷出的抛物线形状与相同，水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？
解：以为原点，顶点为， 设解析式为过点， 解得，所以解析式为：， 令，则， 解得或（舍去）， 所以花坛半径至少为．根据题意得出： 设，把点
∴， 解得：， ∴
， ∴水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．
25、某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函
数图像（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y （万元）与销售时间x （月）之间的函数关系（即x 个月累计利润总和y 与x 之间的关系），根据图像提供的信息解答下列问题：
（1）该种软件上市第几个月后开始盈利？
（2）求累计利润总和y （万元）与时间x （月）之间的函数关系式．
（3）截止到几月末公司累计利润达到30万元？
（4）求出该函数图像与y 轴的交点坐标，并说明该点的实际意义．
解：（1）从图像可以看出该种软件上市第3个月后开始盈利．
（2）由图像可设2(1)2y a x =--
把点(42.5)，代入得：22.5(41)2a =--，解得12a = .21(1)22y x ∴=--， （3）由题意，得21(1)2302
x --= 解方程得19x =，27x =-（舍去） 即：截止到9月末公司累计利润达到30万元. （4）令0x =，则21(01)2 1.52y =
--=-.即该函数图像与y 轴的交点坐标为(0 1.5)-，, 该点的实际意义是研发软件的过程中投资了1.5万元．
26、四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润
最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每
天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．
解：（1）根据题意，得y ＝250﹣10（x ﹣45）＝﹣10x +700．
答：每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y ＝﹣10x +700．
（2）销售量不低于240件，得﹣10x +700≥240
解得x ≤46，∴30＜x ≤46．
设销售单价为x 元时，每天获取的利润是w 元，根据题意，得
w ＝（x ﹣30）（﹣10x +700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000
∵﹣10＜0，所以x ＜50时，w 随x 的增大而增大， 所以当x ＝46时，w 有最大值，
w 的最大值为﹣10（46﹣50）2+4000＝3840．
答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
（3）根据题意，得w ﹣150＝﹣10x 2+1000x ﹣21000﹣150＝3600
即﹣10（x ﹣50）2＝﹣250,解得x 1＝55，x 2＝45，
根据图象得，当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
27、如图，二次函数y ＝ax 2﹣ax +c 图象的顶点为C ，一次函数y ＝﹣x +3的图象与这个二次函数的图象交
于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）①若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积等于4，求此二次函数的关系式；
②若CD＝DB，且△BCD的面积等于4，求a的值．
解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3，得y＝2，∴点D的坐标为（1，2）；
（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2），∴CD＝4，
①设点B横坐标为x，则，解得x＝3，
∵B点在函数y＝﹣x+3的图象上，∴B点坐标为（3，0），
∵二次函数的顶点为C（1，﹣2），
∴它的函数关系式可设为，把B点坐标代入，得a＝1，
∴此二次函数的关系式为；
②设B（m，﹣m+3）（m＞1），由y＝﹣x+3可知y＝﹣x+3图象与DC相交成45°，
过点B作BE⊥CD于E，如下图所示，由图可得BE＝m﹣1，∴DB＝DC＝BE，
由S△BCD＝4得×（m﹣1）2＝4，∴m1＝3，m2＝﹣1（舍去），∴DC＝4，B（3，0），Ⅰ．当a＞0时，则点C在点D下方，则点C的坐标为（1，﹣2），
将B点代入得a＝，
Ⅱ．当a＜0时，则点C在点D上方，则点C的坐标为（1，6），
将B点代入得a＝，
综上所述，a的值为或．。