广东省揭阳市普宁英才华侨中学高二数学文上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市普宁英才华侨中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 命题“”的否命题是（）
A． B．若，则
C． D．
参考答案：
C
略
2. 当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）
A．10 B．12 C．14 D．16
参考答案：
D
【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，
∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．
∴x+y的最小值为16．
故选：D．
3. “x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x＞2或x＜﹣4，
故“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的必要不充分条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．
4. 已知平面区域，向区域内随机投一点，点
落在区域内的概率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 若函数f(x)与的图像关于y轴对称，则满足的范围是（）
参考答案：
B
6. 数列的前n项和为，，则数列的前100项的和为
（）。

(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
略
7. 已知函数的图象与轴有三个不同交点，，且
在
，
时取得极值，则
的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．不确定
参考答案：
C
8. 已知
，且，则的最大值是
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
参考答案： C 略 9. 已知函数
有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )
A -1<a <2
B -3<a <6
C a <-3或a >6
D a ≤ -3或a ≥6 参考答案： C 略
10. 公比为
等比数列
的各项都是正数，且
，则
=（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f （x ）=2lnx+x 2
，若f （x 2
﹣1）≤1，则实数x 的取值范围是 _________ ．
参考答案：
略
12. 变量x , y 满足条件设, 则
.
参考答案： 33
13. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是 ．
参考答案：
24
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先将2名男生安排在两端，②、将3名女生全排列，排在男生中间，分析排好后的空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，分析每一步的情况数
目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分3步进行分析： ①、两端站男生，将2名男生安排在两端，有种情况，
②、将3名女生全排列，排在男生中间，有
种顺序，排好后，除去2端，有2个空位，
③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，有2种情况， 根据分步计数原理可得，共有种，
故答案为：24．
14.
是两个不共线的向量，已知
，
，且A ，B ，D 三点
共线，则实数k= ．
参考答案：
﹣8
【考点】三点共线；平面向量数量积的性质及其运算律．
【分析】先由A ，B ，D 三点共线，可构造两个向量共线，然后再利用两个向量共线的定理建立等式，解之即可．
【解答】解：∵A，B ，D 三点共线，∴
与
共线，
∴存在实数λ，使得=； ∵=2﹣﹣（+3
）=
﹣4
，
∴2
+k
=λ（
﹣4
），
∵是平面内不共线的两向量，
∴解得k=﹣8．
故答案为：﹣8
【点评】本题主要考查了三点共线，以及平面向量数量积的性质及其运算律，属于基础题．15. 展开式中的系数为．（用数字作答）
参考答案：
－960
略
16. 近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办
闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘
汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手
在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某
一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为
、、、
，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为
_________.
参考答案：
；.
【分析】
选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概
率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答
题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论.
【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，
概率为，
第二轮通过的概率为
，
该选手最终获得奖金的概率为.
故答案为:；.
【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题.
17. 若直线与抛物线交于、两点，则的中点坐标是（4，2），则直线
的方程是。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题12分）设实数满足
实数满足，且的必要不充分条件，求的取值范围。

参考答案：
19. 已知是抛物线上一点，F为M的焦点．
（1）若，是M上的两点，证明：，，依次成等比数列．
（2）若直线与交于，两点，且，求线段
PQ的垂直平分线在x轴上的截距．
参考答案：
（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由B在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从
而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x，根据韦达定理求解出k，从而可得
PQ中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.
【详解】（1）是抛物线上一点
根据题意可得：，，
，，依次成等比数列
（2）由，消可得
，
设PQ的中点
，
线段PQ的垂直平分线的斜率为
故其直线方程为
当时，
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.
20. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．
（1）若抛物线C上一动点M到准线的距离为d，D（﹣1，3），求d+|MD|的最小值；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点为N（2，），求直线l的方程．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）将点（4，﹣4）代入抛物线y2=2px（p＞0）可得p值，利用抛物线的定义，求d+|MD|的最小值；（2）根据线段AB的中点为N（2，），利用点差法，求出直线斜率，可得直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4），可得p=2，
抛物线的准线方程为x=﹣1，
d+|MD|=|MF|+|MD|≥|DF|==，
∴d+|MD|的最小值为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线方程，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
∴直线l的斜率k==6，
故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），
即18x﹣3y﹣35=0．
21. 设，其中.
（1）证明：，其中；
（2）当时，化简：；
（3）当时，记，，试比较与的大小.
参考答案：
（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）直接将排列数用阶乘表示，化简整理即可.
（2）求出q＝1时的，证明，代入原式即可求得答案；
（3）当q＝n时，，可得，则，令x＝1，得．方法一、利用数学归纳法证明A n与B n的大小；
方法二、设，利用导数研究单调性，由单调性即可比较A n与B n的大小．
【详解】（1），其中.
（2）当时，由（1）结论可得
所以原式.
（3）【解法一】当时，，
所以，所以，令，得，
当时，；当时，，即.
下面先用数学归纳法证明：当时，，（☆）
①当时，，（☆）式成立；
②假设时，（☆）式成立，即，
则时，（☆）式右边
所以，当，（☆）式也成立.
综合①②知，当时，.
所以，当时，；当时，.
【解法二】当时，，所以，所以，令，得，要比较与的大小，即可比较与的大小，设，则
，由，得，所以在上递增，
由，得，所以在上递减，
所以当时，，，
当时，，即，即，即，
综上所述，当时，；当时，.
【点睛】本题考查二项式定理的应用及排列数与阶乘的运算，考查利用导数求最值，训练了利用数学归纳法证明不等式，体现了数学转化思想方法，属于难题．
22. （本题满分14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？
证明你的结论．
参考答案：
法一：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，
设是平面BDE的一个法向量，
则由，得
取，得．
∵，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知
∴．
故二面角的余弦值为．
（Ⅲ）∵∴
假设棱上存在点，使⊥平面，设，
则，
由得
∴
即在棱上存在点，，使得⊥平面．
法二：（Ⅰ）连接，交于，连接．在中，为中位线，
,//平面．
（Ⅱ）⊥底面,平面⊥底面，为交线,⊥平面⊥平面，为交线, =，是的中点⊥
⊥平面，⊥即为二面角的平面角．
设，在中,
故二面角的余弦值为
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面内过作⊥，连EF，则⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在点，，使得⊥平面。