湖南省衡阳市第八中学高二数学下学期期末考试试题理(扫描版)

湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题理
（扫描版）
高二数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，合计60分）
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，合计20分）
13． －40 14． 15 15。

a n =2n ﹣1 16。

4S ≤≤一．解答题（本大题共6小题。

合计70分） 17.（本题满分12分）已知函数
(x R ∈)．
（I ）求函数的单调递增区间；
（II ）ABC ∆内角的对边长分别为，若 且求B
和C. 解：（1）∵
∴故函数的递增区间为(Z)
（2），∴．
∵，∴，∴，即．
由正弦定理得：，∴， ∵，∴或．
当时，； 当时，
．（不合题意，舍） 所以,.
18. （本小题满分12分）如图所示，在多面体111A B D ABCD -，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD
均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F （Ⅰ）证明：EF ∥1B C ；
（Ⅱ）求二面角11E A D B --的正切值；
（Ⅲ）求直线1AC 与平面11B CD 所成角的余弦值。

解（Ⅰ）
1111//,B C A D B C A D ⊄⊂11平面A DEF,平面A DEF
由线面平行的判定定理有1//B C 1A DEF 又过1B C 的平面11B CD 与平面1A DEF 相交于EF ， 由线面平行的性质定理有1B C ∥EF
（Ⅱ）将多面体111A B D ABCD -补成正方体1111A B C D ABCD -如图，并设棱长为a
∴二面角11E A D B --即为111A B C D --取1B C 的中点G ，1A D 的中点H ，连接11,,C G GH C H
可知111C G A B CD
⊥平面111,A D A D GH C H ∴⊥⊥,
故1C HG ∠是二面角111A B C D --的平面角，
在1RT C HG ∆中，111,,tan 22
C G C G a GH a C HG GH =
=∴∠==
则二面角11E A D B --的正切值为
2。

则直线1AC 与平面11B CD
19.（本小题满分12分）某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测。

检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂。

现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：
（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下：
（1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率. 解：（Ⅰ）甲为合格品的概率约为
453=604,乙为合格品的概率约为402
=603
; （Ⅱ）（1）随机变量X 的所有取值为190，85，70，-35，而且
321=190432P X ⨯=()=, 311
=85434P X ⨯=()=,
121=70436P X ⨯=()=, 111
=-354312
P X ⨯=()=;
所以随机变量X 的分布列为：
所以：19012524612
EX =
++-= （2）设生产的5件乙中正品有n 件，则次品有n -5件， 依题意，9015(5)300n n --≥，解得：25
7
n ≥
，取4=n 或5=n ，
设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件A ，则：44
55212112()
()333243
P A C +=()= 20.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为
x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．
（Ⅰ）求矩形ABCD 的外接圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．
解析：(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，∴k AD ＝－3，点(－1,1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3y －6＝0，
3x ＋y ＋2＝0得A (0，－2)．
∴|AP |＝4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)证明：直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，
l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，
由|QP |2
＝(3－2)2
＋22
＝5<8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交， 设l 与圆P 的交点为M ，N ，|MN |＝28－d 2
(d 为P 到l 的距离)，
设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－1
2(x －3)，即l ：x ＋2y －7＝0.
21.（本小题满分12分）已知函数2
()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．
22. （本小题满分10分）在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．
（I ）求点B ，C 的直角坐标；
（II ）设
P 是圆2C ：22(1x y ++=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围． 解：（1）B 点的坐标为
(2cos120,2sin120)︒︒，即(1B -；C 点的坐标为(2cos 240,2sin 240)︒︒，
即
(1,C -．
（2）由圆的参数方程，可设点(cos ,sin )(02)P αααπ≤≤，
于是222222||||(cos 1)(sin (cos 1)sin PB PC αααα+=++-+++
164cos αα=+-168cos()3
πα=++，
∴22||||PB PC +的范围是[]8,24．。