2.3.2离散型随机变量的方差(第十课)

解、(1)依据题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的分布列分别为 ξ P η P 10 0.5 10 0.3 9 0.3 9 0.3 8 0.1 8 0.2 7 0.1 7 0.2
练习：
（ 1 ） .如 果是 离 散 型 随 机 变 量 3 2, 那 么( B A E 3E 2, D 9 D E 3E , D 3D 2 C E 3E 2, D 9 E 2 D E 3E 4, D 3D 2
2.常用的方差公式：
1.若X服从两点分布, 则DX=p(1-p).
2.若X服从二项分布, 则DX=np(1- p).
3.D E ( E )
2
2
相关联结
若X服从两点分布, 则EX=p. 若X服从二项分布, 则EX=np.
例1:随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求 向上一面的点数Ｘ的均值，方差和标准 差． 例2：甲乙两个单位待遇情况如下表
2
3.一组数据的方差:
... (x x) ]
2 n
( xn x) ]
2
反映数据的稳定与波动、集中与离散的程度。


标准差较大，数据的离散程度较大；标准 差较小，数据的离散程度较小。 当 s 0 时，意味着所有的样本数据都等 于样本平均数。
思 考
1 , 2 表示钢筋的抗拉强度 , 使用时要求钢筋 的抗拉强度不低于 120, 试比较两种钢筋 哪一种质量较好 . (样品检查指标如下)
提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因 此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大 量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的 平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．
练习、已知X的分布列为
(1)求E(X)，D(X)，σ(X)；
X －1 0 P 1 2 1 3
1 1 6
(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．
2.3.2离散型随机
变量的方差
第十课时
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及
标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能
解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分
布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
一、复习回顾
1．若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2
1
P
2
P
100 0.1
115 0.2
125 0.4
130 0.1
145 0.2
二、新课传授 1、离散型随机变量的方差

P
x1
p1
x2
... ...
xn
...
p2
p3
...
方差： 如果离散型随机变量 ξ 所有可能取的值是 x1， x 2， x3， …， xn， 且取这些值的概率分别是 p1， p2， p3， …， pn，那么，把 D(ξ)＝(x1－E(ξ))2· p1＋(x2－E(ξ))2· p2＋(x3 － E(ξ))2· p3 ＋…＋ (xn － E(ξ))2· pn 叫做随机变量 ξ 的 方差 ______ ， D(ξ)的算术平方根 Dξ 叫做随机变量 ξ 的 标准差 _______，记作 σ(ξ)．
【思路点拨】 投弹一次命中次数X服从两点分布， 而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，命中 次数Y服从二项分布． X 0 1 【解】(1)X的分布列为： P 0.2 0.8 E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)， ∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
7、为了迎战山东省下届运动会，某市对甲、乙两名 射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次 射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的 概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分 别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射 击技术． 【思路点拨】 利用分布列的概率和为1，求出a， 然后分别列出ξ，η的分布列，结合分布列分别求 出E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)．
2、随机变量函数的方差
(3).D(a b) a D
2
E(a b) aE b
a2D(X)． （1）．公式：D(aX＋b)＝______ p(1－p) ． （2）．若X服从两点分布，则D(X)＝ ______ 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝ np(1－p) ． ________ （3）．随机变量的方差与样本的方差有何不同？
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳 定．
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn ，它 E(X)＝____________________________ 平均 水平． 反映了离散型随机变量取值的_____
np . 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝ ___
1 2 2 S [(x1 x) ( x 2 x) n 1 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) n
(1)p1，p2，p3；(2)P(－1<ξ<2)．
p1＋p2＋p3＝1 p1＋2p2＋3p3＝2 ② 解： (1)根据题意得 1 2 2 p11－2 ＋p33－2 ＝2
①
③
1 由③得 p1＋p3＝ ，④ 2
1 1p2＝ ， 上式代入①得 上式代入①得 p2＝ ， 2 2 代入②得 3p3＝1， 代入②得 p1＋p 31 p＋ 3＝1， 1 1 1 1 ∴ p3＝ ∴ p3＝ ，4 p， . ＝4 . 1＝p1 4 4 1 1 (2) P( － <2) ＝ (＝ ξ＝ 1)＝ (2) P(－ 1< ξ1< <2)ξ ＝ P (ξ ＝P 1) p1＝ . p1＝ . 4 4
甲工资Ｘ １２００ １４００ １６００ １８００
相应概率p ０．４
乙工资Ｘ
０．３
０．２
１８００ ０．２
０．１
２０００ ０．１
１０００ １４００ ０．３
相应概率p ０．４
你愿意选择哪家单位？
教材P67
例3、某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
A.无法求; B.0; C.D; D.2D.
( 4).若 ~ B（n ,P）且E 6， D 3 ，则P（ 1 ）的值为（） C A.3 22Fra bibliotek; B.2
4
; C.3 2
10
; D.2
8
（5）已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3 P p1 p2 p3 且已知E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.5，求：
【思路点拨】
根据均值、方差、标准差的定义解题． 1 1 1 1 1 1 【解】 (1) E (Xx )2 ＝ x1x p3 ＋ x2p1 ＋x ＝－ 1× × ＝－ ＋ 0× ＋ 1 2× 3p 解 .(1)E(X)＝ x1 p ＋ p 2＋ p ＝－ ＋ 03× ＋1 ； 1 1 1 2 2 3 3 3 2 3 62 3 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D (X )＝ x－ E (X x(2X － X)) p x E(X )) p3＝ D (X )＝ (x( － E(X )) p)) ＋p (x －(E ))E p( ＋ (x3 －＋ E(( X )) p3 ＝ ； 1＋ 3－ 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 3 9 5 55 5 σ X )＝DD X＝ ＝ ＝ . σ (( X )＝ X ＝ . 9 9 3 3 7 7 20 20 (2) E (Y )＝ 2E2 (X ＝ 3， D(， Y)＝ 4Y D) (＝ X)＝ . )＝ . (2) E (Y )＝ E)(＋ X3 )＋ ＝ D ( 4 D ( X 3 3 9 9
A)
（ 2 ） .设随机变量 B(n, p ), 且E 1.6, D 1.28, 则( ) A. n 8, p 0.2; B . n 4, p 0.4; C . n 5, p 0.32 ; D . n 7, p 0.45.
A
~
(3).D( D())的值为：（） C
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1 ＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，