2018年高考数学(文)一轮复习第六章第3讲

a2b，
角度二 知积求和的最值 2．已知函数 y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A
在直线mx ＋ny＝－1 上，且 m，n>0，则 3m＋n 的最小值为 ___1_6____．
[解析] 易知函数 y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，
所以 A(－3，－1)．
第六章 不等式
第 3 讲 本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_≥__0_，__b_≥__0_____．
(2)等号成立的条件：当且仅当_a_＝__b____时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__2__，几何平均数为__a_b_，
[题点通关] 角度一 知和求积的最值
1．若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为( C )
A． 2
B．2
C．2 2
D．4
[解析] 由1a＋2b＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1a＋2b≥2 即 ab≥2 2， 当且仅当1a＝2b，
1a＋2b＝ ab，
即 a＝4 2，b＝24 2时取“＝”， 所以 ab 的最小值为 2 2.
[典例引领]
(1)(2017·安徽合肥二模)若 a，b 都是正数，则1＋ba
1＋4ba的最小值为( C ) A．7
B．8
C．9
D．10
(2)(2017·安徽安庆二模)已知 a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的
最小值为( B )
A．4
B．2 2
C．8
D．16
【解析】 (1)因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋ 4ba≥5＋2 ba·4ba＝9，当且仅当 b＝2a>0 时取等号．故选 C. (2)由 a>0，b>0，a＋b＝1a＋1b＝a＋ abb，得 ab＝1，则1a＋2b≥ 2 1a·2b＝2 2.当且仅当1a＝2b，即 a＝ 22，b＝ 2时等号成立．故 选 B.
【解】 (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入 为 5x 万元， 依题意得，当 0<x<8 时， L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋10x0－38－3＝35－x＋10x0. 所以 L(x)＝－ 35－13x2x＋＋41x0x－03，，x0≥<x8<. 8，
A．a22
B．a42
C．a82
D．1a62
[解析] 设折成的矩形的两边分别为 x，y(x>0，y>0)．
则 x＋y＝a2. 因为 x＋y≥2 xy， 所以 xy≤14(x＋y)2＝1a62， 即 S 矩形≤1a62 . 当且仅当 x＝y＝a4时，(S 矩形)max＝1a62 .故选 D.
4．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为_5_______． [解析] x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5.
——忽视最值取得的条件致误
(1)已知 x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则 x＋y 的最小值是 _3_＋__2__2__． (2)函数 y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为_1_＋__2___6_．
【解析】 (1)因为 x>0，y>0， 所以 x＋y＝(x＋y)1x＋2y ＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2(当且仅当 y＝ 2x 时取等号)， 所以当 x＝ 2＋1，y＝2＋ 2时，(x＋y)min＝3＋2 2. (2)因为 x<0，所以 y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋ 2 （－2x）·－3x＝1＋2 6，当且仅当 x＝－ 26时取等号，故 y 的最小值为 1＋2 6.
(2)当 0<x<8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9.
此时，当 x＝6 时，
L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元，
当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 ＝15，
x·10x0＝35－20
此时，当且仅当 x＝10x0，
即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．
又因为点 A 在直线mx ＋ny＝－1 上，
所以m3 ＋n1＝1.
所以
3m
＋
n
＝
(3m
＋
n)·m3 ＋n1
＝
10
＋
3m n
＋
3n m
≥
10
＋
2
3nm·3mn＝16，
当且仅当 m＝n 时，等号成立，
所以 3m＋n 的最小值为 16.
角度三 求参数的值或范围
3．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意的正实数 x，y 恒成立， 则正实数 a 的最小值为___4_____． [解析] (x＋y)1x＋ay＝1＋a＋xy＋ayx≥1＋a＋2 a＝( a＋1)2(x，y， a>0)， 当且仅当 y＝ ax 时取等号， 所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为( a＋1)2， 于是( a＋1)2≥9 恒成立． 所以 a≥4.
当且仅当 x－1＝x－4 1， 即 x＝3 时等号成立．
5．若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为__2__2__．
[解析] 因为 xy＝1，所以 y＝1x，
所以 x2＋2y2＝x2＋x22≥2
x2·x22＝2 2.
即 x2＋2y2 的最小值为 2 2.
利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选 择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题 角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．
1.教材习题改编 将正数 m 分成两个正数 a 与 b 之和，则 ab 的
范围为( B )
A．(0，m22]
B．(0，m42]
C．[m22，＋∞)
D．[m42，＋∞)
[解析] a＋b＝m≥2 ab，
所以 ab≤m42，故选 B.
2.教材习题改编 函数 f(x)＝x＋1x的值域为( C ) A．[－2，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．R
[解] (1)由题意得 y＝1001－1x0·1001＋580x. 因为售价不能低于成本价，所以 1001－1x0－80≥0，得 x≤2. 所以 y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]． (2)由题意得 20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得 8x2－30x＋ 13≤0.解得12≤x≤143. 所以 x 的取值范围是12，2.
利用基本不等式解决实际问题 [典例引领]
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经 过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元， 每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产量不 足 8 万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于 8 万件时， W(x)＝6x＋10x0－38(万元)．每件产品售价为 5 元．通过市场分 析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式； (注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最 大？最大利润是多少？
因为 9<15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生
产中所获利润最大，最大利润为 15 万元．
某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每 天售出 100 件．若售价降低 x 成(1 成＝10%)，售出商品数量 就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝f(x)，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范 围．
(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条 件，如本例(2)易忽视条件 x<0 而误用基本不等式得 2x＋3x≥ 2 6. (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保 证等号成立的条件一致．
当 3＜x＜12 时，函数 y＝（x－3）x（12－x）的 最大值为___3_____． [解析] y＝（x－3）x（12－x） ＝－x2＋1x5x－36 ＝－x＋3x6＋15
基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的
几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y___时，x＋y 有
_最__小___值是_2___p__．(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y___时，xy 有
[解析] 当 x>0 时，x＋1x≥2 x·1x＝2. 当 x<0 时，－x>0. －x＋－1x≥2 （－x）·（－1x）＝2. 所以 x＋1x≤－2. 所以 f(x)＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选 C.
3.教材习题改编 用长为 a(a>0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面
积的最大值为( D )
p2 __最__大__值是___4_．(简记：和定积最大)
1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件 缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b 同号且都不为 0)； ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)． 3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧， 使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
≤－2 x·3x6＋15＝3. 当且仅当 x＝3x6， 即 x＝6 时，ymax＝3.
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