2019-2020学年高中数学课时跟踪检测六球的体积和表面积含解析新人教A版必修215

课时跟踪检测（六） 球的体积和表面积
一、题组对点训练
对点练一 球的体积和表面积
1．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( ) A ．2 B. 2 C. 3
2
D.12
34 解析：选C 设熔化后的球的半径为R ，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V ＝43πR
3
＝2×43
π×13
，得R ＝32.
2．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体<S 球 C ．S 正方体＝S 球
D.无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3
，∴a ＝3V ，
R ＝33V 4π
，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2
.
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 解析：设火星半径为r ，则地球半径为2r ，V 地V 火＝43
π(2r )343πr 3
＝8.
答案：
8
4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即1
2
×4π＋ π＝3π.
答案：3π
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r ＝1，
l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S ＝4πr 2
＋2πrl ＝4π×12
＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积
V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝
13π
3
. 对点练二 球的截面问题
6．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( )
A.100π3 cm 3
B.208π3 cm 3
C.
500π3 cm 3 D.41613π3
cm 3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R ＝32＋42
＝5(cm)，所以V 球＝43πR 3＝
500π3
(cm 3
)． 7．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________． 解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r ＝2，
∴其表面积S ＝4π×(2)2
＝8π. 答案：8π
对点练三 与球有关的切、接问题
8．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12π
D.16π
解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R ＝23， ∴R ＝3，S ＝4πR 2
＝12π.
9．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3
D.1∶9
解析：选C 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为3
2a ，
故所求的比为1∶3 3.
10．若一个底面边长为
6
2
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球
的体积和表面积．
解：在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接
BE 1，则
BE ＝2OE ＝2DE ＝6，
在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2
＋E 1E 2
＝23， 所以2R ＝23，则R ＝3， 所以球的体积V 球＝43πR 3
＝43π，
球的表面积S 球＝4πR 2
＝12π. 二、综合过关训练
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.
2π3
C.
3π2
D.π6
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13
＝4π3
.
2．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为( )
A.
4＋3
3π B.32＋833π
C.
32＋3
3
π D.4＋333
π
解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个圆锥与一个球的组合体．圆锥的底面半径与球的半径均为1，圆锥的高为22－1＝3，∴该几何体的体积V ＝13π×12×3＋43π×13
＝
4＋3
3
π. 3．若过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积
的比为( )
A.316
B.916
C.38
D.932
解析：选A 设球的半径为R ，所得的截面为圆M ，圆M 的半径为r .画图可知，R 2
＝14
R 2＋
r 2，∴34
R 2＝r 2.
∴S 球＝4πR 2，截面圆M 的面积为πr 2
＝34
πR 2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR 24πR 2＝
3
16
.故选A. 4．已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是( ) A ．27 B ．16 C ．9
D.3
解析：选A 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R ，r ，则R r ＝3.由题意知43
πr
3
＝1，则外接球的体积是43πR 3＝27×43
πr 3
＝27，故选A.
5．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P ­ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________．
解析：显然正六棱锥P ­ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P ­ABCDEF 的高为2，则斜高为22＋(3)2
＝7，所以该正六棱锥的侧面积为6×12×2×7＝67.
答案：67
6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半
径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2
×6r ＝6πr 3
，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43
πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3
，解得r
＝4 cm.
答案：4
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． 解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC 相切于点D ，
E .
连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD ＝12AC .
∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴
OE AO ＝CD AC
. ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， 设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴
r
3－r ＝12
，∴r ＝3
3 cm ，
V 球＝43π⎝
⎛⎭⎪⎫333＝4327
π(cm 3
)， 即球的体积等于4327
π cm 3
.
8.如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周
得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)
解：如图所示， 过C 作CO 1⊥AB 于O 1.
在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝3
2
R ， ∴S 球＝4πR 2
，
S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3
2πR 2， S 圆锥BO 1侧＝π×
32R ×R ＝3
2
πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧 ＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2
.
故旋转所得几何体的表面积为11＋32
πR 2
.。