高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程知识点素材 北师大版必修2(2021年最新整理)

高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程知识点素材 北师大版必修2
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高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程知识点素材 北师大版必修2
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2
2。

2 圆与圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
(1)将圆的标准方程 (x －a ）2
＋(y －b ）2
＝r 2
展开并整理得x 2
＋y
2
－2ax －2by ＋a 2
＋b 2
－r 2
＝0,取D ＝－2a ,E ＝－2b ，F ＝a 2
＋b 2
－
r 2,得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0。

（2)将圆的一般方程x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋错误!)2
＋（y ＋错误!)2
＝错误!
①当D 2
＋E 2
－4F 〉0时，该方程表示以（－错误!，－错误!)为圆心，
错误!错误!为半径的圆；
②当D 2＋E 2
－4F ＝0时,方程只有实数解x ＝－错误!，y ＝－错误!,即
只表示一个点(－错误!，－错误!）；③当D 2＋E 2
－4F 〈0时，方程没有实数解,因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x 2
和y 2
项的系数 都为1 ，没有 xy 的
二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ,因此只要求出这三个
点M (x 0，y 0)与圆（x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
的位置关系： （1）若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a ）2
＋（y 0－b ）2
〉r 2。

（2）若M (x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a )2
＋(y 0－b ）2
＝r 2
.
（3）若M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0－a )2＋（y 0－b ）2〈r 2
（三)温馨提示
1、方程Ax 2
＋Bxy ＋Cy 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1)B ＝0； （2)A ＝C ≠0； （3）D 2
＋E 2
－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3
3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点A (x 1,y 1），B (x 2，y 2)，
点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝122x x + ，y ＝12
2
y y + . 二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法 【例1】圆
(
)()()2
2
20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径
是 。

【例2】 点（1，1)在圆（x －a ）2
＋（y ＋a ）2
＝4内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,1）
B ．(0,1）
C ．(－∞，－1）∪（1，＋∞）
D ．（1，＋∞)
【例3】 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2）的圆的方程为（ )
A ．x 2
＋（y －2）2
＝1
B ．x 2＋(y ＋2)2
＝1 C ．(x －1)2
＋(y －3）2
＝1
D ．x 2
＋（y －3）2
＝1
【例4】 圆(x ＋2）2
＋y 2
＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( )
A ．（x －2）2
＋y 2
＝5
B ．x 2＋(y －2）2
＝5
C ．（x ＋2）2＋（y ＋2)2
＝5
D ．x 2＋（y ＋2）2
＝5
【变式1】已知圆的方程为()()()()12240x x y y --+-+=，则圆心坐标为
【变式2】已知圆C 与圆()2
211x y -+=关于直线y x =- 对称，则圆C 的方程为
【变式3】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y
＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2
＋错误!2
＝1
B ．(x －2)2＋(y －1)2
＝1 C ．（x －1）2
＋(y －3)2
＝1
D.错误!2
＋(y －1）2
＝1
【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -,()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程。

方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是（）
A .错误!＜m＜1 B．m＜错误!或m＞1 C．m＜错误!
D．m＞1
【例2】将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ）A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【例3】圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋错误!y－3＝0的距离为________．
【变式1】已知点P是圆22
:450
C x y x ay
+++-=上任意一点，P
点关于直线210
x y
+-=的对称点也在圆C上，则实数a= 【变式2】已知一个圆经过点()
3,1
A、()
1,3
B-,且圆心在320
x y
--=上，求圆的方程。

【变式3】平面直角坐标系中有()()()()
0,1,2,1,3,4,1,2
A B C D-四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(－8，0），则它的内切圆方程为________________．
方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D,E，F的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ）
4
5
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2
＝16
C ．（x －1）2＋y 2
＝16
D ．x 2＋（y －1）2
＝16
【例2】 方程225y x =--表示的曲线是（ )
A. 一条射线
B. 一个圆 C 。

两条射线 D 。

半个圆
【例3】 在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（—2，0）和（2，0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ） A 。

2
2
3x y += B. 2
2
4x y +=
C. ()2290x y y +=≠
D. ()2290x y x +=≠
【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0，0），A (3，0）距离的比为
错误!的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．
【变式1】 方程()2
111x y -=--所表示的曲线是( ）
A. 一个圆 B 。

两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆
【变式2】 动点P 到点A (8,0）的距离是到点B (2，0）的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为（ )
A ．x 2
＋y 2
＝32 B ．x 2＋y 2
＝16
C ．（x －1）2
＋y 2
＝16
D ．x 2
＋(y －1）2
＝16
【变式3】 如右图，过点M (－6,0)作圆C :x 2
＋y 2
－6x －4y ＋9＝0的割线,交圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．
【变式4】 如图,已知点A (－1，0)与点B (1，0),C 是圆x 2＋y 2
＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝｜BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
（4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四:与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称,则a－b的取值范围是________
【例2】已知x,y满足x2＋y2＝1，则错误!的最小值为________．【例3】已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点,点N为圆(x＋1）2＋(y＋1)2＝1上的动点,则|MN|的最小值是（)
A.错误!B．1 C.错误! D。

错误!
【例4】已知实数x，y满足(x－2）2＋(y＋1）2＝1则2x－y的最大值为________,最小值为________．
【变式1】P(x，y）在圆C：（x－1)2＋（y－1)2＝1上移动,则x2＋y2的最小值为________．
【变式2】由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋（y＋2)2＝1引切线PT(T为切点），当｜PT|最小时，点P的坐标是（) A．(－1，1）B．(0，2) C．（－2，0)
D．（1，3)
【变式3】已知两点A(－2,0)，B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x ＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C(1,－1），D(－1，1)，且圆心M在x ＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
（2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
6
方法总结:解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1)形如u＝y－b
x－a
的最值问题，可转化为定点（a，b)与圆上的动点(x，
y）的斜率的最值问题
(2）形如t＝ax＋by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问
题；
(3）形如(x－a)2＋（y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距
离的最值问题．
（4)一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r
（其中d为圆心到直线的距离)
7。