河南省许昌市高级中学2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析

河南省许昌市高级中学2024届高一数学第二学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设变量,x y 满足约束条件203603x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数21z x y =-++的最小值为
（ ） A ．7-
B ．6-
C ．1-
D ．2
2．在等比数列{}n a
中，若357a a a =-28a a =（ ） A ．3
B
C ．9
D ．13
3．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ） A ．圆柱
B ．圆锥
C ．球
D ．圆台
4．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．
25
B ．
13
C ．
35
D ．
23
5．以下给出了4个命题：
（1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同；
（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =； （4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜． 其中正确命题的个数共有（ ） A ．3 个
B ．2 个
C ．1 个
D ．0个
6．已知圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于
A ，
B 两点，且6AB =，则圆
C 的半径长为( )
A ．10
B ．22
C ．3
D ．13
7．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
2
3
B ．
43
C ．83
D ．
163
8．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是
( ) A ．
B ．
C ．
D ．
9．sin 45sin 75sin 45sin15+=（ ）
A ．0
B ．
12
C ．
32
D ．1
10．在数列{}n a 中，若12a =，()*121
n
n n a a n a +=
∈+N ，则5a =（ ） A ．
4
17
B ．
317 C ．
217
D ．
517
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A -，()1,1B -，若直线0x y m --=上存在点P 使得3PA PB =，则实数m 的取值范围是_____．
12．函数sin
cos 22
x x
y =+的递增区间是__________. 13．函数216
log ()y x x
=+（0x >）的值域是__________.
14．在ABC ∆中，若5,,tan 24
b B A π
=∠==，则a =____；
15．设(0,
)2
π
θ∈，向量(cos ,2)a θ=，(1,sin )b θ=-，
若a b ⊥，则tan θ=__________． 16．把“五进制”数(5)1234转化为“十进制”数是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为ABC ∆的外接圆半径. （1）若2R =，2a =，45B =，求c ；
（2）在ABC ∆中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；
（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情兄下，用a 、b 、R 表示c .
18．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名学生作为样本测量身高.测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160；第二组[)160,165；…；第八组[]
190,195.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同，第六组与第八组人数之和为第七组的两倍.
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （2）求第六组和第七组的频率并补充完整频率分布直方图. 19．在等比数列{}n a 中，3429,954a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分100分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同.现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平
均分且低于95分)和“很满意”(分数不低于95分)三个级别.
(1)求茎叶图中数据的平均数和a 的值;
(2)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意”的概率.
21．化简
11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫
-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭
. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据不等式组画出可行域，数形结合解决问题. 【题目详解】
不等式组确定的可行域如下图所示：
因为21z x y =-++可化简为21y x z =-+
与直线2y x =平行，且其在y 轴的截距与z 成正比关系，
故当且仅当目标函数经过3y =和2y x =-的交点()5,3时，取得最小值， 将点的坐标代入目标函数可得25316min z =-⨯++=-. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查常规线性规划问题，属基础题，注意数形结合即可. 2、A 【解题分析】
根据等比数列性质352
287a a a a a ==即可得解.
【题目详解】
在等比数列{}n a 中，352
287a a a a a ==，
357a a a =-35a =-5a =
22583a a a ==.
故选：A 【题目点拨】
此题考查等比数列的性质，根据性质求数列中的项的关系，关键在于熟练掌握相关性质，准确计算. 3、C 【解题分析】
试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C ． 4、C 【解题分析】
由关于x 的方程2420x x a ++=有实数根，求得2a ≤，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案. 【题目详解】
由题意，关于x 的方程2420x x a ++=有实数根， 则满足24421680a a ∆=-⨯=-≥，解得2a ≤，
所以在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，
使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为2(1)3
4(1)5
P --==--.
故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()
N A P N
求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5、D 【解题分析】
利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解. 【题目详解】
（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的； （2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的；
（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =是错误的，举一个反例，如,a b a c ⊥⊥，,b c 不一定相等，所以该命题是错误的；
（4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确． 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6、A 【解题分析】
根据题干画出简图，在直角ACD ∆中，通过弦心距和半径关系通过勾股定理求解即可。

【题目详解】
圆C 的圆心与点()1,0关于直线y x =对称， 所以，()0,1C ，设圆C 的半径为R ，
如下图，圆心C 到直线的距离为：2
2
032CD 134
--=
=+，
1
AD AB 32
=
=，22 3110R =+=
【题目点拨】
直线和圆相交问题一般两种方法：第一，通过弦心距d 和半径r 的关系，通过勾股定理求解即可。

第二，直线方程和圆的方程联立，则0∆>。

两种思路，此题属于中档题型。

7、C 【解题分析】
由三视图可知，三棱锥的体积为118
422323
⋅⋅⋅⋅= 8、B 【解题分析】 由题意，得出，再分析不等式开口和判别式，可得结果.
【题目详解】
由题，因为为一元二次不等式，所以
又因为的解集为R
所以
故选B 【题目点拨】
本题考查了一元二次不等式解法，利用二次函数图形解题是关键，属于基础题. 9、C 【解题分析】 试题分析：
sin 45sin 75sin 45sin15+=
73
sin
sin
sin sin sin cos cos sin sin()sin 4
1241241241241232
π
ππππππππππ+=+=+==
考点：两角和正弦公式 10、C 【解题分析】
利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值. 【题目详解】 ∵121
n n n a a a +=
+，∴1211n n n a a a ++=，即111
2n n a a +-=， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为12，公差为2的等差数列，∴()11143122n n n a a -=+-⨯=，
即243n a n =
-，∴52
17
a =．故选C ．
【题目点拨】 对于形如1(0)n n n Aa a AB Ba A +=
≠+，可将其转化为11
1(0)
n n n n Ba A B AB a Aa a A
++==+≠的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11
、⎡-⎣.
【解题分析】 设(,)P x y
由PA =
，求出P 点轨迹方程，可判断其轨迹为圆C ，P 点又在直线
0x y m --=，转化为直线与圆C 有公共点，只需圆心到直线0x y m --=的距离小
于半径，得到关于m 的不等式，求解，即可得出结论. 【题目详解】 设(,)P x y
，PA =
，223PA PB =，
2222(3)(3)3(1)3(1)x y x y ++-=++-，
整理得22
6x y +=，又点P 在直线0x y m --=，
直线0x y m --=与圆22
6x y +=共公共点，
圆心(0,0)O 到直线0x y m --=
的距离d ≤
，
|m m ≤≤∴-≤≤
故答案为:⎡-⎣.
【题目点拨】
本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 12、34,4,22k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦； 【解题分析】
先利用辅助角公式对函数化简sin
cos 2224x x x y π⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
，由 22,2
242
x k k k Z π
ππ
ππ-
+≤
+≤+∈可求解. 【题目详解】
函数sin
cos 2224x x x y π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
， 由22,2
242
x k k k Z π
ππ
ππ-
+≤
+≤+∈， 可得344,22
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈， 所以函数的单调增区间为34,4,22k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 故答案为：34,4,22k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 【题目点拨】
本题考查了辅助角公式、正弦函数的图像与性质，需熟记公式与性质，属于基础题. 13、[
)3,+∞ 【解题分析】
由0x >，根据基本不等式即可得出16
8x x
+，然后根据对数函数的单调性即可得出216
()3log x x
+
，即求出原函数的值域． 【题目详解】 解：
0x ，
∴168x x +
≥当且仅当16x x
=，4x =时取等号， ∴221683log x log x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭；
∴原函数的值域是[)3,+∞．
故答案为：[
)3,+∞．
【题目点拨】
考查函数的值域的定义及求法，基本不等式的应用，以及对数函数的单调性，增函数的定义． 14
、【解题分析】
试题分析：因为tan 2A =
，所以sin A =
．由正弦定理，知sin sin a b A B =，所以sin sin b A
a B
=
5
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、正弦定理． 15、
12
【解题分析】
从题设可得cos 2sin 0θθ-+=，即1
tan 2θ=，应填答案12
． 16、194 【解题分析】
由()32
51234152535412550154194=⨯+⨯+⨯+=+++=. 故答案为：194.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1
（2）见解析；（3）见解析. 【解题分析】
（1）利用正弦定理求出b 的值，然后利用余弦定理求出c 的值； （2）由余弦定理得出()2
22222sin 4a b c R C R +<=<可得证；
（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a 、b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可. 【题目详解】 （1）由正弦定理得
2sin b
R B
=，所以2sin 4sin 452b R B === 由余弦定理得2222cos b a c ac
B =+-，化简得240c --=.
0c >，解得c =；
（2）由于C 为钝角，则0sin 1C <<，由于222
cos 02a b c C ab
+-=<， ()22222222sin 4sin 4a b c R C R C R ∴+<==<，得证；
（3）①当2a R >或2a b R ==时，所求ABC ∆不存在；
②当2a R =且2b R <时，90A ∠=，所求ABC ∆有且只有一个，此时c = ③当2a b R =<时，A B ∠=∠都是锐角，sin sin 2a A B R
==
，ABC ∆存在且只有一个，
2cos c a A ==； ④当2b a R <<时，所求ABC ∆存在两个，B 总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ∆存在，
当90A <时，cos A =cos B =，sin 2a A R
=，sin 2b B R
=，
c ===
=
当90A >时，cos A =cos B =，sin 2a A R
=，sin 2b B R =，
c ===
=【题目点拨】
本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据a 、b 两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.
18、（1）144人（2）频率分别为0.08和0.1，见解析
【解题分析】
（1）由直方图求出前五组频率为0.82，后三组频率为10.820.18-=，由此能求出这
所学校高三男生身高在180cm 以上（含180)cm 的人数．
（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.04，人数为2人，设第六组人数为m ，则第七组人数为0.185027m m ⨯--=-，再由22(7)m m +=-，得4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.1．由此能求出结果．
【题目详解】
（1）由图知前5组频率为()0.0080.0160.0420.0650.82++⨯+⨯=
∴后三组频率为10.820.18-=.
∴全校高三男生身高在180cm 以上的人有8000.18144⨯=人.
（2）如图知第八组频率为00085004..⨯=，人数为0.04502⨯=人.
设第六组人数为m ，后三组共9人.
∴第七组人数为927m m --=-.
()227m m +=-，4m ∴=.
即第六组4人，第七组3人，其频率分别为0.08和0.1，高度分别为0.016和0.012，如图所示.
【题目点拨】
本题考查频率分布直方图的应用，频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据处理能力，属于基础题.
19、（1）13-=n n a （2）3n n S n =⋅
【解题分析】
（1）将已知条件化为1a 和q 后，联立解出1a 和q 后即可得到通项公式；
（2）根据错位相减法可得结果.
【题目详解】
（1）因为3429,954a a a =+=，所以2131
19,954,a q a q a q ⎧=⎨+=⎩ 解得11,3.a q =⎧⎨=⎩
故{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==.
（2）由（1）可得1(21)3n n b n -=+⋅，
则22135373(21)3(21)3n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅++⋅，①
2313335373(21)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⋅++⋅，② ①-②得2312323232323(21)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-+⋅. 所以13(13)232(21)313
n n n S n ---=+⨯-+⨯- 2n S -23n n =-⋅
故3n n S n =⋅.
【题目点拨】
本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题.
20、（1）平均数为88；4a =（2）11()14P A =
【解题分析】
(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882
+=， 由平均数与中位数相同，得平均数为88， 所以8873567992557870390616
a +++++++++++++++⨯+⨯88=， 解得4a =；
(2)依题意，16人中，“基本满意”有8人，“满意”有4人，“很满意”有4人.“满意”和“很满意”的人共有4人.分别记“满意”的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意”的4人为1，2，3，4.从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,)b c ，(,)b d ，(,1)b ，(b,2)，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).
用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件A 由22个基本事件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(b,2)，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有22个.
故事件A 的概率为2211()2814
P A =
= 【题目点拨】
本题主要考查了茎叶图的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟记茎叶图的中的平均数和中位数的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
21、tan α-
【解题分析】
利用诱导公式进行化简，即可得到答案.
【题目详解】 原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42π
αααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎡⎤---+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2sin tan cos cos sin sin sin 2παααααπααααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==-=-⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎣⎦⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用.。