新疆乌鲁木齐市一中2013届高三上学期12月第三次考试数学文试题 含答案

n
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：球的表面积、体积公式24S πR =，3
43
V πR =
，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷 (选择题60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数
（i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则实数b 的值为( )
A. 一1
B. 一
2 C. 一
3
D. 1
2．1
,|
0},2
x U A x A x +=≤-R U 已知全集集合={则集合等于ð( ) A.{x|x ＜-1或x ＞2} B. {x|x≤-1或x ＞2} C.{x|x ＜-1或x≥ 2} D. {x|x≤-1或x≥2} 3．在四边形ABCD 中，BC AB •=0，且DC AB =，则四边形ABCD 是 （ ）
A ．等腰梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
4．函数2
sin sin cos y x x x =+的最小正周期T= （ ）
A ．2π
B ．π
C ．
2π D ．3
π 5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ） A ．
21 B ．3
2
C ．
43 D ．5
4
6．设a ，b 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题： ①若,,//;a b a b αα⊥⊥则 ②若//,,;a a ααββ⊥⊥则 ③若,,//;a a βαβα⊥⊥则 ④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的个数是 （ ）
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3
7. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ]2,(-∞
B. )2,(-∞
C. ),2(+∞
D. ),0(+∞
8. 已知10
10,310x x y x y x y -≤⎧⎪
-+≥-⎨⎪+-≥⎩
则2的取值范围是（ ）
A. ]2,3[-
B. ]2,3[--
C. ]3,4[--
D. ]2,4[-
9. 设｛a n ｝（n ∈N *
）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．
的是
（ ）
A ．d ＜0
B ．a 7＝0
C ．S 9＞S 5
D ．S 6与S 7均为S n 的最大值
11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：
(1)BD AC ⊥ (2)ACD ∆是等边三角形 (3)AB 与平面BCD 的夹角成60° (4) AB 与CD 所成的角为60° 其中正确的命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D ．4个
12．已知双曲线22
221
x y
a b
-=，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点.若OM ON
⊥，则双曲线的离心率为（）
A. B. C.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin()f x x ωφ=+)2
||,0,,(π
φω<>∈R x 的部分图象如
图所示，则)(x f 的解析式是
14．设21,F F 分别是椭圆)10(1:2
2
2<<=+b b
y x E 的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于B A ,两
点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则||AB 的长为 ． 15．已知球O 的表面积为，点A ，B ，C 为球面上三点，若，且AB=2,则球心O 到平面ABC
的距离等于__________________．
16．在ABC ∆中，内角C B A ，，的对边分别是a b c ，，，若2
2
3a b bc -=，sin 23C B =，
则A =
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人
数；
分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25
[15,20)
25
n
[20,25) m
p
[25,30)
2
0.05 合计 M
1
频率/组距
15 25 20 10 30 次数
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加
社区服务次数在区间[20,25)内的概率. 18. （本小题满分12分）已知函数132)(2
3
+-=ax x x f ．
（1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的极值； （2）求函数)(x f 的单调区间．
19.（本题满分12分）
如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形. （Ⅰ）求证：DM //平面APC ； （Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积.
20.（本小题满分12分）
{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=．
（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
}n
n
a b 的前n 项和n S 。

21．(本小题满分12分）
已知椭圆1:2222=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的焦距为4，且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率，斜率为
k 的直线l 经过点M （0，1），与椭圆C 交于不同两点A 、B ． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围．
22．（本小题满分10分）
如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为»BD
中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ． （1）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；
（2）求证：
.2
2
CE EF AG GF =
· · A B
C
D
G
E F
O
M
乌鲁木齐市第一中学2012--2013学年第一学期
2013届高三年级第三次月考
数学(文)试卷参考答案 一、选择题
二、填空题
18.解：（1）∵f （x ）=2x 3－3ax 2+1，∴()f x '=6x 2－6ax ．依题意得(1)f '=6－6a =0，解得a =1． 所以f （x ）=2x 3
－3x 2
+1，()f x '=6x （x －1）．令()f x '=0，解得x =0或x =1．列表如下：
x （-∞，0）
0 （0，1） 1 （1，+∞）
f ′（x ）
+
－
＋
f （x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x =0时，函数f （x ）取得极大值f （0）=1； 当x =1时，函数f （x ）取得极小值f （1）=0． （2）∵()f x '=6x 2－6ax =6x （x －a ），
∴①当a =0时，()f x '=6x 2≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增； ②当a >0时，()f x '=6x （x －a ），()f x '、f （x ）随x 的变化情况如下表：
x （-∞，0）
0 （0，a ）
a
（a ，+∞）
f ′（x ） + 0 － 0 ＋ f （x ）
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f （x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增；
③同理可得，当a <0时，函数f （x ）在（－∞，a ）上单调递增，在（a ，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
综上所述，当a =0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，+∞）；
当a >0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，0）和（a ，+∞），单调递减区间是（0，a ）； 当a <0时，函数f （x ）的单调递增区间是（－∞，a ）和（0，+∞），单调递减区间是（a ，0）．
19.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，
∴MD//AP ， 又∴MD ⊄平面ABC
∴DM//平面APC ……………3分 （Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点。

∴MD ⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB
又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC
∴BC ⊥平面APC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC ……………8分 （Ⅲ）∵AB=20 ∴MB=10 ∴PB=10 又BC=4，.2128416100==-=PC
∴.21221244
1
4121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC 又MD .3510202
12122=-==
AP ∴V D-BCM =V M-BCD =710352123
1
31=⨯⨯=⋅∆DM S BDC ………………12分
22111
12122122
22n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭L
1111212221212
n n n ---
-=+⨯--12362n n -+=-．
21．解：（1）∵焦距为4，∴ c =2………………………………………………1分 又∵1222
=+y x 的离心率为
2
2……………………………… 2分 ∴2
22===a a c e ，∴a =22，b =2………………………… 4分 ∴标准方程为14
822=+y x ………………………………………6分
（2）设直线l 方程：y =kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=1481
22y x
kx y 得064)21(22=-++kx x k ……………………7分
∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2216k +-
由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），
∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ⋅＜0………………………………8分 ∴（x 1 -2）（x 2-2）+ y 1y 2＜0
即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2
x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0…………………… 9分 ∴2
22221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅
+＜0…………… 11分
∴k ＜8
1……………………………………………………………… 12分 经检验得k ＜8
1时，直线l 与椭圆相交，
∴直线l 的斜率k 的范围为（-∞，8
1） (13)
22．证明：（1）连结AB ，AC ，
∵AD 为M e 的直径，∴090ABD ∠=，
∴AC 为O e 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠,
∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠,
∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，
∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠,
∴CEF ∆∽AGD ∆，∴CE AG
EF GD =，
GD CE EF AG ⋅=⋅∴
………………5分 （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,
∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =g ,
由（1）知2
222EF GD CE AG =，∴2
2GF EF AG CE =． ………………10分 · · A B C D G E F O M。