北京高二高中数学期末考试带答案解析

北京高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.圆的半径为( )
A．B．C．D．
2.双曲线的实轴长为 ( )
A．B．C．D．
3.若，，且，则 ( )
A．B．
C．D．
4.命题“,”的否定为 ( )
A．，B．，
C．，D．，
5.“”是“方程表示圆”的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，且，则D．若，，则
7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．
8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）
A．B．C．D．
9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点
的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，
与．给出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.
2.命题“若，则”的否命题是：__________________.
3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.
4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.
5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱
的长为_______；二面角的大小为_______.
6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.
给出下列结论：
①存在点，使得为等边三角形；
②不存在点，使得为等边三角形；
③存在点，使得；
④不存在点，使得.
其中，所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.
3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面
，，为中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．
5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；
（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.
6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.
（1）若所在的直线方程为，求的长；
（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.
北京高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.圆的半径为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由圆，通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.本小题关键知识点是通
过二次方的配方，把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而得到圆心的坐标和圆的半径，属于基础题型.
【考点】1.圆的一般方程.2.圆的标准方程.3.配方公式.
2.双曲线的实轴长为 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线对应的标准方程的.所以.又因为双曲线的长轴为
，故选C.本小题关键是考查双曲线的标准方程，以及双曲线实轴长为，这也是易错点，值得注意.
【考点】1.双曲线的标准方程.2.实轴的概念.
3.若，，且，则 ( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于空间向量，坐标形式的平行关系要符合.所以向量，，且.则由向量的平行条件可得，，即，所以解得.
故选A.
【考点】1.空间向量的平行关系.2.解方程组的能力.
4.命题“,”的否定为 ( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由于含全称量词的否定，要把全称量词改为特称量词，所以命题“,”的否定把全称改为特称，结论的“”为“>”即，.故选D.本小题关键是考查全称命题与特称命题的否定的互相转化.
【考点】全称命题改为特称命题.
5.“”是“方程表示圆”的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为若则当时方程不能表示一个圆.所以充分性不成立；当方程表示圆时，即.即有成立.所以必要性成立.综上“”是“方程表示圆”的必要不从分条件.故选B.
【考点】1.圆的方程.2.充分必要条件.
6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，且，则D．若，，则
【答案】D
【解析】若，则直线与三种位置关系都有，所以A选项不正确；若，则直线与平面M可能是平行，也可能是相交，所以B选项不正确；若，则直线可能与平面M平行或相交，所以C选项不正确.D选项是面面垂直的判定定理.综上故选D.
【考点】1.线面平行与垂直的判定.2.面面垂直的判定.
7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆可知.又由椭圆的定义可知，.所以
.即，即.所以
.故选C.
【考点】1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.
8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可得该三视图是一个倒着放的三棱柱.三棱柱的底面是一个直角边为2的等腰直角三角形，高为2.所以由棱柱的体积公式，可得.故选C.本小题的关键是通过三视图画出相应的直观图.【考点】1.三视图的知识.2.棱柱的体积的计算.
9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点
的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【答案】D
【解析】设点M(x,y)，N(x，0).则，,所以.
由可得.即.所以动点的轨迹是双曲线.故选D.
【考点】1.向量的数量积.2.圆锥曲线与方程的关系.3.用方程解决问题的思想.
10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，
与．给出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】因为对任意的E点，则直线CE所形成的轨迹都在平面上，所以要使得，即要存在平面，显然是不成立的，所以①不正确；因为对于任意点，由形成的轨迹在平面上，所以要存在只需要即可，这显然可以成立，所以②正确.同理③只要G点移到点即可成立，所以③正确.与①类似④不成立.故选B.
【考点】1.线面垂直的判定.2.线线垂直的判定.3.线动成面的思维.
二、填空题
1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.
【答案】
【解析】因为抛物线的准线为，所以可以设抛物线的标准方程为.所以由抛物线准线方程可得.所以抛物线的标准方程为.本小题的关键就是根据抛物线准线的定义求得的值，即可
求得抛物线方程.
【考点】1.抛物线的定义.2.抛物线的准线方程公式.
2.命题“若，则”的否命题是：__________________.
【答案】若，则
【解析】命题的否命题是将命题的题设与结论都否定，所以若，则的否命题是“若，则”.故填若，则.本题的关键是命题的四种形式间的关系，这些题型都要要分清命题的题设与结论，才能
正确解题.
【考点】1.命题的否命题的表示形式.2.大于的否定是小于等于.
3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.
【答案】2;
【解析】由于双曲线，所以，所以所以离心率.故填2.由于双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线的方程为.故填.
【考点】1.双曲线的性质.2.双曲线中三个基本量的关系.
4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.
【答案】
【解析】由于正方体的八个顶点都在球的表面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，由于正方体的棱长为，所以体对角线，与正方体的棱长的关系为.所以，及球的直径.由球的表面积公
式.可得.又因为正方体的表面积为6.所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为.故填.
【考点】1.球内接正方体中的等量关系.2.球的表面积公式.3.空间的想象能力.
5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱
的长为_______；二面角的大小为_______.
【答案】;
【解析】因为是边长为的正方形，所以对角线.又因为与平面所成的角为即.所以.由于.又因为平面平面.所以二面角
的平面角为
【考点】1.直线与平面所成的角.2.平面与平面所成的角.3.空间想象力
6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.
给出下列结论：
①存在点，使得为等边三角形；
②不存在点，使得为等边三角形；
③存在点，使得；
④不存在点，使得.
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①④
【解析】若过存在点，使得为等边三角形，由椭圆的对称性设点在第一象限.代入椭圆方程可得.解得.所以.所以存在点.所以①正确；若存在点，使得，同样设，代入椭圆方程可得，解得.所以
.所以不存在点.所以④正确.故填①④.
【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.利用方程的思想解决问题.
三、解答题
1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）参考解析；（2）参考解析
【解析】（1）要证直线与平面平行，根据直线与平面平行的判定定理，需要在平面内找一条直线与已知直线平行，由于本小题中点较多，所以想到作出四边形AMNQ.通过判定平行四边形，然后再用平行四边形的性质得到所需要
的两直线平行，这种方法也是在证明直线与平面平行时的常用的方法.
（2）直线与直线垂直的证明根据判断定理，一般需要转化为证明直线与平面的垂直.这题是根据第一步的结论证明AB与平面PAD垂直，从而可得结论.
试题解析：证明：（1）取中点，连结.
因为是中点，
所以.
又是中点，,
所以，
四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，
所以平面. 7分
（2）因为平面,所以.
又是矩形，
所以.
所以平面,
所以.又,
所以.
【考点】1.直线与平面平行的判断定理.2.直线与直线垂直的判断方法.
2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即
可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上. （2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程.
试题解析：（1）设圆的圆心坐标为，
依题意，有，
即，解得，
所以圆的方程为.
（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，
所以直线符合题意.另，设直线方程为，即，
则，
解得，所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
【考点】1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.
3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）参考解析；（2）
【解析】（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.
（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.
试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，
所以，
又，
即.
如图所示，建立空间直角坐标系.
,,,，
所以，，
.
又因为，，
所以，，平面.
（2）解：由（1）知，是平面的法向量，
，
则.
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】1.线面垂直.2.线面所成的角.3.空间直角坐标系的解决线面问题.
4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面
，，为中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）参考解析；（2）；（3），
【解析】（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.
（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.
（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.
试题解析：（1）证明：取中点，连结，
因为△是正三角形，所以.
因为四边形是直角梯形，，，
所以四边形是平行四边形，，
又，所以.
所以平面，
所以.
（2）解：因为平面平面，
，所以平面，
所以.
如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以,，
设平面的法向量为，则
，
令，则,.所以.
同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（3）解：设，因为，
所以，,.
依题意即
解得，.
符合点在三角形内的条件.
所以，存在点，使平面，此时.
【考点】1.空间坐标系的建立.2.平面与平面所成的角.3.直线与平面垂直.4.代数运算能力.5.向量的数量积.6.相应的公式.
5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；
（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）因为点M在抛物线外面，所以过M与抛物线相交的直线斜率存在，用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程，消去y，即可得一个关于x的一元二次方程，由韦达定理及已知中点的横坐标，即可求出斜率的值. （2）由点A,B的横坐标满足（1）式中的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的等式，再写出直线的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.
试题解析：（1）设过点的直线方程为，
由得
因为，且，
所以，.
设，，则，.
因为线段中点的横坐标等于，所以，
解得，符合题意.
（2）依题意，直线，
又，，
所以
因为，且同号，所以，
所以，
所以，直线恒过定点.
【考点】1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.
6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.
（1）若所在的直线方程为，求的长；
（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.
【答案】（1）;（2）定值为
【解析】（1）因为求所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.
（2）直线与圆的位置关系，首先考虑直线的斜率是否存在，做好分类的工作.若当斜率存在时，通过联立方程，应用韦达定理知识，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积（含斜率的等式）.再根据的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.
试题解析：（1）由得，
解得或，
所以两点的坐标为和所以.
（2）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，
因为，在线段上，所以，求得，
所以的面积等于.
②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，
由得
，，
所以，的中点的坐标为，
所以，代入椭圆方程，化简得.
计算.
因为点到的距离
所以，的面积.
综上，面积为常数.
【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.弦长公式.3.点到直线的距离公式.4.向量的知识.5.整体的解题思想.6.过定点的问题.。