2019年北师大版初中九年级数学下册期末检测卷

期末检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面的函数是二次函数的是( )
A ．y ＝3x ＋1
B ．y ＝x 2
＋2x C ．y ＝x
2 D ．y ＝2
x
2．如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB 的度数为( )
A ．80° B．90° C．100° D．无法确定
第2题图 第4题图 第6题图 第7
题图
3．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则sin A 的值为( ) A.13 B.23 C.223 D.2
3
4．如图，A ，D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则∠OAC 的度数为( )
A ．64° B．58° C．72° D．55°
5．对于二次函数y ＝－1
4x 2＋x －4，下列说法正确的是( )
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
B ．当x ＝2时，y 有最大值－3
C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D ．图象与x 轴有两个交点
6．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连接AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( )
A ．EF ∥CD
B ．△COB 是等边三角形
C ．CG ＝DG D.BC ︵
的长为3π2
7．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tan C ＝3
4，AB ＝6cm.动点P
从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( )
A ．18cm 2
B ．12cm 2
C ．9cm 2
D ．3cm 2
8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )
9．数学活动课中老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE 的坡度i ＝1∶4，一学生站在离斜坡顶端E 的水平距离DF 为8m 处的D 点，测得大树顶端A 的仰角为α.已知sin α＝3
5
，BE ＝1.6m ，此学生身高CD ＝1.6m ，则大树高度
AB为( )
A．7.4m B．7.2m C．7m D．6.8m
第9题图第10题图
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a ＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y 随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算：tan45°－2cos60°＝________．
12．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为________________．13．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，BC，若AC＝2，则cos D＝________．
第13题图第15题图第16题图
14．二次函数y＝x2－bx＋c的图象上有两点A(3，－8)，B(－5，
－8)，则此抛物线的对称轴是直线x＝________．
15．如图，⊙O的直径CD＝20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，若OM＝6cm，则AB的长为________cm.
16．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B 离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于
水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋9
4
，那么圆形水池的半
径至少为________米时，才能使喷出的水流不落在水池外．17．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________．
第17题图第18题图
18．如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长(结果保留根号)．
20．(8分)如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，∠BAD ＝105°，∠DBC ＝75°.
(1)求证：BD ＝CD ；
(2)若圆O 的半径为3，求BC ︵
的长．
21．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过
B (－2，6)，
C (2，2)两点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)记抛物线与y 轴的交点为D ，求△BCD 的面积．
22．(10分)网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店，某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售价x之间的函数关系式，若你是网店老板，会将价格定为多少，使每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．(10分)如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x 轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．
(1)求m的值；
(2)求A、B两点的坐标．
24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若CF＝1，DF＝3，求图中阴影部分的面积．
25．(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，
AB＝60(6＋2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD ＝120(6－2)海里．
(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC(结果保留根号)；
(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘查，有无触礁的危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)?
参考答案与解析
1．B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D
10．B 解析：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点(－1，0)关
于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两
个根是x 1＝－1，x 2＝3，故②正确；∵x ＝－b
2a
＝1，∴b ＝－2a .当x
＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故③错误；∵抛物线开口向下，与x 轴的两个交点的坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1＜x ＜3时，y ＞0，故④错误；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝1，∴当x ＜0时，y 随x 增大而增大，故⑤正确．故选B.
11．0 12.y ＝2(x ＋2)2－2
13.13 14.－1 15.16 16.92 17.π8
cm 2
18.25
8
解析：连接OD ，BD .由AB ＝BC ，AB 为⊙O 的直径，可知
BD 垂直平分AC ，所以OD ∥BC .又因为DE 是⊙O 的切线，所以DE ⊥OD ，
所以DE ⊥BC .由△CDE ∽△CBD ，得CD 2
＝BC ·CE ，求出BC ＝25
4
.又因为
OD ∥BC ，由三角形的中位线定理求出OD ＝12BC ＝25
8
.
19．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .(2分)在Rt△ABC 中，tan A ＝tan30°＝BC AB ，即BC
BC ＋4
＝3
3
，解得BC ＝2(3＋1)．(6分) 20．(1)证明：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DCB ＋∠BAD ＝180°.∵∠BAD ＝105°，∴∠DCB ＝180°－105°＝75°.∵∠DBC ＝75°，∴∠DCB ＝∠DBC ＝75°，∴BD ＝CD .(4分)
(2)解：由(1)可知∠DCB ＝∠DBC ＝75°，∴∠BDC ＝30°.由圆周
角定理，得BC ︵的度数为60°，故BC ︵的长＝n πR 180＝60π×3180
＝π.(8分) 21．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.
∴抛物线的解析式为y ＝12
x 2－x ＋2.(4分) (2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．(6分)连接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相同，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离
为6－2＝4，(8分)∴S △BCD ＝12
×2×4＝4.(10分) 22．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由
所给函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧1300k ＋b ＝50，1500k ＋b ＝30，(3分)解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.1，b ＝180.故y 与x
的函数关系式为y ＝－0.1x ＋180.(5分)
(2)∵W ＝(x －1000)y ＝(x －1000)(－0.1x ＋180)＝－0.1x 2＋280x －180000＝－0.1(x －1400)2＋16000，(8分)当x ＝1400时，W 最大＝16000，∴售价定为1400元/部时，每天最大利润W ＝16000元．(10
分)
23．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，∴抛物线与x 轴只有一个交点，∴(m ＋3)2－4×9＝0，解得m
＝3或m ＝－9.(3分)∵－－（m ＋3）2
>0，∴m ＞－3，∴m ＝3.(5分) (2)由(1)可得m ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋9，y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9，(8分)根据图示，可得A 点的横坐标小于B 点的横坐标，∴A 点的坐标是(1，4)，B 点的坐标是(6，
9)．(10分)
24．(1)证明：连接AD ，OD .(1分)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB
＝90°，∴AD ⊥BC .∵AC ＝AB ，∴点D 为线段BC 的中点．∵点O 为AB 的中点，∴OD 为△BAC 的中位线，∴OD ∥AC .∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线．(5分)
(2)解：在Rt△CFD 中，CF ＝1，DF ＝3，∴CD ＝2，tan C ＝DF CF ＝3，∴∠C ＝60°.∵AC ＝AB ，∴△ABC 为等边三角形．又∵AD ⊥BC ，∴BC ＝2CD ＝4，∴AB ＝4，∴⊙O 的半径为2.(7分)∵OD ∥AC ，∴∠DOG ＝∠BAC ＝60°，∴DG ＝OD ·tan∠DOG ＝2×3＝23，∴S
阴影＝S △ODG －S 扇形OBD ＝12DG ·OD －60360πOB 2＝12×23×2－16
π×22＝23－2π3
.(10分) 25．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，由题意可得∠CBD ＝45°，∠CAD ＝60°.(2分)设CE ＝x 海里．在Rt△CBE 中，BE ＝CE ＝x 海里，
BC ＝2x 海里．在Rt△CAE 中，AE ＝33x 海里，AC ＝233
x 海里．(4分)∵AB ＝60(6＋2)海里，∴x ＋3x 3
＝60(6＋2)，解得x ＝60 6.则AC ＝233×606＝1202(海里)，BC ＝2×606＝1203(海里)．(6分)
答：A与C的距离AC为1202海里，B与C的距离BC为1203海里．(7分)
(2)过点D作DF⊥AC于点F.在△ADF中，∵AD＝120(6－2)，
∠CAD＝60°，∴DF＝AD·sin60°＝120(6－2)×
3
2
＝1802－
606≈106.8(海里)．(10分)∵106.8＞100，∴海监船沿AC前往C 处盘查，无触礁的危险．(12分)。